Quotientenregel
Du willst wissen, wie die Ableitung mit der Quotientenregel funktioniert? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du dich beim Lernen lieber zurücklehnst, dann schau dir doch unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Quotientenregel einfach erklärt
Du benötigst die Quotientenregel immer dann, wenn du einen Bruch von Funktionen ableiten willst. Das heißt, wenn im Zähler (oben) und im Nenner (unten) ein x vorkommt.
Deine Funktion f(x) sieht also so aus:
![\[f(x) = \frac{\textcolor{red}{g(x)}}{\textcolor{blue}{h(x)}} \qquad \underrightarrow{vereinfacht} \qquad f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-084ad6de6fd730c0b0a4074f613c1e96_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit dieser Formel kannst du die Ableitung ganz leicht bestimmen:
![\[ f = \frac{\textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}} \quad\Longrightarrow\quad f' = \frac{\textcolor{blue}{h}\cdot \textcolor{orange}{g'} - \textcolor{teal}{h'} \cdot \textcolor{red}{g}}{\textcolor{blue}{h}^2} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a5212a36da347405dd82f561a480bc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
NAZ minus ZAN durch Nenner ins Quadrat
Quotientenregel Ableitung Beispiel
Am besten schaust du dir direkt ein Beispiel dazu an.
Du sollst folgende Funktion mit der Quotienten regel ableiten:
![\[f(x) = \frac{\textcolor{red}{x^2+4x+1}}{\textcolor{blue}{x}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3eb65a7ee1c13b3c43fff80ff8f73abe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dazu gehst du am besten wie folgt vor:
-
Leite den Zähler g und den Nenner h ab. Dazu benötigst du die Potenzregel
.
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Setze deine Ergebnisse in die Formel ein. Vergiss dabei nicht Klammern um deine Funktionen zu setzen!
-
Vereinfache jetzt deinen Term. Wenn du dich darin noch unsicher fühlst, dann schau dir doch einfach unser extra Video
dazu an.
Die Ableitung von f ist also:
![\[f(x) = \frac{x^2+4x+1}{x} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8dce8007cd9113593047d0ce6704d59_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn du das Beispiel verstanden hast, dann versuch dich doch mal an folgender Aufgabe:
Du sollst diese Funktion mit der Quotientenregel ableiten:
![\[f(x) = \frac{\textcolor{red}{e^x}}{\textcolor{blue}{2x+1}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4864ea839ceea51c0186dee0f9970bd7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
-
Leite den Zähler g und Nenner h ab.
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Setze deine Ergebnisse in die Formel ein.
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Vereinfache.
Die Ableitung von f ist also:
![\[f(x) = \frac{e^x}{2x+1} \qquad \underrightarrow{abgeleitet} \qquad \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a390ff798a9cd52d1b3c60ff3c0d8a19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Weitere Aufgaben findest du noch in unserem Video zum Thema Brüche ableiten .
Weitere Ableitungsregeln
Die Quotientenregel ist nur eine von vielen Ableitungsregeln. Damit du alle Funktionen richtig ableiten kannst, musst du auch noch andere Regeln beherrschen.
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
| Produktregel |  |
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| Summenregel |  |
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| Differenzregel |  |
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| Kettenregel |  |
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| Potenzregel |  |
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| Faktorregel |  |
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Du willst alle Regeln auf einmal erklärt haben? Dann schau doch unser Video dazu an!
