Lineare Algebra

2. binomische Formel

Du möchtest verstehen, wie die 2. binomische Formel funktioniert und wie du sie anwenden kannst? Dann bist du hier genau richtig! % </span>In unserem Video <span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> erklären wir es dir anschaulich. Schau es dir unbedingt an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

2. binomische Formel einfach erklärt

Mit der zweiten binomischen Formel kannst du Terme wie (3 – b)² ganz schnell vereinfachen.

(ab)² = a² – 2ab + b²

Beispiel: (3b)² = 3² – 2 · 3 · b + b² = 9 – 6b + b²

Sie haben alle einen ähnlichen Aufbau. Die 2. binomische Formel erkennst du an dem Minuszeichen in der Klammer, deshalb heißt sie manchmal auch Minusformel. 

Die Buchstaben a und b in der allgemeinen Formel sind dabei nur Platzhalter. Du kannst stattdessen beliebige Zahlen oder andere Buchstaben als Variablen einsetzen. 

Mit der zweiten binomischen Formel sparst du dir einige Zeit beim Rechnen. Wie du in der Herleitung weiter unten sehen wirst, ist diese Formel nämlich nur eine Abkürzung fürs Ausmultiplizieren. 

Hinweis: Wie dir der Name verrät, gibt es noch mehr binomische Formeln

2. binomische Formel Beispiele

Die 2. binomische Formel spart dir einige Zeit beim Rechnen. Dabei kannst du zwischen zwei Richtungen unterscheiden. Noch mehr Beispiele findest du übrigens in unserem extra Beitrag zu binomische Formeln Aufgaben

2. binomische Formel: Ausmultiplizieren

Betrachten wir ein paar Beispiele, in welchen wir dir zeigen, wie du die 2.binomische Formel anwendest.

Beispiel 1

Die Formel hilft dir beim Ausmultiplizieren

(a1)² = (a1) · (a1) = a² – 2 · a · 1 + 1

Dank der 2. binomischen Formel kannst du so viel schneller die Klammern auflösen.

Beispiel 2

Hier hast du ein Produkt aus Zahl und Variable. 

(32x)² = 3² – 2 · 3 · (2x) + (2x)² = 9 – 12x + 4x²

Wenn das a oder das b der allgemeinen Formel durch ein Produkt ersetzt wurde, so wie hier durch 2x, dann musst du auch immer beide Teile in die Formel einsetzen. Gerade beim Quadrat ist es wichtig, dass du beide Teile hoch Zwei rechnest

(2x)² = 2² · x² = 4x².

Beispiel 3

In der Formel können auch Brüche vorkommen.

(\frac{1}{2}-y)^2=(\frac{1}{2})^2-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot y + y^2

=\frac{1^2}{2^2}-1y+y^2

=\frac{1}{4}-y+y^2

Auch bei Brüchen musst du aufpassen. Hier wird der Bruch quadriert, indem du den Zähler hoch Zwei und den Nenner hoch zwei rechnest. 

Beispiel 4

Manchmal musst du den Term erst umstellen.

(-b + 5)² = (5 – b)² = 25 – 10b + b²

Hier musst du das -b und die 5 in der Klammer vertauschen. Dann kannst du die zweite binomische Formel aber ganz normal anwenden.

2. binomische Formel: Faktorisieren

Beim sogenannten Faktorisieren möchtest du Terme so vereinfachen, dass zwischen den Klammern keine Plus- oder Minuszeichen mehr stehen. Auch hier kann dir die 2. binomische Formel helfen.

Beispiel 1

Die linke Seite kannst du faktorisieren.

4 – 4b + b² = 2² – 2 · 2 · b + b² = (2b

Dabei teilst du am besten gedanklich die Zahl im gemischten Term durch 2, also hier die 4 von -4b. So kannst du schnell erkennen, ob das Muster der 2. binomischen Formel vorliegt. 

Beispiel 2

Auch Kombinationen aus Zahlen und Buchstaben können vorkommen.

16x² – 24xy + 9y² = (4x)² – 2 · (4x) · (3y) + (3y)² = (4x – 3y)²

Mit ein bisschen Übung klappt das auch bei komplizierteren Ausdrücken. Um die zu erkennen, helfen dir vor allem die Quadratzahlen vor dem x² und y². 

Beispiel 3

Brüche können auch hier wieder vorkommen.

\frac{1}{4}-b+b^2=(\frac{1}{2}-b)^2

Da hilft dir vor allem viel Übung weiter. So erkennst du schnell, dass die 4 im Nenner eine 2 im Quadrat ist. 

Beispiel 4

Vielleicht sind die einzelnen Teile auch vertauscht.

-2a + 1 + a² = a² – 2a + 1 = (a – 1)²

Dann musst du einen Term ein bisschen umstellen, um die 2. binomische Formel anwenden zu können.

2. binomische Formel Herleitung

Die 2. binomische Formel ist dabei eigentlich nur eine Abkürzung. Falls du sie einmal vergessen haben solltest, kannst du sie dir leicht wieder herleiten.

Möglichkeit 1

Statt die zweite binomische Formel auswendig zu lernen, kannst du sie dir durch ein schrittweises Ausmultiplizieren selbst herleiten. Lass uns diese algebraische Herleitung einmal gemeinsam durchgehen.

(a – b)² = (ab) · (ab)

Die hochgestellte Zwei zeigt dir an, dass du den Klammerausdruck zweimal miteinander multiplizierst. Jetzt kannst du Schritt für Schritt die einzelnen Einträge durchgehen.

= a · a + a · (-b) + (-b) · a + (-b) · (-b)

= a² – abba + b² = a² – 2ab + b²

Dabei solltest du aufpassen, dass du auf alle Vorzeichen achtest und dort nichts durcheinander bringst.

Möglichkeit 2

Du kannst dir die 2. binomische Formel aber auch graphisch herleiten.

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2. binomische Formel

Das große rote Quadrat hat die Seitenlänge a, alle Teile darin bilden also . Links unten in der Ecke siehst du das grün umrandete Quadrat. Das hat die Seitenlänge a-b und damit den Flächeninhalt (a-b)².

Um von dem großen roten Quadrat auf das grüne zu kommen, ziehst du die Streifen rechts und oberhalb ab. Diese Rechtecke haben beide die Größe a · b, das rechte ist im Bild einmal schraffiert dargestellt. Oben rechts überlappen sich die beiden Rechtecke, diesen Teil ziehst du sozusagen zweimal ab. Dieses blaue Quadrat hat aber gerade die Seitenlänge b, die Fläche ist also . Um dieses Loch wieder zu stopfen, musst du deshalb einmal dazunehmen. 

Mathematisch aufgeschrieben kommst du so zu

(a – b)² = – 2ab + .

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