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Laplacescher Entwicklungssatz

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Laplacescher Entwicklungssatz einfach erklärt

Laplacescher Entwicklungssatz Beispiel

Der Laplacesche Entwicklungssatz hilft dir, Determinanten zu berechnen. Du möchtest schnell verstehen, wie das funktioniert? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Laplacescher Entwicklungssatz einfach erklärt

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Der Laplacesche Entwicklungssatz (auch Laplace Entwicklung, Laplacesche Entwicklung) ist ein Verfahren mit dem du die Determinante einer nxn Matrix berechnen kannst. Die Idee dabei ist, dass du die Determinante einer Matrix auf eine kleinere Determinante bringst. Damit kannst du zum Beispiel eine 4×4 Matrix zunächst auf eine 3×3 Matrix umformen und dann auf eine 2×2 Matrix. Anschließend kannst du dann von dieser Matrix einfach die Determinante berechnen.

Laplacescher Entwicklungssatz

$\det(A) = \sum \limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$ , wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst oder

$\det(A) = \sum \limits_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$ , wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.

Dabei ist $a_{ij}$ der Wert der i-ten Zeile und j-ten Spalte und $A_{ij}$ die Matrix, die durch das Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A entsteht.

Tipp: Wähle für den Laplace Entwicklungssatz am besten eine Zeile oder eine Spalte, in der sich möglichst viele Nullen befinden, sodass die entsprechenden Summanden automatisch wegfallen.

Laplacescher Entwicklungssatz Beispiel

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In diesem Abschnitt zeigen wir dir an einem konkreten Beispiel, wie du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.

Betrachte dafür die 3×3 Matrix $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \end{pmatrix}$ . Dabei spielt es keine Rolle nach welcher Zeile oder Spalte du die Determinante entwickelst. In diesem Beispiel wählen wir die erste Zeile i=1 . Die Determinante von A lautet also

$\det(A) = \sum \limits_{j=1}^{3} a_{1j} \cdot (-1)^{1+j} \cdot \det(A_{1j})=$

$= a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det(A_{13})$

Das bedeutet, dass du nun Spalte für Spalte die einzelnen Summanden der Formel bestimmst.

Spalte 1: Fange mit der ersten Spalte an. Dafür benötigst du die Untermatrix $A_{11}$ , die du bekommst, indem du die erste Zeile und die erste Spalte von A streichst

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Die Matrix $A_{11}$ lautet also

$A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}$ .

Als nächstes benötigst du die Determinante der 2×2 Matrix $A_{11}$ . Du berechnest die Determinante, indem du vom Produkt $-1 \cdot 3$ das Produkt $-5 \cdot 4$ abziehst

$\det(A_{11}) = -1 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 17$ .

Außerdem kannst du aus der Matrix A ablesen, dass $a_{11}=4$ ist. Damit erhältst du für den ersten Summanden

$a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det(A_{11}) = 4 \cdot 1 \cdot 17 = 68.$

Spalte 2: Gehe nun über zur zweiten Spalte. Um die Untermatrix $A_{12}$ zu bekommen streichst du die erste Zeile und die zweite Spalte von A

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Du erhältst damit

$A_{12} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ .

Berechne nun die Determinante der Matrix

$\det(A_{12}) = 1 \cdot 3 - 0 \cdot 4 = 3$ .

Der zweite Summand lautet mit $a_{12}=2$ also

$a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det(A_{12}) = 2 \cdot (-1) \cdot 3 = -6$ .

Spalte 3: Wiederhole das Ganze noch für die dritte Spalte. Du erhältst die Untermatrix $A_{13}$ durch das Streichen der ersten Zeile und der dritten Spalte.

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Sie lautet somit

$A_{13} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$ .

Berechne nun wieder die Determinante der Matrix $A_{13}$

$\det(A_{13}) = 1 \cdot 5 - 0 \cdot 1 = 5$ .

