Parallelogramm
Wusstest du, dass Quadrate und Rechtecke eigentlich auch Parallelogramme sind? Wir zeigen dir hier und im Video, durch welche Merkmale sich ein Parallelogramm auszeichnet und wie du Fläche und Umfang berechnen kannst.
Inhaltsübersicht
Was ist ein Parallelogramm?
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind.
Du kannst ein Parallelogramm auch an der Punktsymmetrie erkennen. Denn ein Viereck ist immer genau dann ein Parallelogramm, wenn es punktsymmetrisch ist. Der Symmetriepunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Seiten
Die gegenüberliegenden Seiten in einem Parallelogramm sind immer parallel zueinander. Das heißt: a || c und b || d.
Außerdem sind sie gleich lang: a = c und b = d.
Winkel
In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß. Das heißt: α = γ und β = δ.
Zwei Winkel, die auf derselben Seite liegen, ergeben zusammen immer 180°, z. B.: α + β = 180° oder β + γ = 180°.
Wie bei jedem Viereck ergeben alle vier Winkel zusammen 360°: α+ β + γ + δ = 360°.
Symmetrie
Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt M der Diagonalen. Das bedeutet, dass es genau gleich aussieht, wenn du es um 180° drehst.
Wichtig: Ein Parallelogramm ist normalerweise nicht achsensymmetrisch. Es hat also keine Spiegelachse. Nur Spezialformen wie das Rechteck oder die Raute sind achsensymmetrisch.
Vergleich zu anderen Vierecken
Ein Parallelogramm hat vier Ecken und gehört deshalb zu den Vierecken. Sobald es aber besondere Winkel oder Seitenlängen hat, entstehen Spezialfälle vom Parallelogramm:
- Rechteck: Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln (90°) ist ein Rechteck.
- Raute (Rhombus): Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute.
- Quadrat: Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat.
- Trapez: Ein Parallelogramm ist immer ein Trapez. Ein Trapez muss nämlich ein Paar parallele Seiten haben. Das Parallelogramm ist also ein „Upgrade“ vom Trapez, weil bei ihm sogar beide Seitenpaare parallel sind.
Flächeninhalt A
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms ist:
A = a • h
Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Seite a. Die schrägen Seiten b oder d sind nicht die Höhe!
➡️ Beispiel: Du hast ein Parallelogramm mit der Seite a = 7 cm und der Höhe h = 3 cm. Setzt du die Werte in die Formel ein, erhältst du den Flächeninhalt.
A = 7 cm • 3 cm = 21 cm2
Wenn du das Parallelogramm entlang der Höhe h durchschneidest, erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck. Schiebst du dieses Dreieck auf die gegenüberliegende Seite, entsteht ein Rechteck mit der Grundseite a und der Breite h. Deshalb berechnest du die Fläche genau wie beim Rechteck (a • b).
Umfang U
Der Umfang ist die Summe aller Außenlinien. Da die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, musst du nicht alle vier Seiten einzeln addieren. Du kannst die Kurzform nutzen:
U = 2 • a + 2 • b
➡️ Beispiel: Ein Parallelogramm hat die Seiten a / c = 7 cm und b / d = 5 cm. Setzt du das in die Formel ein, hast du den Umfang.
U = 2 • 7 cm + 2 • 5 cm = 14 cm + 10 cm = 24 cm
Übungsaufgaben zum Parallelogramm
Teste dein Wissen mit diesen typischen Prüfungsfragen. Die Lösungen findest du direkt darunter.
Aufgabe 1: Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
a) Jedes Quadrat ist ein Parallelogramm.
b) Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
c) Jede Raute ist ein Rechteck.
d) Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck.
Lösung: c) ist falsch. Eine Raute hat zwar vier gleich lange Seiten, aber keine rechten Winkel. Daher ist es kein Rechteck.
Aufgabe 2: Winkel berechnen
In einem Parallelogramm ist der Winkel α = 70°. Berechne die restlichen drei Innenwinkel β, γ und δ.
Lösung: Gegenüberliegende Winkel sind gleich. Da α = 70° ist, muss γ = 70° sein. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: β = 180° – 70° = 110°. Damit ist auch δ = 110°.
Aufgabe 3: Fläche & Umfang
Gegeben ist ein Parallelogramm mit:
- Seite a = 8 cm
- Seite b = 5 cm
- Höhe h = 4 cm
Berechne den Flächeninhalt A und den Umfang U.
Lösung: A = a • h = 8 cm • 4 cm = 32 cm2. Die Seite b wird hier nicht benötigt!
U = 2 • a + 2 • b = 2 • 8 cm + 2 • 5 cm = 16 cm + 10 cm = 26 cm.
Aufgabe 4: Eigenschaften & Symmetrie
Ein Viereck hat Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren, aber nicht gleich lang sind. Es besitzt keine Spiegelachsen, ist aber punktsymmetrisch. Um welche Figur handelt es sich?
Lösung: Es ist ein Parallelogramm. Wären die Diagonalen gleich lang, wäre es ein Rechteck. Hätte es Spiegelachsen, wäre es eine Raute oder ein Rechteck.
Parallelogramm — häufigste Fragen
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Parallelogramm — häufigste Fragen
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Was muss bei einem Viereck stimmen, damit es ein Parallelogramm ist?Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn beide Paare gegenüberliegender Seiten jeweils parallel und gleich lang sind. Das heißt: Jede Seite hat eine gegenüberliegende Seite mit gleicher Länge und gleicher Richtung. Konkret gilt dann a || c und b || d sowie a = c und b = d.
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Welche Winkel sind im Parallelogramm gleich groß?In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Das liegt daran, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander verlaufen. Konkret bedeutet das: Der Winkel α ist so groß wie γ und der Winkel β ist so groß wie δ.
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Warum ergeben zwei benachbarte Winkel im Parallelogramm 180 Grad?Zwei benachbarte Winkel im Parallelogramm ergeben 180°, weil sie auf derselben Seite liegen und zusammen einen gestreckten Winkel bilden. Dadurch ergänzen sie sich immer zu 180°. Zum Beispiel gilt im Parallelogramm: α+ β = 180° und ebenso γ + δ = 180°.
Haus der Vierecke
Parallelogramm, Rechteck, Quadrat, Trapez, Raute — da verlieren viele schnell mal den Überblick. Um alle Ähnlichkeiten und besonderen Merkmale der Vierecke auf einen Blick zu verstehen, gibt es das Haus der Vierecke. Was das ist, zeigen wir dir hier!
