Funktionsgleichung

Funktionsgleichung einfach erklärt

In Mathe werden die Begriffe Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph regelmäßig verwechselt. So kannst du sie unterscheiden:

• Die Funktion gibt dir an, wie jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet wird. Sie heißt f(x).
• Der Funktionsgraph zeigt die Funktion grafisch im Koordinatensystem. Einen Beispielgraphen siehst du im Bild.
  

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• Die Funktionsgleichung steht hinter dem Gleichheitszeichen. Ist f(x) = 2x + 3 deine Funktion, dann ist 2x + 3 die Funktionsgleichung.

Wir zeigen dir jetzt, wie du die Funktionsgleichungen von linearen und quadratischen Funktionen bestimmen kannst.

Funktionsgleichung linearer Funktionen aufstellen

Eine Geradengleichung kannst du auf verschiedene Arten aufstellen. Dafür notierst du immer zuerst die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

f(x) = m • x + t

Das m gibt dabei die Steigung der Gerade an und das t den y-Achsenabschnitt, das heißt den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.

Funktionsgleichung am Graphen ablesen

Hast du den Graphen einer linearen Funktion gegeben, kannst du die Funktionsgleichung in 4 Schritten bestimmen:

• allgemeine Funktionsgleichung aufstellen
• den y-Achsenabschnitt t ablesen
• die Steigung m bestimmen 
• m und t in die Gleichung einstzen 

Probiere das direkt am Beispiel.

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• Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf: 

f(x) = m • x + t

• Schritt 2: Bestimme den y-Achsenabschnitt t. Weil das der Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse ist, kannst du ihn direkt in unserem Beispiel ablesen.

t = −1

• Schritt 3: Als nächstes kannst du die Steigung m berechnen . Zeichne dazu am besten ein Steigungsdreieck ein. Dabei fragst du dich:
  
  Δy     Wie viele Kästchen gehst du nach oben/unten?
  Δx      Wie viele Kästchen gehst du nach rechts/links?
  
  Die Steigung berechnest du nun so:
  
  
  
  In unserem Beispiel ist das Steigungsdreieck grün eingezeichnet. Du siehst sofort, dass du zwei Kästchen nach rechts gehst und ein Kästchen nach oben. Somit ist Δx = 2 und Δy = 1. Für m bekommst du also:
  
  .

• Schritt 4: Setze die Werte m = 0,5 und t = −1 in die Funktionsgleichung ein. Du erhältst dann:

f(x) = 0,5 • x − 1

Aufstellen mit Punkt und y-Achsenabschnitt

Du kannst auch die Funktionsgleichung aufstellen, wenn du bereits den y-Achsenabschnitt gegeben hast. Dann brauchst du nur einen weiteren Punkt P(x|y), um die Geradengleichung zu bestimmen.

Wenn du beispielsweise die Gleichung der Geraden mit y-Achsenabschnitt t = 2 durch den Punkt P(2|8) bestimmen willst, gehst du nach fünf Schritten vor:

• Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben.

f(x) = m • x + t

• Schritt 2: Setze nun den gegebenen Wert t ein. In unserem Beispiel ist das t = 2:

f(x) = m • x + 2

• Schritt 3: Als nächstes setzt du den x-Wert und den y-Wert des Punktes P(2|8) in die Funktionsgleichung ein.

8 = m • 2 + 2

• Schritt 4: Löse diese Gleichung nun nach m auf.
  
  

     

• Schritt 5: Setze die Werte für t und m in die Funktionsgleichung ein und erhalte das Ergebnis.

f(x) = 3 • x + 2

Funktionsgleichungen berechnen: Punkt und Steigung

Wenn du einen Punkt P(x|y) und die Steigung m der Geraden gegeben hast, kannst du auch die Funktionsgleichung berechnen. Wir wollen die Gerade durch den Punkt P(-3|5) mit Steigung bestimmen. 

• Schritt 1: Schreib dir die allgemeine Funktionsgleichung auf.

f(x) = m • x + t

• Schritt 2: Setze nun die Steigung und den Punkt P (-3|5) in die Gleichung ein. Dann vereinfachst du.
  
  

     

• Schritt 3: Löse diese Gleichung nach t auf.
  
  

     

• Schritt 4: Setze die Werte für t und m in die Funktionsgleichung ein und erhalte das Ergebnis.

Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen

Du kannst die Gleichung einer linearen Funktion auch dann bestimmen, wenn du zwei Punkte gegeben hast. Dafür musst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen. Schau dir das für die Punkte P(-3|2) und Q(5|6) einmal genauer an:

• Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufschreiben. 

f(x) = m • x + t

• Schritt 2: Setze die beiden Punkte in die Gleichung ein:
  
  (I)               6 = m • 5 + t
  (II)             2 = m • (−3) + t
  
  
• Schritt 3: Löse eine der beiden Gleichungen nach t auf. In unserem Beispiel nimmst du die Gleichung (I):
  
  (I)               6 = m • 5 + t
  (I‘)               t = 6 − 5 • m
  
  Setze sie dann in die andere Gleichung ein und berechne daraus m:
  
  (I‘) in (II)
  
  

     

• Schritt 4: Setze nun dein m in (I) oder in (II) ein und bestimme damit t. Hier setzt du m = 0,5 in (II) ein und erhältst: 

2 = 0,5 • (−3) + t

2 = −1,5 + t       | +1,5

3,5 = t

• Schritt 5: Das Einsetzen der beiden Werte m = 0,5 und t = 3,5 liefert dir eine Funktionsgleichung.

f(x) = 0,5 • x + 3,5

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Übrigens: Du kannst eine lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten auch aufstellen, indem du aus den Differenzen der Punkte die Steigung m berechnest . Dann setzt du m zusammen mit einem Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung y = m • x + t ein und löst nach t auf.

