Klammern auflösen
Klammern musst du auflösen, um Terme oder Gleichungen zu vereinfachen. Welche Regeln dabei gelten und wie du typische Fehler vermeidest, zeigen wir dir hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Wie löst du Klammern auf? — die Grundlagen
Klammern zeigen dir, welcher Teil einer Aufgabe zuerst berechnet wird.
Schau dir dieses Beispiel ohne Klammern an: 3 · 4 + 2 = 14
Hier gilt Punkt- vor Strichrechnung. Du rechnest also mal oder geteilt vor plus oder minus. In dem Fall zuerst 3 · 4, danach addierst du die 2. Das Ergebnis ist 14.
Mit Klammern gilt eine andere Reihenfolge: 3 · (4 + 2) = 18
Nun rechnest du zuerst die Klammer. Danach kommt Punkt vor Strich. In diesem Beispiel berechnest du also zuerst 4 + 2. Erst danach multiplizierst du mit 3. Das ergibt dann 18.
Du siehst also, dass Klammern das Ergebnis verändern können. Deswegen ist es wichtig, die Klammer zuerst auszurechnen — wenn eine da ist. Manchmal kannst du die Klammer aber nicht einfach ausrechnen, weil sie vielleicht zu kompliziert ist. Dann löst du die Klammer auf, um dir die Rechnung zu erleichtern.
Wie du die Klammer auflöst, hängt davon ab, was vor der Klammer steht. Du unterscheidest sechs typische Fälle.
- Plus vor der Klammer
- Minus vor der Klammer
- Eine Zahl vor der Klammer
- Zwei Klammern werden miteinander multipliziert
- Innere und äußere Klammern auflösen
- Klammern mit Potenzen
Wie du die Klammer in all diesen Fällen auflöst, schauen wir uns jetzt Schritt für Schritt an.
Plus vor der Klammer
Steht ein Plus vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Sie beeinflusst das Ergebnis nicht.
Schau dir dieses Beispiel an:
5 + (8 + 4) = 17
5 + 8 + 4 = 17
Wie du siehst, bleibt das Ergebnis gleich — egal, ob mit oder ohne Klammern.
Das funktioniert auch, wenn in der Klammer ein Minus steht.
7 + (10 – 3) = 14
7 + 10 – 3 = 14
Auch hier kannst du die Klammern einfach weglassen.
Selbst wenn in der Klammer mal oder geteilt gerechnet wird, kannst du sie weglassen. Wegen der Regel Punkt vor Strich würdest du diese Aufgaben ohnehin zuerst berechnen. Das siehst du zum Beispiel hier:
6 + (3 · 5) = 21
6 + 3 · 5 = 21
Oder bei einer Division:
9 + (12 : 4) = 12
9 + 12 : 4 = 12
Steht ein Plus vor der Klammer, bleiben alle Vorzeichen in der Klammer so, wie sie sind. Du entfernst nur die Klammer. Das heißt auch Plusklammerregel.
Der Grund dafür ist das Assoziativgesetz. Es besagt, dass du beim Addieren und Subtrahieren Klammern anders setzen oder ganz weglassen darfst, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
➡️ Beispiel: 5 + (8 + 4) = (5 + 8) + 4 = 17
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Minus vor der Klammer
Steht ein Minus vor der Klammer, musst du alle Vorzeichen in der Klammer ändern. Das gilt aber nur, wenn in den Klammern ein Plus oder Minus steht. Dann wird aus Plus ein Minus und aus Minus wird Plus.
Schau dir dieses Beispiel an:
20 – (6 + 4) = 10
Entfernst du die Klammer, musst du die Vorzeichen in der Klammer umdrehen:
20 – 6 – 4 = 10
→ Hier wurde aus dem Plus in der Klammer ein Minus.
