Nullstellen berechnen
Du willst wissen, wie du Nullstellen berechnen kannst? Dann bist du bei unserem Beitrag genau richtig!
Inhaltsübersicht
Nullstellen berechnen einfach erklärt
Die Nullstelle x0 einer Funktion ist die Stelle, an der ihr Graph die x-Achse schneidet.
Um die Nullstellen einer Funktion f zu berechnen, suchst du die x-Werte, für die f(x) = 0 wird.
Dafür setzt du die Funktion gleich 0 und löst die Gleichung nach x auf.
Im Beispiel formst du also 2x – 3 = 0 nach x um.
Lineare Funktion Nullstelle berechnen
- Allgemeine Form: f(x) = m · x + t
- höchstens eine Nullstelle
Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x – 3. Dazu setzt du die Funktion gleich 0.
2x – 3 = 0
Jetzt kannst du die Gleichung nach x umstellen . Zuerst bringst du die 3 auf die andere Seite.
2x – 3 = 0 | + 3
2x = 3
Um das x auszurechnen, teilst du durch 2.
2x = 3 | : 2
x = 1,5
Die Nullstelle liegt bei x = 1,5.
Übrigens — Nullstellen ablesen: Du kannst auch im Koordinatensystem die Nullstellen ablesen. Bei einer linearen Funktion zeichnest du dazu die Gerade. Dann suchst du den Punkt, an dem sie die x-Achse schneidet. Der x-Wert davon ist deine Nullstelle.
Quadratische Funktion Nullstellen
- Allgemeine Form: f(x) = ax2 + bx + c
- Allgemein Form ohne a: f(x) = x2 + px + q
- zwei, eine oder keine Nullstellen
Schau dir zunächst den Fall an, dass keine Zahl vor dem x2 steht (kein a): Du sollst von der Funktion f(x) = x2 + 4x – 5 die Nullstelle berechnen. Setzt du eine quadratische Funktion gleich 0, kannst du entweder die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden.
x2 + 4x – 5 = 0
Nullstelle berechnen mit Mitternachtsformel
x1 = 1 x2 = -5
Die Formel zum Nullstellen berechnen ergibt: Nullstelle bei x1 = 1 und x2 = -5.
Nullstelle berechnen mit pq-Formel
Steht vor dem x2 keine Zahl, kannst du zum Bestimmen der Nullstelle auch die pq-Formel verwenden:
Du kannst die beiden Nullstellen angeben: x = 1 und x = -5
Steht eine Zahl vor dem x2, zum Beispiel 2x2 + 4x – 5, dann kannst du nur die Mitternachtsformel und nicht die pq-Formel verwenden!
Faktorisierte Form
Am leichtesten kannst du bei quadratischen Funktionen die Nullstelle bestimmen, wenn du die Funktion in faktorisierter Form gegeben hast: f(x) = a (x – x1)(x – x2)
Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Die Parabel hat somit die beiden Nullstellen x1 und x2.
Hier könntest du deine Funktion so umschreiben: f(x) = x2 + 4x – 5 = (x – 1)(x – (-5))
Ganzrationale Funktion / Funktion 3. Grades — Nullstellen berechnen
- Allgemeine Form: f(x) = ax3 + bx2 +cx + d
- höchstens drei Nullstellen
Schau dir das am Beispiel f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 an. Wie berechnet man die Nullstelle? Für die Nullstellenberechnung gehst du in drei Schritten vor:
- Schritt 1: Errate eine Nullstelle durch Ausprobieren. Setze dafür zum Beispiel 1, 2, 0, -1 oder -2 in die Funktion ein und schau, wann 0 herauskommt. Hier ist
f(1) = 13 – 2 • 12 – 1 + 2 = 0
- Schritt 2: Mache eine Polynomdivision. Dabei teilst du deine Funktion durch (x – Nullstelle aus Schritt 1), hier also durch (x – 1). Wie das genau funktioniert, erfährst du in unserem Video ! Du erhältst:
(x3 – 2x2 – x + 2) : (x – 1) = x2 – x – 2
-
Schritt 3: Berechne die Nullstellen des Ergebnisses x2 – x – 2 mit der Mitternachtsformel:
Du erhältst x2 = -1 und x3 = 2.![\[x_{2,3} = \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a20532aa6a080d08947a591190421252_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt kannst du die drei Nullstellen angeben: x1 = 1, x2 = -1 und x3 = 2.
