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Determinante berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Determinante berechnen einfach erklärt

Determinante berechnen 2×2

Determinante berechnen 3×3

Determinante berechnen nxn

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du von verschiedenen Matrizen die Determinante berechnen kannst. Du möchtest es anschaulich erklärt bekommen? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich!

Inhaltsübersicht

Determinante berechnen einfach erklärt

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Determinante einer Matrix zu berechnen. Je nachdem wie groß die Matrix ist, ist eine Methode leichter als die andere.

In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir, wann du welches Verfahren anwenden musst.

Hinweis: Für die Notation der Determinante einer Matrix A findest du die Schreibweisen $\det(A)$ oder |A| .

Determinante berechnen 2×2

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Fangen wir mit der Berechnung der Determinante von 2×2-Matrizen an.

Die Determinante einer 2×2 Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ berechnest du, indem du die Komponenten der Matrix in die Formel

$\det(A) = a \cdot d - c \cdot b$

einsetzt. Das heißt, du berechnest zuerst das Produkt der Hauptdiagonale und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ab.

Beispiel 1

Wenn du zum Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ gegeben hast, dann lautet die Determinante

$\det(A) = 1 \cdot 2 - 5 \cdot (-3) = 17$ .

Du multiplizierst also zuerst die Elemente der Hauptdiagonale $1 \cdot 2$ und ziehst dann das Produkt $5 \cdot (-3)$ der Nebendiagonale ab. Schau dir das Video zur 2×2 Determinante an, um mehr Beispiele zu sehen.

Beispiel 2

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Die Determinante eine 2×2 Matrix berechnest du wie folgt.

$\det\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} = (-1) \cdot 0 - (-5) \cdot (-2) = -10$

Noch mehr Beispiele findest du in unserem Video!

Zum Video: Determinante 2x2 — Zum Video: Determinante 2×2

Determinante berechnen 3×3

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Gehen wir nun eine Dimension höher. Um die Determinante einer 3×3 Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ zu bestimmen, verwendest du die Regel von Sarrus.

$\det(A) = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b$

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Beispiel 1

Schau dir zum Beispiel die Matrix $A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -1 & -4 & 2 \end{pmatrix}$ an. Du berechnest die Determinante wie folgt.

$\det(A) = 4 \cdot 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) - (-1) \cdot 3 \cdot (-2)$

$- (-4) \cdot 2 \cdot 4 - 2 \cdot (-3) \cdot (-1)$

=22

Um die Determinante der Matrix A zu berechnen setzt du also die Komponente in die Formel ein. Im Video zur 3×3 Determinante erfährst du mehr zur genauen Berechnung.

Beispiel 2

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Die Determinante einer 3×3 Matrix berechnest du wie folgt

$\det \begin{pmatrix} -6 & 5 & -4 \\ 2 & 5 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \end{pmatrix}= (-6) \cdot 5 \cdot 0 + 5 \cdot 2 \cdot 5 + (-4) \cdot 2 \cdot 4$

$- 5 \cdot 5 \cdot (-4) -4 \cdot 2 \cdot (-6) - 0 \cdot 2 \cdot 5$

= 166 .

Du möchtest es ausführlich erklärt bekommen? Dann ist unser Video genau das richtige für dich!

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Determinante berechnen nxn

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Nun schauen wir uns an, wie du von einer noch größeren Matrix die Determinante berechnen kannst.

Laplace Entwicklungssatz

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Hast du eine nxn Matrix $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$ gegeben, dann kannst du die Determinante berechnen, indem du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.

$\det(A) = \sum \limits_{j=1}^{n}a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$ , wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst.

$\det(A) = \sum \limits_{i=1}^{n}a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})$ , wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.

$a_{ij}$ ist der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte und $A_{ij}$ die Matrix, die entsteht, wenn du die i-te Zeile und j-te Spalte der Matrix A streichst.

Determinante berechnen 4×4 Beispiel

Um die Determinante der 4×4 Matrix $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -5 & -2 \\ 5 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & -4 & 0 & -6 \\ 0 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ zu berechnen, verwenden wir den Laplaceschen Entwicklungssatz und entwickeln dabei nach der dritten Zeile (i=3) . Die Determinante von A lautet also

$\det(A) =$

$0 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -2 & 4 & 2 \\ 5 & 2 & 3 \end{pmatrix} + (-4) \cdot (-1)^{3+2} \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & -5 & -2 \\ 5 & 4 & 2 \ \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$+ 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ 5 & -2 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix} + (-6) \cdot (-1)^{3+4} \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & 4 & -5 \\ 5 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

$= 4 \cdot 31 + 6 \cdot (-93) = -434$

Beachte, dass der erste und dritte Summand wegfallen, da sie jeweils eine 0 als Faktor enthalten. Schau dir unser Video zum Laplaceschen Entwicklungssatz an, wenn du genauer wissen möchtest, wie du ihn anwendest.

Zum Video: Laplacescher Entwicklungssatz

Determinante berechnen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren

Hast du eine Matrix gegeben, die unterhalb der Hauptdiagonale nur Nullen enthält, dann ist die Determinante das Produkt der Elemente aus der Hauptdiagonale. Das heißt, du kannst die Determinante einer Matrix berechnen, indem du zuerst A mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in eine obere Dreiecksmatrix $\tilde{A}$ transformierst und anschließend die Determinante von $\tilde{A}$ berechnest.

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