Orthonormalbasis
Was ist eine Orthonormalbasis und wie unterscheidet sie sich von einer Orthogonalbasis? Nicht nur diese Fragen klären wir in dem folgenden Artikel. Wir zeigen dir auch, wie du beliebige Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis darstellen kannst und wie du eine Orthonormalbasis bestimmen kannst.
All diese Dinge lassen sich in einem Video allerdings noch einprägsamer und prägnanter erläutern. Und genau aus diesem Grund haben wir für dich ein solches Video erstellt.
Inhaltsübersicht
Orthonormalbasis einfach erklärt
Eine Orthonormalbasis (oft mit ONB abgekürzt) ist eine Basis eines Vektorraumes, wobei deren Basisvektoren orthonormal zueinander sind. Das heißt das Skalarprodukt zweier beliebiger Basisvektoren ergibt Null und jeder Basisvektor besitzt die Norm 1.
Grundsätzlich steckt in dem Begriff Orthonormalbasis schon alles drin, was ihn ausmacht – orthonormal und Basis. Wir wollen also zunächst diese beiden Begriffe noch einmal kurz klären:
- Eine Basis eines Vektorraum
ist eine Menge aus Vektoren dieses Vektorraums. Diese sogenannten Basisvektoren sind linear unabhängig und stellen ein Erzeugendensystem des Vektorraums dar. Das bedeutet, dass jeder beliebige Vektor des Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann. Da die Vektoren linear unabhängig sind, stellen sie ein kleinstmögliches Erzeugendensystem dar. Würde man einen Basisvektor weglassen, könnte man nicht mehr jeden beliebigen Vektor des Vektorraums als Linearkombination darstellen. - Zwei Vektoren
und 
nennt man orthonormal, wenn sie orthogonal zueinander sind und die Norm 1 besitzen:
- Orthogonalität:
- Normierung:
- Orthogonalität:
Unterschied Orthonormalbasis und Orthogonalbasis
Der Begriff Orthonormalbasis unterscheidet sich vom Begriff der Orthogonalbasis also dadurch, dass bei der Orthogonalbasis die Normierung der Basisvektoren nicht gefordert wird. Hier genügt es, dass sie orthogonal zueinander stehen. Eine Menge paarweise orthogonal zueinander stehender Vektoren heißt Orthogonalsystem. Analog nennt man eine Menge paarweise orthonormaler Vektoren ein Orthonormalsystem. Eine Orthonormalbasis ist also eine Basis, welche ein Orthonormalsystem darstellt.
Es gilt: Für jeden endlichdimensionalen Vektorraum mit einem Skalarprodukt lässt sich auch eine Orthonormalbasis bestimmen.
Darstellung von Vektoren hinsichtlich einer Orthonormalbasis
Hat man für einen Vektorraum eine ONB 
aus den Basisvektoren 
gefunden, kann man jeden beliebigen Vektor 
als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:
mit 
Die Koeffizienten 
dieser Linearkombination nennt man dann die Koordinaten des Vektors bzgl. dieser Basis. Für sie gilt:
Der Vektor lässt sich bzgl. der ONB also folgendermaßen darstellen:
Beispiel der Vektordarstellung
Wir wollen den Vektor 
des 
bezüglich einer ONB darstellen. Die einfachste ONB stellt die Standardbasis aus den folgenden Basisvektoren dar:
Du kannst leicht nachprüfen, dass diese Vektoren bzgl. des Standardskalarprodukts orthogonal zueinander sind und die Norm 1 besitzen. Auch die Koordinaten sind leicht zu berechnen.
Der Vektor sieht in der Darstellung bzgl. der Standardbasis also wie folgt aus:
Neben der Standardbasis lassen sich allerdings auch andere Orthonormalbasen des finden. Zum Beispiel kann man die folgende Orthonormalbasis bestimmen.
Wir wollen hier kurz exemplarisch die Orthonormalität dieser Basisvektoren zeigen und hierfür die Bedingungen prüfen:
- Orthogonalität:
- Normierung
: 
- Normierung
: 
Es handelt sich hierbei also tatsächlich um eine orthonormal Basis. Nun können wir wie oben angegeben die Koordinaten 
des Vektors bzgl. dieser ONB bestimmen:
Der Vektor besitzt also bezüglich der angegebenen ONB die folgende Darstellung:
Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen
In der Koordinatendarstellung bzgl. einer ONB besitzt jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarproduktes. Konkret bedeutet dies folgendes: besitzen die Vektoren und bzgl. der ONB die Koordinaten 
bzw. 
dann gilt im Reellen
und im Komplexen
.
Bezüglich einer ONB ist die Darstellungsmatrix einer orthogonalen Abbildung eine orthogonale Matrix und die Darstellungsmatrix einer unitären Abbildung ist bzgl. einer orthonormal Basis eine unitäre Matrix.
Orthonormalbasis bestimmen
Will man eine Orthonormalbasis bestimmen, dann bietet sich das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an. Dieses soll im folgenden in den Grundzügen erklärt werden.
Gram-Schmidt-Verfahren
Mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann man aus den linear unabhängigen Vektoren ein Orthonormalsystem bestimmen. Bilden die Vektoren eine Basis, so stellt das bestimmte Orthonormalsystem auch eine orthonormal Basis dar. Die einzelnen Vektoren des Orthonormalsystems werden bei dem Verfahren schrittweise berechnet, indem sie zunächst mithilfe der orthogonalen Projektion
orthogonalisiert und anschließend normiert werden.
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
Bei der Bestimmung einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
ist die folgende Erkenntnis nützlich: ist die reelle Matrix 
symmetrisch, so sind ihre Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
orthogonal zueinander. Bilden diese Eigenvektoren auch noch eine Basis des betrachteten Vektorraums, so müssen sie lediglich normiert werden, wenn man eine Orthonormalbasis berechnen will.