Die Regel gilt auch, wenn mehrere Rechenzeichen in der Klammer stehen:
18 – (5 – 2 + 7) = 8
Nach dem Auflösen sieht das so aus:
18 – 5 + 2 – 7 = 8
→ Jedes Plus aus der Klammer wurde zu einem Minus und jedes Minus zu einem Plus.
Steht in der Klammer eine Mal- oder Geteiltaufgabe, gilt dieser Vorzeichenwechsel nicht. Du kannst die Klammer dann einfach weglassen, weil nach der Regel „Punkt vor Strich“ die Multiplikation oder Division sowieso zuerst berechnet wird.
12 – ( 3 · 4 ) = 0
12 – 3 · 4 = 0
20 – ( 16 : 4 ) = 16
20 – 16 : 4 = 16
Wenn vor der Klammer ein Minus steht, änderst du alle Vorzeichen innerhalb der Klammer und kannst die Klammern entfernen.
Eine Zahl vor der Klammer
Steht ein Mal-Zeichen direkt vor der Klammer, musst du die Zahl mit jedem Term in der Klammer multiplizieren.
Schau dir dieses Beispiel an:
4 · (6 + 3) = 36
Du multiplizierst die 4 mit beiden Zahlen in der Klammer:
4 · 6 + 4 · 3
4 · 6 = 24
4 · 3 = 12
Das Plus zwischen den beiden Termen bleibt erhalten. Danach addierst du die Ergebnisse:
→ Das ergibt 24 + 12 = 36.
Achte besonders auf das Vorzeichen der Zahl vor der Klammer. Wie zum Beispiel hier:
-5 · (2 + 4) = -30
Hier wird das Minus ein Teil der Rechnung:
(-5 · 2) + (-5 · 4)
→ Das ergibt (-10) + (-20) = -10 -20 = -30
Das Gleiche gilt auch bei einem Minus in der Klammer:
2x · (5 – 1)
Du multiplizierst 2x mit beiden Zahlen in der Klammer:
2x · 5 – 2x · 1
→ So entsteht 10x – 2x
Steht in der Klammer eine Mal- oder Geteiltaufgabe, kannst du die Klammern einfach entfernen:
3 · (4 · 2) = 3 · 4 · 2
= 24
Hier greift wieder das Assoziativgesetz. Es besagt, dass du bei einer reinen Malaufgabe die Klammern anders setzen oder weglassen darfst, ohne dass sich das Ergebnis ändert.
Bei einer Division kannst du ebenfalls die Klammer entfernen:
6 · (12 : 3) = 6 · 12 : 3
= 72 : 3
= 24
Gut zu wissen: Ohne Klammern rechnest du bei Mal und Geteilt einfach von links nach rechts.
Steht ein Faktor vor der Klammer, wird er mit jedem einzelnen Teil in der Klammer multipliziert. Auch ein negatives Vorzeichen vom Faktor wird übernommen.
Diese Regel heißt Distributivgesetz. Das bedeutet, dass du eine Zahl oder einen Term vor der Klammer auf alle Teile in der Klammer verteilst.
➡️ Beispiel: 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 12 + 6 = 18
Geteilzeichen vor der Klammer
Ein Geteilt-Zeichen vor der Klammer wirkt ähnlich wie ein Minuszeichen: Wenn du die Klammer auflösen willst, musst du die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umkehren.
Das heißt: Aus einem Mal in der Klammer wird ein Geteilt. Aus einem Geteilt in der Klammer wird ein Mal.
Beispiel 1: 24 : (4 • 2)
→ Mit Klammer zuerst: 24 : 8 = 3
→ Klammer auflösen: 24 : 4 : 2 = 6 : 2 = 3 ✓
→ Falsch wäre: 24 : 4 • 2 = 6 • 2 = 12 ✗
Beispiel 2: 20 : (10 : 5)
→ Mit Klammer zuerst: 20 : 2 = 10
→ Klammer auflösen: 20 : 10 • 5 = 2 • 5 = 10 ✓
→ Falsch wäre: 20 : 10 : 5 = 2 : 5 = 
✗
Zwei Klammern werden miteinander multipliziert
Treffen zwei Klammern aufeinander, musst du jeden Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten Klammer multiplizieren. Diese Regel brauchst du nur, wenn in den Klammern Plus oder Minus steht.
