Geometrie
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Du fragst dich, was ein dreidimensionales Koordinatensystem ist und wie es aussieht? Das und noch mehr erfährst du in diesem Beitrag.

Dreidimensionales Koordinatensystem einfach erklärt 

Das dreidimensionale Koordinatensystem kannst du dir wie ein zweidimensionales Koordinatensystem vorstellen, das aber eine Achse mehr hat.

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Ein dreidimensionales Koordinatensystem

Statt zwei gibt es hier also drei Achsen, die du als x1, x2 und x3 oder x, y und z bezeichnen kannst. Sie stehen alle senkrecht aufeinander. Dabei liegen x1 und x2 auf dem Boden und x3 zeigt in die Höhe.

Sie stellen also einen dreidimensionalen Raum dar. Darin kannst du nicht nur flache Formen (z. B. Rechtecke) zeichnen, sondern auch Körper  wie Würfel und Pyramiden .

Der Schnittpunkt aller drei Achsen ist der Nullpunkt. Du nennst ihn auch Koordinatenursprung, genauso wie beim zweidimensionalen Koordinatensystem.%Schau dir auch unser Video an, um mehr darüber zu erfahren

3D Koordinatensystem erstellen

Um ein dreidimensionales Koordinatensystem zu zeichnen, brauchst du nur 4 Schritte:

  1. Fang mit einem zweidimensionalen Koordinatensystem an und beschrifte die Achsen mit x2 und x3.
  2. Es fehlt nur noch die x1-Achse. Die zeichnest du am einfachsten schräg von links unten nach rechts oben durch die Ecken der Kästchen.
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    Ein leeres dreidimensionales Koordinatensystem
  3. Beschrifte jetzt die x2-Achse und x3-Achse mit den Einheiten, also mit den Zahlen 1, 2, 3 usw. Am einfachsten ist es, wenn eine Einheit einem Zentimeter  entspricht. Das ist meistens der Fall. 
  4. Für die x1-Achse ist es am leichtesten, wenn ein schräges Kästchen genauso viel ist wie ein Zentimeter auf den anderen Achsen. Steht an der x2-Achse also nach einem Zentimeter eine 1, dann schreibst du auch nach einem schrägen Kästchen an der x1-Achse eine 1.
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Einheiten einzeichnen

Übrigens: Wenn das Koordinatensystem kleiner oder größer seien soll, kannst du bei den Einheiten auf den Achsen auch andere Schritte benutzen (z. B. 3 cm = 1).

Punkte und Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem

Punkte schreibst du in einem dreidimensionalen Koordinatensystem in der Form (x1 | x2 | x3). Die Werte der jeweiligen Achse geben dabei an, wie weit in dieser Richtung sich der Punkt befindet.

Schau dir das am Beispiel (2 | 3 | 4) an. Um diesen Punkt in das 3D Koordinatensystem einzuzeichnen, gehst du so vor:

  • Bewege dich vom Nullpunkt aus 2 Schritte auf der x1-Achse in Richtung des Pfeils.
  • Gehe dann 3 Schritte auf der x2-Achse nach rechts
  • und schließlich 4 Schritte auf der x3-Achse nach oben.
  • Zeichne an dieser Stelle den Punkt ins 3D Koordinatensystem ein.
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Einen Punkt einzeichnen

Übrigens: Bei negativen Zahlen musst du dich in die andere Richtung bewegen, gegen den Pfeil auf der Achse — also nach hinten, nach links oder nach unten.

Vektoren im 3 dimensionalen Koordinatensystem schreibst im Gegensatz zu Punkten von oben nach unten, also in der Form \vec{b}_1= \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{x_1} \\ \textcolor{blue}{x_2} \\ \textcolor{teal}{x_3} \end{array}\right). Du kannst sie dir als Pfeile im xyz Koordinatensystem vorstellen.

Der Vektor \vec{b}_1= \left(\begin{array}{c} \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{teal}{4} \end{array}\right) ist zum Beispiel ein Pfeil, der 2 Einheiten nach vorne, 3 nach rechts und 4 Einheiten nach oben verläuft. Er kann am Nullpunkt oder an einem anderen Punkt A beginnen.

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Einen Vektor einzeichnen

Vektoren

Jetzt kennst du die Grundlagen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems und kannst Punkte und Vektoren im 3-dimensionalen Koordinatensystem zeichnen. Du willst noch mehr über den dreidimensionalen Raum erfahren? Dann schau dir am besten zunächst unser Video zu Vektoren an!

Zum Video: Vektor
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