Extrempunkte berechnen

Extrempunkte berechnen einfach erklärt

Wenn du schon einmal mit der Achterbahn gefahren bist, dann hattest du Kontakt mit Extrempunkten. Hierbei handelt es sich um Hochpunkte oder Tiefpunkte. Kurz bevor es wieder abwärts geht, hast du einen Moment, wo sich deine Höhe scheinbar nicht mehr ändert. Wenn du dir jetzt die Höhe als eine Funktion vorstellst, dann sind Extrempunkte (manchmal auch Extremstellen) nichts anderes als Orte, wo sich die Funktionswerte kaum ändern, wenn du dich ein wenig nach links oder nach rechts entlang des Funktionsgraphen bewegst. 

Wie kannst du nun für eine gegebene Funktion die Extrempunkte berechnen? Da Extrempunkte irgendwas mit „Änderung der Funktion“ zu tun haben, wirst du die erste Ableitung benötigen. Die Bezeichnung „Extrem“ kann hoch oder tief bedeuten. Um das zu unterscheiden, benötigst du entweder weitere Informationen über die erste Ableitung oder die zweite Ableitung.

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Extrempunkte berechnen Schritt-für-Schritt Anleitung

Es gibt also zwei Methoden, mit denen du die Extrempunkte berechnen kannst. Eine Methode benötigt nur die erste Ableitung, während die andere Methode sowohl die erste Ableitung als auch die zweite Ableitung verwendet. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der zweiten Methode, um Extrempunkte berechnen zu können. 

Damit du mit der zweiten Methode Extrempunkte berechnen kannst, folgst du den folgenden Schritten:

• Schritt 1: Erste Ableitung berechnen
• Schritt 2: Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen
• Schritt 3: Zweite Ableitung berechnen
• Schritt 4: Nullstellen aus Schritt 2 in die zweite Ableitung einsetzen
• Schritt 5: Anhand der Zahl aus Schritt 4 unterscheidest du folgende Fälle (die Nullstellen werden mit abgekürzt):
  1. ist nicht -Koordinate eines Extrempunkts
  2. ist -Koordinate eines Extrempunkts
• Schritt 6: Hat sich im fünften Schritt ergeben, dass die -Koordinate für ein Extrempunkt ist, so setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die -Koordinate des Extrempunkts zu bestimmen, also .

Hinweis: Ist , dann handelt es sich um einen Hochpunkt (Maximum) und wenn um einen Tiefpunkt (Minimum). Wir haben zu Hochpunkt und Tiefpunkt einen eigenen Beitrag, in dem du weitere Details dazu erfährst. Den Vorgang „Extrempunkte berechnen“ findest du auch unter der Bezeichnung „Extremstellen berechnen“, „Extremwerte berechnen “ oder „Extrema berechnen“.  Auch wenn die Bezeichnungen alle unterschiedlich klingen, ist die Vorgehensweise, mit der du Extrempunkte berechnen kannst, für alle identisch.

Beispiel

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du mit der Anleitung Extrempunkte berechnen kannst. Dazu betrachten wir folgende Funktion

.

Schritt 1: Zunächst berechnen wir die erste Ableitung. Mit Hilfe der Faktor- und Potenzregel erhalten wir

.

Schritt 2: Nun benötigen wir die Nullstellen dieser Ableitung. Wir müssen also die Gleichung

lösen. Um die Rechnung zu vereinfachen, multiplizieren wir die Gleichung mit fünf und erhalten

.

Unter Verwendung der zweiten Binomischen Formel bekommst du

.

Hier können wir die Mitternachtsformel verwenden. Damit ergeben sich die Nullstellen und zu

und .

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung von f

.

Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen und und setzen diese in ein. Wir erhalten

und

.

Damit sind beide Zahlen und ungleich Null. Somit sind beide Nullstellen und die -Koordinaten zweier Extrempunkte.

Schritt 6: Im letzten Schritt berechnen wir die -Koordinate der zwei Extrempunkte. Dazu nehmen wir und und setzen diese in ein. Wir erhalten

und

.

Die Extrempunkte und für die Funktion lauten somit

und .

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Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir etwas mehr auf die Mathematik hinter Extrempunkten eingehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe:

• Kurvendiskussion
• Kurvendiskussion Aufgaben
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Hochpunkt und Tiefpunkt  
• Monotonie 
• Wendepunkt berechnen  
• Wendetangente  
• Sattelpunkt berechnen  
• y Achsenabschnitt berechnen  
• Symmetrie
• Punktsymmetrie
• Achsensymmetrie

Mehr zu den Themen erfährst du in den einzelnen Artikeln!

Lokale vs. Globale Extrempunkte

Nun weißt du zwar, wie du Extrempunkte berechnen kannst. Aber vielleicht fragst du dich, wieso die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Zusätzlich haben wir beim Beispiel mit der Achterbahnfahrt gesehen, dass Extrempunkte auch Punkte sein können, die niedriger oder höher als andere Punkte liegen, die wir nicht Extrempunkte nennen. Was hat es also mit der Bezeichnung „Extrem“ auf sich? In diesem Abschnitt beantworten wir dir diese zwei Fragen.

Wieso Ableitung Null setzen?

