Quadratische Ergänzung
Wir zeigen dir einen Trick, wie du mit der quadratischen Ergänzung schnell quadratische Gleichungen in die Scheitelpunktform oder in eine Binomische Formel verwandeln kannst. Schau dir unser Video zur Quadratischen Ergänzung an, um das Thema Schritt für Schritt erklärt zu bekommen!
Quadratische Ergänzung einfach erklärt
Quadratische Gleichungen, also Gleichungen mit einem x hoch 2, kennst du bereits. Diese Gleichung schreibst du allgemein so:
f = a • x² + b • x + c
Jetzt kannst du die Mathematik sozusagen einfach austricksen und eine bestimmte Zahl in deiner Gleichung addieren und gleich wieder abziehen. Das Ganze nennt sich dann quadratische Ergänzung.
Du ergänzt deine Gleichung quadratisch, indem du zuerst die Zahl vor deinem x (ohne Hochzahl) durch zwei teilst und dann hoch zwei nimmst.
Dieses Ergebnis addierst du dann zu deiner Gleichung und ziehst es gleich wieder ab.
f = x² – 6 • x + 2
In der Gleichung f = x² – 6 • x + 2 ist dein b = – 6. Du würdest also den Wert addieren und subtrahieren. Sechs geteilt durch zwei ist drei. Und drei hoch zwei ist 9. Also ergänzt du in deiner Gleichung den Ausdruck „+ 9 – 9″.
f = x² – 6 • x + 2
Zum Schluss kannst du immer aus deinen ersten drei Summanden deiner Gleichung eine binomische Formel bilden. In unserem Beispiel ergibt sich aus deinem Ausdruck x² – 6 • x + 9 dann die 2. Binomische Formel :
f =
. ✔
Quadratische Terme
Als quadratische Terme bezeichnet man Terme vom Grad zwei der Form . Für die Parameter
,
und
kannst du verschiedene Zahlen einsetzen, nur
ist hier nicht erlaubt, da du sonst einen linearen Term hättest.
Beispiele für quadratische Terme sind
Eine besonders beliebte Art, quadratische Terme darzustellen, sind die binomischen Formeln . Das sind drei Formeln, durch deren Ausmultiplizieren du jeweils einen quadratischen Term erhältst. Sie lauten:
1. binomische Formel:
2. binomische Formel:
3. binomische Formel:
Ihre Gültigkeit kannst du leicht überprüfen, indem du die linke Seite der Formeln jeweils ausmultiplizierst. Schaust du dir die obigen drei Beispiele genauer an, erkennst du, dass man die ersten beiden Beispiele mit den binomischen Formeln umschreiben kann:
Im dritten Beispiel bei klappt das leider nicht. Du kannst den Term aber trotzdem in eine ähnliche Form bringen, das ermöglicht dir die Quadratische Ergänzung!
Quadratisch ergänzen
Wozu die quadratische Ergänzung nützt, hast du gerade eben gesehen. Mit ihrer Hilfe kannst du verschiedene quadratische Terme auf die Form einer binomischen Formel bringen. Gegeben sei ein quadratischer Term, zum Beispiel von oben. Um das in eine binomische Formel zu verwandeln, befolgst du die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung für die quadratische Ergänzung:
-
Schritt 1: Klammere die Zahl vor dem
aus
-
Schritt 2: Entscheide, welche der drei binomischen Formeln infrage kommt. Wir wollen den Ausdruck in der Klammer
in eine binomische Formel verwandeln. Du siehst, dass die dritte Formel ausscheidet, weil bei uns im Ausdruck ein Term mit
auftaucht. Das negative Vorzeichen vor der
verrät, dass wir die zweite binomische Formel verwenden müssen
-
Schritt 3: Finde heraus, was in der Formel
und was
ist. Da in
ein
auftaucht, siehst du sofort, dass
sein muss.
entspricht dem Ausdruck
. Das kannst du nach
auflösen, wenn du
einsetzt
- Schritt 4: Berechne die binomische Formel und vergleiche sie mit deinem ursprünglichen Term
Das unterscheidet sich von lediglich durch die ausgeklammerte
und die
.
-
Schritt 5: Addiere eine Null in der Form
Dadurch veränderst du den Wert des Terms nicht!
- Schritt 6: Jetzt kannst du umklammern und die binomische Formel aufstellen:
Das schauen wir uns am besten noch an einigen weiteren Beispielen an.
Beispiel 1
Wir wollen mittels obiger Anleitung quadratisch ergänzen. Schritt 1 entfällt hier, da
keinen Vorfaktor hat. Wir beginnen direkt mit Schritt 2 und stellen fest, dass wir für die quadratische Ergänzung die erste binomische Formel wählen müssen, wobei
Damit ist und
. Wir müssen also
rechnen und erhalten
Beispiel 2
Nun wollen wir noch den etwas schwierigeren Fall untersuchen. Hier haben wir den Vorfaktor
gegeben, den wir zuerst ausklammern müssen
Das negative Vorzeichen verrät, dass wir die zweite binomische Formel mit und
verwenden müssen.