Merke: Auch bei Funktionen mit noch größeren Hochzahlen als 3, zum Beispiel f(x) = x4 – 2x3 – x + 2, musst du zunächst eine Nullstelle erraten und die Polynomdivision machen. Dann errätst du vom Ergebnis der Polynomdivision wieder eine Nullstelle und machst noch eine Polynomdivision. Das wiederholst du so lange, bist du nur noch eine quadratische Funktion als Ergebnis bekommst.
e- Funktion Nullstelle berechnen
- Allgemeine Form: f(x) = ex
- f(x) = ex hat keine Nullstelle, aber andere e-Funktionen können Nullstellen haben.
Berechne zum Beispiel die Nullstelle der e-Funktion f(x) = ex-1 – 2. Setze die Funktion dafür gleich 0.
ex-1 – 2 = 0
Isoliere ex-1 und löse mithilfe des natürlichen Logarithmus auf.
ex-1 – 2 = 0 | + 2
ex-1 = 2 | ln(…)
x – 1 = ln(2) | + 1
x = ln(2) +1
Nullstelle bei x = ln(2) + 1.
Weitere Funktionen Nullstellen berechnen
Wie berechnet man Nullstellen? Bei einigen Funktionen, zum Beispiel bei gebrochen-rationalen Funktionen oder beim Logarithmus , gibt es keine allgemeine Formel zum Nullstellen berechnen.
Zwei Schritte kannst du dir zum Nullstelle berechnen aber immer merken. Schau sie dir am Beispiel 
an.
-
Schritt 1: Setze die Funktion gleich 0:
![\[\frac{4}{2+x} - 2 \textcolor{blue}{ = 0}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0106a6f1ae9a6f7d2c2c7c2e6510c4b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
-
Schritt 2: Forme nach x um.
Die Nullstelle liegt also bei x = 0.
Nullstelle berechnen Übersicht
Hier siehst du nochmal alle Möglichkeiten zur Nullstellenberechnung im Überblick:
| Art der Funktion | Nullstellenberechnung | Beispiel |
| Lineare Funktion | Funktion gleich null setzen; nach x auflösen | f(x) = 2x – 3 |
| Quadratische Funktion | Mitternachtsformel / pq-Formel | f(x) = x2 + 4x – 5 |
| e -Funktion | natürlicher Logarithmus | f(x) = ex-1 – 2 |
| Ganzrationale Funktion | Polynomdivision | f(x) = x3 + 3x2 – 4 |
Nullstellen berechnen Aufgaben
Teste gleich selbst, wie fit du im Nullstelle bestimmen bist! Schau dir dazu ein paar Übungen mit Lösungen zum Nullstellen berechnen an.
- Aufgabe 1 — Nullpunkt berechnen: Bestimme die Nullstelle von f(x) = 0,5x + 4.
- Aufgabe 2 — Nullpunkt berechnen: Bestimme die Nullstellen von f(x) = x2 – 2x -3.
- Aufgabe 3 — Nullpunkt berechnen: Bestimme die Nullstellen von g(x) = x3 + 3x2 – 6x – 8.
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben zum Nullstellen berechnen!
Lösung Aufgabe 1 Nullstellenberechnung
Um die Nullstelle zu bestimmen, setzt du die lineare Funktion gleich 0 und löst nach x auf:
0,5x + 4 = 0 | – 4
0,5x = -4 | : 0,5
x = – 8
Lösung Aufgabe 2 Nullstellenberechnung
Du verwendest zum Nullstellen bestimmen die Mitternachtsformel oder die pq-Formel.
x1 = 3 x2 = -1
Lösung Aufgabe 3 Nullstellenberechnung
Zum Nullstellen bestimmen errätst du eine Nullstelle, zum Beispiel x1 = -1. Dann machst du eine Polynomdivision.
(x3 + 3x2 – 6x – 8) : (x + 1) = x2 + 2x – 8
Auf das Ergebnis x2 + 2x – 8 wendest du die Mitternachtsformel an. Du erhältst als Lösungen x2 = -4 und x3 = 2.
Nullstellen berechnen — häufigste Fragen
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Wie geht Nullstellen berechnen von linearen Funktionen?
Eine Nullstelle von einer linearen Funktion kannst du berechnen, wenn du f(x) = 0 nach x umstellst. Solche Funktionen können immer nur eine Nullstelle haben.
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Wann muss ich Nullstellen berechnen?
Nullstellen sind die Werte, bei der eine Funktion f(x) = 0 wird. Deshalb setzt du die Funktion mit 0 gleich und löst nach x auf.
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Wie berechne ich die Nullstellen einer Wurzel?
Um die Nullstelle einer Wurzelfunktion zu bestimmen, setzt du den Term unter der Wurzel (Radikand) gleich 0.
Polynomdivision
Für die Nullstellenberechnung einer kubischen Funktion kannst du die Polynomdivision verwenden. Viele Übungen dazu findest du in unserem Video dazu.
