Formel umstellen
In diesem Beitrag lernst du, Formeln umzustellen und sie zu vereinfachen. Unten findest du ein paar Beispiele zum Üben und das Video erklärt Dir alles Schritt-für-Schritt.
Inhaltsübersicht
Formel umstellen einfach erklärt
Mathematische Formeln zeigen dir, wie verschiedene Größen (Längen oder das Volumen) zusammenhängen. Häufig musst du die Formel umstellen, bevor du sie benutzen kannst.
Schaue dir zum Beispiel die Kraftformel 
an. Mit dieser Formel kannst du ausrechnen, wie viel Kraft (
) du brauchst, um einen Gegenstand der Masse (
) zu bewegen (
). Wenn du aber und kennst und wissen willst, musst du 
auf die andere Seite der Formel bringen. Dadurch steht 
alleine auf einer Seite der Formel und du kannst es berechnen.
Dasselbe kannst du natürlich auch für andere Formeln machen. Du kannst zum Beispiel den Prozentsatz 
mit dem Prozentwert 
und dem Grundwert 
ausrechnen. Falls Du aber kennst und wissen willst, musst du 
auf die andere Seite der Formel bringen. Dadurch hast du 
alleine auf einer Seite der Formel stehen und kannst es ausrechnen.
Formeln umstellen Übungen
Das Umstellen von Formeln ist nicht schwer und erfordert nur etwas Übung. Wenn du eine Formel nach x auflösen willst, darfst du wie beim Gleichungen auflösen nur Äquivalenzumformungen benutzen. Das bedeutet Folgendes: Wenn du eine Seite der Formel veränderst (z.B. multiplizieren, subtrahieren, etc.), musst du das Gleiche mit der anderen Seite der Formel tun.
Beispiel 1: Einfache Formel umstellen
Schau dir zum Beispiel eine Wiese an. Sie ist 5 Meter lang und 10 Meter breit. Multipliziere die Breite mal der Länge und du weist die Fläche der Wiese:
![\[ \textrm{Fläche} = \textrm{Länge} \cdot \textrm{Breite} = \SI{5}{\metre} \cdot \SI{10}{\meter} = \SI{50}{\square\meter} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4b46f27ea9345ee2b236c8d58d69a46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Angenommen Du kennst die Fläche und die Länge der Wiese. Was tust du, wenn du ihre Breite wissen willst? Dafür musst du die Formel nach der Breite der Wiese umstellen. Damit die Breite auf einer Seite alleine steht, teilst Du beide Seiten durch die Länge. Wie du siehst, kürzt sich die Länge heraus.
Mit der umgestellten Formel kannst du die Breite der Wiese ausrechnen, wenn du die Länge und Fläche kennst:
![\[ \textcolor{blue}{\textrm{Breite}} = \frac{ \textrm{Fläche} }{ \textcolor{red}{\textrm{Länge}} } = \frac{ \SI{50}{\square\meter} }{ \textcolor{red}{\SI{5}{\meter}} } = \textcolor{blue}{\SI{10}{\meter}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00aaa3cc2dac7c990a3de682a2b3f221_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beispiel 2: Formel umstellen Bruch
Stell‘ dir vor, du fährst mit dem Fahrrad mit einer Geschwindigkeit von 
. Wie lange brauchst du, um eine Strecke von 
zu fahren? Löse die Frage mit der Geschwindigkeitsformel.
![\[ v = \frac{s}{t} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a76d89682a222a58756bb6004255aa73_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du weißt die Geschwindigkeit 
und die Strecke 
. Um die Zeit 
berechnen zu können, musst du die Formel in die Form 
bringen. Du willst, dass das alleine auf einer Seite der Formel steht. Das Umstellen heißt deshalb auch „die Formel nach der Zeit umstellen„.
Bringe auf die andere Seite, indem du beide Seiten mit multiplizierst. Die Zeit kürzt sich rechts raus und steht dadurch links nicht mehr im Bruch.
Als nächstes bringst du auf die andere Seite, indem du beide Seiten durch teilst. Die Geschwindigkeit kürzt sich auf der linken Seite heraus und die Zeit bleibt alleine auf der linken Seite stehen. Genau, was du vorhattest!
Durch das Formel Umstellen kannst du die Aufgabe lösen. Setze die Geschwindigkeit 
und die Strecke in die Formelumstellung ein.
![\[ t = \frac{s}{v} = \frac{ \SI{30}{\kilo\meter} }{ \SI{15}{\kilo\meter}/\si{\hour} } \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f6fcc26d92aea96b634bfcbffa9d951_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn du den Bruch vereinfachst, siehst du, dass sich die 
rauskürzen und die Einheit 
stehen bleibt.
![\[ t = \frac{s}{v} = \frac{ \SI{30}{\kilo\meter} }{ \SI{15}{\kilo\meter}/\si{\hour} } = \frac{ 2 \cdot \cancel{ \SI{15}{\kilo\meter} } }{ \cancel{ \SI{15}{\kilo\meter} }/\si{\hour} } = \\ \SI{2}{\hour} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45ae13771fa43e44d99a705cd46533db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das Formel Umstellen zeigt dir, dass du 2 Stunden brauchst, um die Strecke zu fahren.
Beispiel 3: Exponentielles Wachstum Formel umstellen
Eine beliebte Aufgabe in Tests ist exponentielles Wachstum. Oft wird nach der Verdopplungszeit 
gefragt. Die Verdopplungszeit sagt dir z.B., wie lange es dauert, bis sich die ursprüngliche Anzahl von Hasen verdoppelt. Wenn du am Anfang 
Hasen hast, sind es nach einer Verdoppelungszeit 
Hasen. Folgende Formel beschreibt die Verdopplungszeit.
![\[ 2 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{t_d} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e19d205a7577c80ed01a62ff1f3bc46b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wie musst du die Formel umstellen? Du entfernst aus der Formel, indem Du beide Seiten durch teilst. kürzt sich heraus.
Als nächstes brauchst du die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion 
. Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus 
. Wenn du die Formel nach x auflösen möchtest, musst du 
rechnen. Das Formel Umstellen geht dann so:
Rechnest du den Logarithmus mit dem Taschenrechner aus, weißt du, dass die Verdopplungszeit ungefähr 0,69 Zeiteinheiten beträgt. Die Halbwertszeit von exponentiellem Zerfall findest du übrigens durch die gleiche Formelumstellung heraus!
Terme vereinfachen
Das Umstellen der Formeln hast du verstanden, aber du hast Schwierigkeiten kompliziertere Formeln zu vereinfachen? Schau dir unser Video zum Terme vereinfachen an und Formeln umstellen ist kein Problem!