Diesen Term ergänzen wir im nächsten Schritt quadratisch mit und erhalten
Merke: Wenn du einen Term der Form gegeben hast, so entspricht das der dritten binomischen Formel. Um
in diesem Falle zu berechnen musst du jedoch nicht quadratisch ergänzen, sondern kannst einfach die Wurzel ziehen
und
Quadratische Ergänzung Formel
Wenn du die Schritte der obigen Anleitung nicht alle einzeln ausführen magst, kannst du stattdessen auch die folgende Formel verwenden:

Graphisch kannst du dir das wie folgt vorstellen. Du addierst das kleine blaue Quadrat mit Flächeninhalt , sodass das Gesamtbild ein großes Quadrat ergibt. Damit du den Flächeninhalt gesamt aber nicht veränderst, musst du diesen Wert
wieder abziehen.
Anwendungen der quadratischen Ergänzung
Zuletzt erklären wir dir noch die zwei typischen Anwendungen, bei denen du die quadratische Ergänzung brauchst.
Quadratische Gleichungen lösen
Zum einen kannst du die quadratische Ergänzung verwenden, um quadratische Gleichungen zu lösen. Das sind Gleichungen der Form
Willst du beispielsweise die Nullstellen
einer quadratischen Funktion
berechnen, kommst du mit quadratischer Ergänzung zum Ziel
Diesen Term kannst du nun einfach nach auflösen:
und
Scheitelpunktform bestimmen
Eng damit verknüpft, sind die verschiedenen Darstellungsweisen von quadratischen Funktionen. Besonders beliebt ist dabei die Scheitelpunktform . Hier hat die Funktionsgleichung stets die Form
woraus du sofort die Koordinaten des Scheitels ablesen kannst. Die Scheitelpunktform ist gerade die Form, die du erhältst, wenn du eine quadratische Ergänzung durchführst. Betrachten wir obiges Beispiel mit
erneut, so erhältst du, nachdem du die quadratische Ergänzung erfolgreich durchgeführt hast, die Scheitelpunktform
. Der Scheitel dieser Parabel liegt bei
.
Quadratische Ergänzung Aufgaben
Im Folgenden zeigen wir dir verschiedene Aufgaben mit Lösungen für die quadratische Ergänzung.
Aufgabe 1
Löse die Gleichungen. Verwende dazu, wenn nötig die quadratische Ergänzung.
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 2
Bestimme die Scheitelpunktform von , indem du eine quadratische Ergänzung durchführst.
Lösung
Aufgabe 1:
a) Hier musst du eine quadratische Ergänzung durchführen. Dazu klammerst du im ersten Schritt den Faktor aus.
Das Innere der Klammer verrät dir, dass du die zweite binomische Formel verwenden musst mit und
. Die quadratische Ergänzung führst du daher durch, indem du
addierst und gleich wieder abziehst.
Diesen Term vereinfachst du nun mithilfe der binomischen Formel und erhältst
Jetzt musst du hiervon noch die Nullstellen berechnen:
und
b) Um zu berechnen, brauchst du keine quadratische Ergänzung. Stattdessen kommst du mit Äquivalenzumformungen zum Ziel:
c) Im Fall hast du keinen Vorfaktor gegeben, du kannst also direkt mit dem zweiten Schritt der quadratischen Ergänzung beginnen. Hier benötigen wir die erste binomische Formel mit
und
. Die quadratische Ergänzung erfolgt dann mit
:
Die Nullstellen davon berechnest du folgendermaßen
d) Um die Gleichung zu berechnen, brauchst du abermals keine quadratische Ergänzung. Stattdessen kannst du sie folgendermaßen umformen:
Aufgabe 2:
Um die Scheitelpunktform zu bestimmen, musst du eine quadratische Ergänzung durchführen. Dazu klammerst du zuerst den Faktor aus
Das Minus in der Klammer verrät dir, dass du hier die zweite binomische Formel verwenden musst mit und
. Du musst also
quadratisch ergänzen:
Das vereinfachst du nun und erhältst die Scheitelpunktform
Scheitelpunktform
Gut gemacht! Du weißt jetzt was die quadratische Ergänzung ist und wie du damit quadratische Gleichungen der Form f(x) = ax² + bx + c in die Scheitelpunktform umwandelst. In unserem Video dazu erklären wir dir was genau die Scheitelpunktform ist und wie du sie berechnen kannst. Schau es dir unbedingt an!