Wichtig: Das gilt für Aufgaben mit Buchstaben und auch für reine Zahlen. Bei Zahlen kannst du die Klammern aber oft zuerst einzeln ausrechnen und musst nicht ausmultiplizieren.
Ausmultiplizieren mit Zahlen
Hier ein Beispiel mit Zahlen:
(3 + 2) · (4 – 1)
Um diese Rechnung zu lösen, kannst du zuerst die Klammern berechnen und dann multiplizieren:
(3 + 2) = 5
(4 – 1) = 3
5 · 3 → Das ergibt 15.
Du könntest auch ausmultiplizieren, indem du jede Zahl aus einer Klammer mit jeder Zahl aus der anderen Klammer multiplizierst. Dann rechnest du die Ergebnisse zusammen:
3 · 4 – 3 · 1 + 2 · 4 – 2 · 1
= 12 – 3 + 8 — 2
→ auch das ergibt 15.
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Bei Zahlen ist es meist schneller, die Klammern zuerst auszurechnen.
Ausmultiplizieren mit Zahlen und Buchstaben
Sobald Buchstaben wie x in einer oder beiden Klammern vorkommen, musst du ausmultiplizieren. Du kannst die Klammern dann nicht einfach vorher berechnen. Schau dir dieses Beispiel an:
(x + 4) · (x + 7)
Zuerst multiplizierst du x mit beiden Teilen der zweiten Klammer:
(x + 4) · (x + 7)
x · x + x · 7 = x² + 7x
Danach multiplizierst du 4 mit beiden Teilen:
(x + 4) · (x + 7)
4 · x + 4 · 7 = 4x + 28
Jetzt addierst du alle Ergebnisse indem du gleiche Terme zusammenfasst:
x² + 7x + 4x + 28
= x² + 11x + 28
Bei unterschiedlichen Rechenzeichen in den Klammern funktioniert das genauso:
(2a – 3) · (a + 5)
Zuerst nimmst du den ersten Teil der linken Klammer. Das ist 2a. Diesen multiplizierst du mit beiden Teilen der rechten Klammer:
(2a – 3) · (a + 5)
2a · a + 2a · 5 = 2a² + 10a
Jetzt kommt der zweite Teil der linken Klammer. Das ist –3.
Auch –3 wird mit beiden Teilen der rechten Klammer multipliziert:
(2a – 3) · (a + 5)
-3 · a -3 · 5 = -3a – 15
Nun schreibst du alle Ergebnisse hintereinander:
2a² + 10a – 3a – 15
Zum Schluss fasst du die gleichen Terme zusammen. 10a und -3a gehören zusammen. Das Endergebnis lautet:
2a² + 7a – 15
Tipp: Wenn du mehr als zwei Klammern multiplizieren sollst, multiplizierst du zuerst zwei davon aus. Danach nimmst du das Ergebnis und multiplizierst es mit der nächsten Klammer, bis alle aufgelöst sind.
Innere und äußere Klammern auflösen
Manchmal stehen mehrere Klammern ineinander. Dann hast du innere und äußere Klammern. Du löst immer zuerst die inneren Klammern auf.
Schau dir dieses Beispiel an:
[(5 – 1) · (2 + 3)] · 4
In der eckigen Klammer stehen zwei innere runde Klammern. Diese rechnest du zuerst aus. In diesem Fall multiplizierst sie aus:
[(5 – 1) · (2 + 3)] · 4
5 – 1 = 4
2 + 3 = 5
= [4 · 5] · 4
Jetzt rechnest du weiter:
[4 · 5] · 4 = [20] · 4
Zum Schluss multiplizierst du mit 4. Das ergibt 80.