Ein Extrempunkt, also ein Hochpunkt oder Tiefpunkt, ist dadurch charakterisiert, dass sich die Funktionswerte an einem Extrempunkt nicht merklich ändern, wenn du dich nur ein wenig nach links oder nach rechts entlang des Funktionsgraphen bewegst.

Geometrisch bedeutet eine Ableitung von Null, dass die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle gleich Null ist. Du kannst also an Extrempunkte eine waagerechte Tangente einzeichnen.

Was bedeutet „Extrem“?

Ein Extrempunkt muss nicht zwangsläufig derjenige Punkt sein, der am höchsten oder am niedrigsten liegt. Ein Extrempunkt ist in dem Sinne „extrem“, dass er im Vergleich zu einer kleinen Umgebung um den Extrempunkt höher oder niedriger als alle anderen Punkte in dieser Umgebung liegt. Ist ein solcher Extrempunkt gleichzeitig der höchste oder niedrigste Punkt, dann findest du dafür auch die Bezeichnung globaler Extrempunkt. Ist das nicht der Fall, so hörst du stattdessen die Bezeichnung lokaler Extrempunkt. Der Zusatz „lokal“ soll dich daran erinnern, dass dieser Extrempunkt nur in einer bestimmten Umgebung „extrem“ ist.

Im folgenden Bild siehst du die Extrempunkte bis einer Funktion mit eingezeichneten waagerechten Tangenten (grün gestrichelt). Die Extrempunkte (blau) und (orange) sind globale Extrempunkte, während und (schwarz) lokale Extrempunkte sind. Zusätzlich wurde in eine Umgebung um den Extrempunkt gezoomt, um die Bezeichnung „extrem“ zu illustrieren. 

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Extrempunkte ohne zweite Ableitung

In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie du ohne die zweite Ableitung Extrempunkte berechnen kannst. Hierzu brauchst du wie bei der anderen Methode die Nullstellen der ersten Ableitung. Nachdem du die Nullstellen berechnet hast, setzt du Werte für in die erste Ableitung ein, die etwas kleiner und etwas größer als die Nullstelle sind. Dadurch erhältst du einen Einblick in das Steigungsverhalten der Funktion in der Nähe eines möglichen Extrempunkts. Dabei unterscheidest du folgende Fälle

1. Ist die Steigung auf beiden Seiten der Nullstelle positiv oder negativ, so hast du keine Extremstelle vorliegen.
2. Unterscheiden sich hingegen die Steigungen auf beiden Seiten in ihrem Vorzeichen, so handelt es sich bei der Nullstelle um die -Koordinate einer Extremstelle.

Je nachdem wie das Vorzeichen wechselt (von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv), hast du entweder einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt. Mehr dazu kannst du in unserem Artikel zu Hochpunkt und Tiefpunkt erfahren. Das folgende Bild soll die Idee hinter dieser Methode illustrieren. Dabei bedeuten das „+“ beziehungsweise „-„, dass die Steigung in diesem Bereich positiv beziehungsweise negativ ist.

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Extrempunkte berechnen Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben.

Aufgabe 1: Extremstellen berechnen für quadratische Funktion

Gegeben ist die folgende Polynomfunktion

.

Bestimme die Extrempunkte dieser Polynomfunktion.

Lösung: Aufgabe 1

Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung

.

Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung

.

Wir erhalten damit die Nullstelle

.

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung

.

Schritt 4 und 5: Da die zweite Ableitung für alle immer den Wert 8 besitzt, gilt . Damit ist die -Koordinate einer Extremstelle.

Schritt 6: Wir setzen in die ursprüngliche Funktion ein und erhalten die -Koordinate

.

Damit ergibt sich der Extrempunkt .

Aufgabe 2: Extremstellen berechnen für Polynom dritten Grades

Gegeben ist die folgende Polynomfunktion

.

Bestimme die Extrempunkte dieser Polynomfunktion.

Lösung: Aufgabe 2

Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung

.

Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung

.

Hierzu verwenden wir die pq-Formel und erhalten die Nullstellen

und .

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung

.

Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen und und setzen sie in die zweite Ableitung ein. Wir bekommen dann

und .

Damit sind sowohl als auch die -Koordinate zweiter Extrempunkte.

Schritt 6: Wir setzen und in die ursprüngliche Funktion ein und erhalten die -Koordinaten

und .

Damit ergeben sich die Extrempunkte und .

Extrempunkte berechnen – kurz & knapp

Einen Extrempunkt berechnest du in 5 Schritten:

1. Bilde die erste Ableitung f'(x).
2. Berechne die Nullstelle x₀ der ersten Ableitung f'(x).
3. Bilde die zweite Ableitung f“(x).
4. Setze x₀ in die zweite Ableitung ein. Ist f“(x₀) > 0, hast du einen Tiefpunkt (Minimum). Ist f“(x₀) < 0, hast du einen Hochpunkt (Maximum). 
5. Setze x₀ in f(x) ein, um den y-Wert deines Extrempunktes zu bestimmen. 

Wendepunkt berechnen

Sehr gut! Mit der Berechnung der Extrempunkte hast du schon einen wichtigen Schritt der Kurvendiskussion geschafft. Damit du alle Aufgaben zu dem Thema lösen kannst, solltest du aber auch unbedingt Wendepunkte bestimmen können. Dazu haben wir ein extra Video für dich vorbereitet. Leg direkt los!