Verhalten im Unendlichen
Willst du wissen, was das Verhalten im Unendlichen bei Funktionen ist und wie du es bestimmen kannst? Hier und in unserem Video zeigen wir dir alles Wichtige dazu!
Inhaltsübersicht
Verhalten im Unendlichen einfach erklärt
Immer wenn du den Graphen einer Funktion siehst, erkennst du eigentlich nur einen kleinen Ausschnitt. Denn der Graph geht unendlich lang weiter. Dabei kann er sich unterschiedlich verhalten:
- Der Funktionsgraph steigt ( → + ∞ )
- Der Funktionsgraph sinkt ( → – ∞ )
- Der Funktionsgraph nähert sich einem konstanten Wert an ( → K )
Du siehst hier die Funktion f(x) = x2. Für sehr große x-Werte werden auch die Funktionswerte sehr groß. Sie geht gegen plus unendlich. Genauso steigen bei sehr kleinen x-Werten die Funktionswerte ins plus Unendliche.
Du siehst dir also immer an, wie sich die Funktion verändert, wenn die x-Werte sehr groß (100, 1000, 10000…) oder sehr klein (-100, -1000, -10000…) werden. Deine Beobachtungen kannst du dann mit dem Limes aufschrieben:
![\[\lim_{\textcolor{olive}{x\rightarrow +\infty}} x^2= + \infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6bf0fe735d52e67ba19929f84ebe1e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\lim_{\textcolor{red}{x\rightarrow -\infty}} x^2 = + \infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-913f5caa444d160bfabbe365c17c1a5a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Limes beschreibt allgemein das Grenzverhalten von Funktionen. Er kann dann dabei folgende Formen haben:
![\[\lim_{x\rightarrow\pm \infty}=\left\{\begin{array}{c}+\infty\\ \\ -\infty\\ \\ K \end{array}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-332e032e621a44f6ea4ba0aea4b31b42_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ganzrationale Funktion — Gerade Potenz
Ganzrationale Funktionen haben immer die Form f(x) = axn + bxn-1 + … + c. Für das Verhalten im Unendlichen schaust du dir immer nur den Teil mit der höchsten Potenz an. Dabei gibt es zwei Fälle: Der Exponent ist gerade oder ungerade.
Sieh dir die Beispielfunktion f(x) = 5x2 + 2x + 1 an. Hier ist der Teil mit der höchsten Potenz 5x2 und hat einen geraden Exponenten.
Um dann wirklich das Verhalten im Unendlichen zu überprüfen, setzt du erst sehr hohe Werte für x ein:
f(100) = 5 · 1002 = 50.000
f(1000) = 5 · 10002 = 5.000.000
Für x gegen + ∞, geht die Funktion also gegen + ∞. Dasselbe musst du nun auch noch mit den sehr kleinen Werten machen:
f(-100) = 5 · (-100)2 = 50.000
f(-1000) = 5 · (-1000)2 = 5.000.000
Für x gegen – ∞, geht die Funktion also auch gegen + ∞.
Das schreibst du dann so mit dem Limes auf:
![\[\lim_{x\rightarrow +\infty} 5x^2 + 2x + 1 = + \infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bdeee0c8f18f3666da0068bf1070dfe7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\lim_{x\rightarrow -\infty} 5x^2 + 2x + 1 = + \infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70eef38f7c1412cc1256e2f35eca4916_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- x-Werte gehen gegen plus unendlich
- bei plus vor der Funktion: → + ∞
- bei minus vor der Funktion: → – ∞
- x-Werte gehen gegen minus unendlich
- bei plus vor der Funktion: → + ∞
- bei minus vor der Funktion: → – ∞
Ganzrationale Funktion — Ungerade Potenz
Es gibt aber auch noch die Möglichkeit, dass die höchste Potenz ungerade ist. Ein Beispiel dafür ist die Funktion f(x) = -2x3 + 4x2.
Du siehst dir wieder nur die höchste Potenz, also -2x3. Wenn du für x sehr hohe x-Werte einsetzt, dann wird der Funktionswert immer kleiner (→ – ∞).
