Geometrie

Abstand zweier Punkte

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du den Abstand zweier Punkt berechnest. Noch schneller verstehst du die Berechnung zwischen zwei Punkten mit unserem Video .

Inhaltsübersicht

Abstand zweier Punkte einfach erklärt

Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum entspricht der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen den Punkten, also eine gerade Linie. Hier siehst du die beiden Formeln für die Ebene und den Raum:

Formeln

2 Dimensionen

Liegen die beiden Punkte auf einer Ebene, also im zweidimensionalen Raum, dann beträgt der Abstand d der Punkte P_1 (x_1 \vert y_1) und P_2 (x_2 \vert y_2):

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)}

3 Dimensionen

Im dreidimensionalen Raum erweitert man die Formel einfach um die z-Koordinaten der Punkte. Die Distanz zwischen P_1 (x_1 \vert y_1 \vert z_1) und P_2 (x_2 \vert y_2 \vert z_2) kann man daher so berechnen:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Abstand zweier Punkte berechnen

Als nächstes wollen wir in zwei Beispielen ausführlich vorrechnen, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet. Das machen wir sowohl für Punkte, die in einer zweidimensionalen Ebene liegen als auch für solche, die sich in einem dreidimensionalen Raum befinden.

Beispielaufgabe 1:

Wir suchen den Abstand d(Q, R) der Punkte Q \ (2 \vert 7) und R \ (4 \vert 3).

Um diese Aufgabe zu lösen, benötigen wir die Formel für zwei Dimensionen, denn die einzelnen Punkte haben zwei Koordinaten. Sie setzen wir in die 2D-Formel für den Abstand ein. Anschließend rechnen wir erst die Klammern aus und quadrieren sie. Danach bilden wir die Summe dieser Quadrate und ziehen zum Schluss die Wurzel.

d(A, B) = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 7)^2}

d(A, B) = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4,47 LE

Für den Abstand von Punkt Q zu Punkt R erhalten wir eine Lösung von circa 4,47 Längeneinheiten (z.B. Meter, Zentimeter, … ).

Beispielaufgabe 2 

Wir suchen den Abstand d(A, B) der Punkte A \ (4 \vert 1 \vert 8) und B \ (5 \vert 3 \vert 5).

Bei dieser Aufgabe befinden wir uns in einem dreidimensionalen Raum, denn jeder Punkt besitzt drei Koordinaten. Zur Lösung brauchen wir also die 3D-Formel für den Abstand Punkt Punkt. Nach dem Einsetzen der Koordinaten ziehen wir diese wiederum paarweise voneinander ab und quadrieren die Ergebnisse. Zum Schluss addieren wir alle Quadrate und ziehen die Wurzel aus der Summe.

d(A, B) = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}

= \sqrt{(5 - 4)^2 + (3 - 1)^2 + (5 - 8)^2}

d(A, B) = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3,74 LE

Der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B beträgt circa 3,74 LE.

Abstandsrechnungen in der Geometrie

In der Geometrie kannst du nicht nur den Abstand zweier Punkte berechnen, sondern auch Abstände zwischen anderen und verschiedenen Formen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:

Abstände mit der euklidischen Distanz

Die Formeln, die du jetzt kennst, sind nur Spezialfälle der Formel für die euklidische Distanz. Mit ihr kannst du den Abstand zwischen zwei Punkten in Räumen mit noch mehr als drei Dimensionen berechnen. Die Formel lautet: 

d(P, Q) = \vert \vec{p} -\vec{q} \vert =\sqrt{(q_1-p_1)^2+...+(q_n-p_n)^2} = \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n} (q_i-p_i)^2}

Herleitung: Abstand zwischen zwei Punkten

Du fragst dich vielleicht, wie man auf die beiden Formeln kommt, mit denen man den Abstand zweier Punkte berechnen kann. Das geht ganz einfach mit dem Satz von Pythagoras. Zum besseren Verständnis erklären wir dir sowohl die Herleitung der Abstandsformel in der Ebene als auch für drei Dimensionen. Aber eigentlich handelt es sich beide Male um den gleichen Rechenweg.

Abstand in der Ebene (zwei Dimensionen)

Die Strecke zwischen zwei Punkten können wir in einer Ebene zu einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen, indem wir achsenparallele Hilfslinien ziehen. So wird deutlich, dass der Abstand zwischen den Punkten die Hypotenuse und die Hilfslinien die Ankatheten dieses Dreiecks bilden. Die Verbindungsstrechke zwischen den Punkten P und Q können wir daher über den Satz des Pythagoras bestimmen.

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Abstand zweier Punkte

Der Abstand d(P, Q) im Quadrat ist gemäß dem Satz des Pythagoras gleich der Summe der Quadrate der achsenparallelen Hilfsstrecken. Diese Streckenlängen können wir bestimmen, indem wir den x-Wert des einen Punktes vom anderen abziehen und anschließend diesen Schritt für die y-Koordinaten wiederholen.

d^2 = (q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2

d(P, Q) = \overline{PQ} = \sqrt{(q_1 - p1)^2 + (q_2 - p_2)^2}

Aufgrund der Quadrate spielt es dabei keine Rolle welcher Punkt von welchem abgezogen wird und ob die Koordinatendifferenzen negativ sind.

Abstand im dreidimensionalen Raum

Im dreidimensionalen Raum \mathbb{R} ^3 ist im Vergleich zur Herleitung des Abstandes in der Ebene ein weiterer Zwischenschritt erforderlich. Anstelle der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks in einer Ebene, entspricht der Abstand hier der Länge der Raumdiagonalen eines achsenparallelen Quaders. Die untersuchten Punkte liegen dabei in sich diagonal gegenüberliegeneden Ecken des Quaders.

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Dreidimensionaler Abstand zweier Punkte

Die Kantenlängen des gedachten Quaders lassen sich berechnen, indem wir die jeweiligen x-, y- und z-Koordinaten des Punktes P vom Punkt Q abziehen. Da Seitenlängen grundsätzlich nicht negativ werden können, zieht man die Betragsstriche um die Differenzen. Da alle Kanten des Quaders senkrecht aufeinander stehen, können wir mit Hilfe zweier rechtwinkliger Dreiecke und dem Satz des Pythagoras die Raumdiagonale (Abstand P zu Q) berechnen.

Der Abstand d(P, Q) ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten der Flächendiagonalen e und der z-Differenz der Punkte:

d^2 = e^2 + (q_3 - p_3)^2

Die Flächendiagonale ist dabei gleichzeitig die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten der x- und y-Koordinatendifferenzen der Punkte P und Q.

e^2 = (q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2

Setzen wir jetzt diese Gleichung für e in die Funktion für den Abstand eine Zeile darüber ein, ergibt sich die bekannte Abstandsformel im dreidimensionalen Raum.

d^2 = (q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2

d(P, Q)= \overline{PQ} = \sqrt{(q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2}

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