Damit hast du nun den dritten Summanden der Formel des Laplaceschen Entwicklungssatzes bestimmt

$a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det(A_{13}) = 1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$ .

Insgesamt lautet die Determinante der Matrix A also

$\det\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \end{pmatrix} = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot \det\left(\begin{matrix} 1 & 4 \\ -5 & -3 \end{matrix}\right)$

$+ a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$

$+ a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$

$= 4 \cdot 1 \cdot 17 + 2 \cdot (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 5$

= 68 - 6 + 5 = 67 .

Bemerkung: Um das Vorzeichen $(-1)^{i+j}$ einfacher zu bestimmen, kannst du dir auch einfach merken, dass bei jedem Wechsel einer Zeile oder Spalte, sich auch das Vorzeichen ändert.

$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & -5 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$

Matrix nach einer Spalte entwickeln

Schau dir als nächstes Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & -6 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ an. Diesmal entwickeln wir die Determinante nach der zweiten Spalte, womit die Determinante von A wie folgt lautet:

$\det(A) = \sum \limits_{i=1}^{3} a_{i2} \cdot (-1)^{i+2} \cdot \det(A_{i2}).$

Du bestimmst also als erstes die Untermatrizen $A_{12}$ , $A_{22}$ und $A_{32}$ , indem du die zweite Spalte und die entsprechende Zeile streichst. Die Untermatrizen sehen somit wie folgt aus

$A_{12} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, A_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, A_{32} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$ .

Als nächstes benötigst du die Determinante der Untermatrizen

$\det(A_{12}) = (-3) \cdot (-1) - 2 \cdot (-2) = 7$

$\det(A_{22}) = 0 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 = -8$

$\det(A_{32}) = 0 \cdot (-2) - (-3) \cdot 4 = 12.$

Somit kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen

$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+2} \cdot 7 + (-6) \cdot (-1)^{2+2} \cdot (-8) + 2 \cdot (-1)^{3+2} \cdot 12$

= -7 + 48 - 24 = 17.

Laplacescher Entwicklungssatz 4×4 Matrix

Bisher hast du den Laplace Entwicklungssatz nur auf 3×3 Matrizen angewendet. Du kannst die Laplace Entwicklung allerdings auch auf größere Matrizen anwenden, wie etwa 4×4 Matrizen.

Betrachte zum Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & -1 & -3 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -3 & 4 \end{pmatrix}$ , deren Determinante wir nach der vierten Spalte entwickeln.

Zunächst benötigst du die Untermatrizen $A_{14}$ , $A_{24}$ , $A_{34}$ und $A_{44}$ , für die du die vierte Spalte und die entsprechende Zeile der Matrix A streichst. Die Untermatrizen lauten somit

$A_{14} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ , $A_{24} = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ , $A_{34} = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ , $A_{44} = \begin{pmatrix} -3 & 5 & -1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Um die Determinanten der Untermatrizen zu berechen kannst du wieder den Laplace Entwicklungssatz anwenden oder du verwendest die Regel von Sarrus, deren Vorgehensweise du im Artikel zur 3×3 Determinante nachlesen kannst. Damit bekommst du

$\det(A_{14}) = 9+4-4+1+6+24=40$

$\det(A_{24}) = 9+10-4+1+ 6 + 60 = 82$

$\det(A_{34}) = 18 - 5 + 3 + 2 - 3 - 45 = -30$

$\det(A_{44}) = -12 -20 + 3 + 8 - 3 + 30 = 6.$

Zum Schluss kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen

$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+4} \cdot 40 + (-3) \cdot (-1)^{2+4} \cdot 82 + 3 \cdot (-1)^{3+4} \cdot (-30)$

$+ 4 \cdot (-1)^{4+4} \cdot 6$

= -40 - 246 + 90 + 24 = - 172.

Weitere Themen zur Determinante

Neben dem Thema „Laplacescher Entwicklungssatz“ haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

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