Damit kennst du alle Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kannst.

Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen aufstellen

Häufig wird auch nach der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gefragt. Ihr Funktionsgraph ist immer eine Parabel . 

Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung aufschreiben kannst:

• f(x) = ax² + bx + c allgemeine Form
• f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) Nullstellenform für die Nullstellen x₁ und x₂
• f(x) = a(x-d)² + e Scheitelpunktform für S(d|e)

Je nachdem, welche Werte du gegeben hast, nutzt du eine andere Darstellungsform der quadratischen Gleichung. 

Hast du beispielsweise den Scheitelpunkt gegeben, verwendest du die Scheitelpunktform (III). Kennst du dagegen die beiden Nullstellen, so verwendest du die zweite Darstellungsweise. 

Parabelgleichung am Graphen ablesen

Wenn du nur den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion gegeben hast, bestimmst du die Funktionsgleichung am besten über die Scheitelpunktform.

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Rechne das am besten direkt am Beispiel.

• Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung allgemein in Scheitelpunktform auf: 

f(x) = a(x − d)² + e

• Schritt 2: Lese die Koordinaten des Scheitelpunktesab und setzte sie in die Funktionsgleichung ein. In unserem Beispiel ist das der Punkt S(1|4,5). Es ist also e = 4,5 und d = 1. Damit ergibt sich:

   f(x) = a(x − 1)² + 4,5

• Schritt 3: Nun brauchen wir noch einen weiteren Punkt, um das a zu bestimmen. Hier wählst du am besten einen Punkt, den du gut ablesen kannst, zum Beispiel an der Nullstelle x₂ = 4. Den Punkt P(4|0) setzt du nun in die Gleichung ein und formst nach a um.
  
  

     

• Schritt 4: Setze a in die Funktionsgleichung ein und multipliziere den Funktionsterm noch aus. 

f(x) = −0,5(x − 1)² + 4,5 = −0,5x² +x + 4

Wenn du nicht den Graphen, sondern einen Punkt und die Koordinaten des Scheitels gegeben hast, gehst du genauso wie eben vor und setzt die Koordinaten direkt ein.

Funktionsgleichung aus drei Punkten aufstellen

Um eine Parabel aus drei gegebenen Punkten zu errechnen, nutzt du am besten die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c und setzt alle drei Punkte in je eine Gleichung ein. Dann erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das du auflösen kannst.

Betrachten wir beispielsweise die Parabel durch die drei Punkte A(0|4), B(2|-2) und C(7|0,5). 

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Um die Funktionsgleichung aus drei Punkten zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: 

• Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf. 

f(x) = ax² + bx + c

• Schritt 2: Setze die drei Punkte A, B, und C in die Gleichung ein.
  
  (I)  4 = a • 0² + b • 0 + c
  (II)  −2 = a • 2² + b • 2 + c
  (III)  0,5 = a • 7² + b • 7 + c
  
  
• Schritt 3: Löse das Gleichungssystem möglichst geschickt. In diesem Fall kannst du aus Gleichung (I) direkt ablesen, dass c = 4 gelten muss. Du erkennst, dass a und b durch die Multiplikation mit 0 direkt wegfallen. Übrig bleibt 4 = c.
  Das setzt du nun in die beiden anderen Gleichungen ein und erhältst:
  
  (II)  −2 =  4a + 2b + 4
  (III)  0,5 = 49a + 7b + 4
  
  Löst du Gleichung (II) nach b auf und setzt sie in die dritte ein, kannst du so a ausrechnen.
  
  (II‘)  b = −3 − 2a
  (III‘)         

     

  
  
  Das Einsetzen von a = 0,5 in (II‘) ergibt b = −4.

• Schritt 4: Setze alle gefundenen Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein. Fertig!

f(x) = 0,5x² − 4x+ 4

Funktionsgleichung — häufigste Fragen

• Was ist eine Funktionsgleichung?
  Der Teil hinter dem Gleichheitszeichen ist die Funktionsgleichung. Bei der Funktion f(x) = 2x + 3, ist die Gleichung 2x + 3. Oft wird aber auch der gesamte Ausdruck f(x) = 2x +3 Funktionsgleichung genannt.
  
  
• Wie berechnet man die Funktionsgleichung?
  Die Funktionsgleichung kannst du durch Ablesen am Graphen oder aus Punkten aufstellen. Die Gleichung einer lineare Funktion lautet y = mx + t. Hast du den Graphen gegeben, kannst du den y-Achsenabschnitt t und die Steigung m direkt aus der Grafik ablesen.
  
  
• Wie sieht die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus?
  Eine lineare Funktionsgleichung lautet f(x) = m • x + t. Dabei ist m die Steigung der Funktion und t der y-Achsenabschnitt, also wo die Funktion die y-Achse schneidet.

Nullstellen berechnen

Jetzt hast du bereits verschiedenen Verfahren zum Aufstellen von linearen Funktionsgleichungen kennengelernt. Teilweise haben wir dafür auch Nullstellen genutzt. Wie du diese Nullstellen berechnest , erfährst du im nächsten Beitrag noch genauer.