Mathematische Grundlagen
Formeln und Terme
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In diesem Beitrag erklären wir dir, was eine Äquivalenzumformung ist und wie du mithilfe von Äquivalenzumformungen eine Gleichung lösen kannst. Du möchtest dich beim Lernen lieber zurücklehnen und entspannen? Dann schau dir unser Video an!

Äquivalenzumformung einfach erklärt

Was bedeutet äquivalent? Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge L haben. Wenn du eine Äquivalenzumformung durchführst, bekommst du also eine neue Gleichung mit dem gleichen Ergebnis wie die ursprüngliche Gleichung. Dafür musst du aber erst mal eine Gleichung umformen.

Schau dir mal diese beiden Gleichungen an: 

    \begin{align*} 5x&=10\\ x&=2 \end{align*}

Die beiden Gleichungen sind äquivalent, weil sie beide die gleiche Lösungsmenge haben L={2}. Du kannst dir deine Gleichungen auch als Waagen vorstellen, die im Gleichgewicht sind.

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Äquivalenzumformung: Waage im Gleichgewicht

Bei diesen beiden Gleichungen sieht das anders aus.

    \begin{align*} 5x&=10\\  x&=1 \end{align*}

Sie haben die Lösungsmengen L1={2} und L2={1}. Damit sind sie nicht äquivalent.

Gleichungen lösen durch Äquivalenzumformungen

Weil Äquivalenzumformungen nicht die Lösungsmenge verändern, kannst du sie benutzen, um Gleichungen zu lösen. Dafür musst du die Gleichungen äquivalent umformen, bis die Variable x allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Du löst die Gleichung deshalb nach x auf. Wenn du Gleichungen umformen musst, kannst du die vier Grundrechenarten verwenden: Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (•) und Division (:). 

Wichtig ist, dass du jeden Rechenschritt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durchführst. Möchtest du auf der linken Seite des Gleichheitszeichens +2 rechnen, musst du auch unbedingt auf der rechten Seite +2 rechnen.

Das notierst du so:

    \begin{align*} x-2&=4&&\textcolor{blue}{|\;+2}\\ x \underbrace{-2\textcolor{blue}{+2}}_{0}&=\underbrace{4\textcolor{blue}{+2}}_{6}\\ x&=6 \end{align*}

Den Strich | benutzt du, um anzugeben, was für einen Rechenschritt du durchführst. In den folgenden Beispielen siehst du nochmal genau, wie du jede Grundrechenart bei Äquivalenzumformungen benutzt.

Beispiel 1: Addition und Subtraktion

Du fängst mit den Grundrechenarten Addition und Subtraktion an. Schaue dir dazu diese Gleichung an:

    \[2x-5=14+x\]

Dein Ziel ist die Gleichung zu lösen. Du willst also wissen, welche Zahl x sein muss, damit die rechte und linke Seite gleich sind. Dafür muss x allein stehen. Wie gehst du vor? Zuerst rechnest du auf beiden Seiten +5 und bringst somit alle Zahlen ohne x auf eine Seite.

    \begin{align*} 2x-5&=14+x&&|\; \textcolor{red}{+5}\\ 2x \underbrace{-5\textcolor{red}{+5}}_{0}&=\underbrace{14\textcolor{red}{+5}}_{19}+x\\ 2x&=19+x \end{align*}

Nun musst du alle x auf eine Seite bringen. Dafür rechnest du auf beiden Seiten -x.

    \begin{align*} 2x&=19+x&&|\; \textcolor{red}{-x}\\ \underbrace{2x\textcolor{red}{-x}}_{x}&=19\underbrace{+x\textcolor{red}{-x}}_{0}\\ x&=19 \end{align*}

Du siehst, dass du auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren musst, wenn du die Gleichungen umformen möchtest. Beide Gleichungen sind äquivalent. Du hast sie umgeformt, ohne ihre Lösungsmenge zu verändern. Die ursprüngliche Gleichung und x=19 haben beide dieselbe Lösungsmenge L={19}.

Beispiel 2: Multiplikation und Division

Häufig musst du bei Äquivalenzumformungen auch mal oder geteilt rechnen. Schau dir dafür diese Aufgabe an:

    \[2\cdot\frac{1}{3}x=8\]

Wieder möchtest du, dass x allein steht. Dafür teilst du zuerst durch 2.

    \begin{align*} 2\cdot\frac{1}{3}x&=8&&|\; \textcolor{olive}{:2}\\ 2\cdot\frac{1}{3}x\;\textcolor{olive}{:2}&=8\;\textcolor{olive}{:2}\\ \frac{1}{3}x&=4 \end{align*}

Achtung: Bei der Division darfst du niemals durch 0 teilen!