Setzt du allerdings immer niedrigere x-Werte ein, verschwindet das Minuszeichen wegen der ungeraden Hochzahl nicht. Weil aber ein negatives Vorzeichen davor steht, werden die Werte dann wieder positiv (minus · minus = plus). Deshalb wird der Funktionswert immer größer (→ + ∞), sobald die x-Werte kleiner werden.
Deine Beobachtungen kannst du dann wieder als Limes zusammenfassen:
![\[\lim_{x\rightarrow +\infty} -2x^3 + 4x^2 = - \infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c95edcb987ebb768758503ff75c7976d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\lim_{x\rightarrow -\infty} -2x^3 + 4x^2 = + \infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23d59ce9bd63a15dc59e42beab284e45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- x-Werte gehen gegen plus unendlich
- bei plus vor der Funktion: → + ∞
- bei minus vor der Funktion: → – ∞
- x-Werte gehen gegen minus unendlich
- bei plus vor der Funktion: → – ∞
- bei minus vor der Funktion: → + ∞
E-Funktion — Beispiel
Die e-Funktion kannst du auch auf ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen. Das Besondere ist hier das x im Exponenten. Dafür schauen wir uns die Funktion f(x) = – e3x an.
Für sehr große x-Werte wird der Funktionswert immer kleiner. Geht x gegen + ∞, geht die Funktion gegen – ∞.
Aber wenn die x-Werte immer kleiner werden, geht hier die Funktion immer näher an null. Sie wird aber nie null. Das bedeutet: Für x gegen – ∞, geht die Funktion gegen 0.
Das Grenzverhalten drückst du nun wieder mit dem Limes aus:
![\[\lim_{x\rightarrow +\infty} - e^{3x} = - \infty \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b54df48a101287d61596b9bfb61dc7a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\lim_{x\rightarrow -\infty} -e^{3x} = 0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9522decd1565d39cd5e6f7149c643e5a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wichtig: Auch hier kann sich das Vorzeichen im Unendlichen, wegen des Vorzeichens der Funktion umdrehen. Mehr dazu zeigen wir dir in dem Video zu E-Funktionen!
Gebrochenrationale Funktionen — Beispiel
Wenn die gegebene Funktion gebrochenrational ist, kann es drei verschiedene Fälle im Unendlichen geben.
Eine gebrochenrationale Funktion sieht allgemein so aus: f(x) = 
und je nachdem welcher Teil des Bruches größer ist, entsteht ein unterschiedliches Verhalten:
| Nenner ist größer als der Zähler | Funktion geht gegen null |
| Zähler ist größer als der Nenner | Funktion geht gegen + ∞ oder – ∞ |
| Zähler und Nenner sind gleich groß | Funktion geht gegen K =  ,a und b sind jeweils die Vorfaktoren des Zählers und des Nenners |
Schau dir dazu die Funktion f(x) = 
an. Zuerst musst du die größere Potenz bestimmen. Sie ist 5x2 und steht im Nenner. Es gilt also der erste Fall: Der Nenner ist größer als der Zähler.
Aus der Tabelle kannst du entnehmen, dass die gebrochenrationale Funktion in dem Beispiel also gegen 0 geht. Genau dieselbe Schlussfolgerung, bekommst du, wenn du den Graphen genau anschaust. Das Verhalten im Unendlichen schriebst du dann wieder so mit dem Limes:
![\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{4x+3}{5x^2} = 0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-057b26326a6e29ad18c45c0d40273e79_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{4x+3}{5x^2} = 0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4742d4bb8a0f79361688a74c9fc3c604_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Verhalten im Unendlichen — häufigste Fragen
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Was ist das Verhalten im Unendlichen bei Funktionen?
Das Verhalten im Unendlichen einer Funktion zeigt, ob die Funktionswerte steigen, sinken oder sich an einen konstanten Wert K annähern.
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Wie funktioniert der Limes?
Der Limes beschriebt das Grenzverhalten einer Funktion, also wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Wie sich x entwickelt, steht dann unter dem Limes (x → ∞) und dahinter, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält.
Kurvendiskussion
Super! Du bist jetzt optimal im Thema Verhalten im Unendlichen vorbereitet. Das Thema ist Teil der Kurvendiskussion. Wenn du darüber noch mehr wissen willst, schau in unser Video dazu rein!