Tipp: In der Mathematik werden nicht immer runde und eckige Klammern verwendet. Auch wenn nur runde Klammern ineinander stehen, gehst du genauso vor. Du startest immer mit der innersten Klammer.
Klammern mit Potenzen auflösen
Steht hinter einer Klammer eine Hochzahl (Potenz), zum Beispiel hoch 2, dann wird die ganze Klammer so oft mit sich selbst multipliziert, wie die Hochzahl es vorgibt.
Nur Zahlen in der Klammer
Schau dir dieses Beispiel an:
(8 – 5)²
Das bedeutet nichts anderes als:
(8 – 5) · (8 – 5)
Du brauchst also keine neue Regel. Du kannst ganz normal ausmultiplizieren.
(8 – 5) · (8 – 5)
= 8 · 8 + 8 · ( -5) – 5 · 8 – 5 · ( -5)
= 64 – 40 – 40 + 25
= 64 – 80 + 25
= 9
Hier geht es aber auch einfacher. Du kannst zuerst die Klammer berechnen.
8 – 5 = 3
3² = 9
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.
Zahlen und Buchstaben in der Klammer
Spannender wird es mit Buchstaben:
(4 – x)²
Hier kannst du nicht zuerst ausrechnen. Du musst ausmultiplizieren:
(4 – x) · (4 – x)
= 4 · 4 – 4 · x – x · 4 + x · x
= 16 – 4x – 4x + x²
= 16 – 8x + x²
Wichtig ist, dass du wirklich jeden Teil mit jedem multiplizierst und die Vorzeichen beachtest.
Eine Klammer mit hoch 2 bedeutet immer, dass du die Klammer zweimal miteinander multiplizierst.
Übungen zum Klammern auflösen
Jetzt bist du dran: Hier kannst du dein Wissen direkt überprüfen. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst und vergleiche danach dein Ergebnis mit der Lösung.
- 9 + (7 + 3) → Lösung:9 + 7 + 3 = 19
- 14 + ( 8 − 5 ) → Lösung: 14 + 8 − 5 = 17
- 18 − (6 + 4) → Lösung: 18 − 6 − 4 = 8
- 25 − (10 − 3) → Lösung:25 − 10 + 3 = 18
- 4(6 + 2) → Lösung: 4 · 6 + 4 · 2 = 24 + 8 = 32
- −3(5 − 7) → Lösung: −3 · 5 + –3 · 7 = −15 + 21 = 6
- 5x + (3x − 2) → Lösung: 5x + 3x − 2 = 8x − 2
- y − (4y + 6) → Lösung: y − 4y − 6 = −3y − 6
- 7 (x − 3) → Lösung: 7x − 21
- (x + 4) · (x + 1) → Lösung: x · x + x · 1 + 4 · x + 4 · 1 = x² + x + 4x + 4 = x² + 5x + 4
- (2a − 5) · (a + 3) → Lösung: 2a · a + 2a · 3 − 5 · a − 5 · 3 = 2a² + 6a − 5a − 15 = 2a² + a − 15
- (y − 6) · (y − 2) → Lösung: y · y − 2y − 6y + 12 = y² − 8y + 12
- (8 − 3)² → Lösung: (8 – 3) • (8 – 3) = 5 • 5 = 25
- (x + 5)² → Lösung: (x + 5) · (x + 5) = x² + 5x + 5x + 25 = x² + 10x + 25
- (3a − 4)² → Lösung: (3a − 4) · (3a − 4) = 9a² − 12a − 12a + 16 = 9a² − 24a + 16
- 6 · (2 + (5 − 1)) → Lösung: 6 · (2 + 4) = 6 · 2 + 6 • 4 = 12 + 24 = 36
- 20 − (8 + (4 − 2)) → Lösung:20 − (8 + 2)= 20 − 8 − 2 = 10
- [(3 + 2) · (4 − 1)] · 5 → Lösung: [5 · 3] · 5 = 15 · 5 = 75