Im nächsten Schritt willst du, dass x allein auf einer Seite steht. Dafür musst du durch \textcolor{olive}{\frac{1}{3}} teilen, also mal 3 rechnen (siehe Dividieren von Brüchen ).

    \begin{align*} \frac{1}{3}x&=4&&|\; \textcolor{olive}{\cdot3}\\ \frac{1}{3}x\textcolor{olive}{\cdot3}&=4\textcolor{olive}{\cdot3}\\ x&=12 \end{align*}

Beispiel 3: Klammern auflösen

Äquivalenzumformungen kannst du auch durchführen, wenn in der Gleichung eine Klammer steht:

    \[2+8(x-1)=4x+6\]

Dafür musst du zunächst durch Ausmultiplizieren die Klammer auflösen .

    \begin{align*} \,2+8(x-1)&=4x+6&&|\; \textcolor{teal}{\text{Klammer auflösen}}\\ \,2+8x-8&=4x+6 \end{align*}

Im nächsten Schritt kannst du die linke Seite der Gleichung zusammenfassen.

    \begin{align*} 2+8x-8&=4x+6&&|\; \textcolor{teal}{\text{Zusammenfassen}}\\ -6+8x&=4x+6 \end{align*}

Zum Schluss kannst du wie in den Beispielen zuvor die Gleichung umformen, bis x allein steht.

    \begin{align*} -6+8x&=4x+6&&|\; \textcolor{teal}{+6}\\ -6\textcolor{teal}{+6}+8x&=4x+6\textcolor{teal}{+6}\\ 8x&=4x+12&&|\; \textcolor{teal}{-4x}\\ 8x\textcolor{teal}{-4x}&=4x\textcolor{teal}{-4x}+12\\ 4x&=12&&|\; \textcolor{teal}{:4}\\ 4x\;\textcolor{teal}{:4}&=12\;\textcolor{teal}{:4}\\ x&=3 \end{align*}

Besondere Lösungsmengen

Beim Lösen von linearen Gleichungen können dir drei unterschiedliche Fälle begegnen. Eine lineare Gleichung hat entweder

  • eine,
  • unendlich viele oder
  • keine Lösung.

Eine Lösung

Diese Situation hast du bereits in oberen Beispielen kennengelernt. Schau dir mal diese Aufgabe an.

Löse die Gleichung:

    \begin{align*} \,3x+4&=4x&&|\;-3x\\ \,4&=x \end{align*}

Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens kannst du die gleiche Zahl für x einsetzen. Die Lösungsmenge ist damit:

    \[\mathbb{L}=\{4\}\]

Unendlich viele Lösungen

Hier ist es egal, welche Zahl du für die Variable x einsetzt. Jede Zahl kann die Gleichung lösen. Wie das funktioniert, siehst du in diesem Beispiel.

Löse die Gleichung:

    \begin{align*} \,4x+6&=2\cdot(2x+3)&&|\;\text{Klammer auflösen}\\ \,4x+6&=4x+6&&|\;-4x\\ \,6&=6\\ \end{align*}

Da das x auf beiden Seiten der Gleichung verschwindet, spielt es keine Rolle, welche Zahl du für x einsetzt. Das Ergebnis bleibt trotzdem gleich.  Du siehst, dass jede Zahl die Gleichung löst. Deine Lösungsmenge ist also die Menge der reellen Zahlen . Darum hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. Das stellst du folgendermaßen dar:

    \[\mathbb{L}=\mathbb{R}\]

Keine Lösung

Es kann aber auch vorkommen, dass du eine Gleichung durch Äquivalenzumformung nicht lösen kannst. Dann hat die Gleichung keine Lösung. Wie das möglich ist, siehst du in dieser Aufgabe.

Löse die Gleichung:

    \begin{align*} 2x+3&=2\cdot(x+4)&&|\;\text{Klammer auflösen}\\ 2x+3&=2x+8&&|\;-2x\\ 3&=8\\ 3&\cancel{=}8 \end{align*}

Da 3 nicht dasselbe ist wie 8, kannst du diese Gleichung nicht lösen. Es gibt keine Zahl, die du für x einsetzen kannst, damit auf beiden Seiten dasselbe Ergebnis steht. Das bedeutet, sie hat keine Lösung. Das stellst du durch leere geschweifte Klammern dar. 

    \[\mathbb{L}=\{\}\]

Aufgabe zu Äquivalenzumformung

Hier findest du eine Aufgabe, mit der du Äquivalenzumformungen üben kannst. So bist du optimal vorbereitet, wenn der Begriff äquivalent in Mathe ertönt. Dann kannst du auch die Frage: „Was bedeutet äquivalent?“ super beantworten.

Aufgabe

Löse die Gleichung durch Äquivalenzumformung und bestimme die Lösungsmenge.

    \[4x-2=6+2x\]

Lösung:

1.Schritt: Du addierst auf beiden Seiten mit 2.

    \begin{align*} 4x-2&=6+2x&&|\;+2\\ 4x&=8+2x \end{align*}

2.Schritt: Du bringst x auf eine Seite.

    \begin{align*} 4x&=8+2x&&|\;-2x\\ 2x&=8\\ \end{align*}

3.Schritt: Du berechnest x, indem du durch 2 teilst.

    \begin{align*} 2x&=8&&|\;:2\\ x&=4 \end{align*}

4.Schritt: Gib die Lösungsmenge an.

    \[ \mathbb{L}=\{4\}\]

Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen

Auch wenn du keine Gleichungen vor dir hast, kannst du Äquivalenzumformungen nutzen, um x zu finden. Die Vorgehensweise bleibt gleich.

    \[5-10x\leq\,25\]

Achtung: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du die Richtung des Vergleichszeichens ändern!

Schaue dir fürmehr Beispiele auch unser Video zu Ungleichungen an.

Zum Video: Ungleichungen lösen
Zum Video: Ungleichungen lösen

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