Schnittwinkel berechnen
Was genau ein Schnittwinkel ist und wie du ihn bei linearen und allgemeinen Funktionen bestimmen kannst, erfährst du hier und in unserem Video !
Inhaltsübersicht
Schnittwinkel einfach erklärt
Ein Schnittwinkel ist ein Winkel zwischen zwei Funktionen, die sich schneiden. Du hast bestimmt schon einmal gesehen, wie sich zwei Geraden schneiden und vier Schnittwinkel entstehen. In diesem Fall sind die jeweils gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Der für dich relevante Schnittwinkel α ist aber meist der kleinere Winkel (< 90°).
Alpha und Beta sind Nebenwinkel und ergeben zusammen 180 Grad: α + β = 180°.
Damit aber erstmal ein Winkel zwischen zwei Geraden entstehen kann, brauchst du einen Schnittpunkt. Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie eine unterschiedliche Steigung besitzen.
Die Geraden y = 2x-1 und y = 2x+4 haben zum Beispiel die gleiche Steigung m1 = m2. Sie sind parallel zueinander und erfüllen daher die Voraussetzung nicht.
Schnittwinkel berechnen — Formel
Wie kannst du den Schnittwinkel α nun berechnen? Du hast beispielsweise zwei Geraden gegeben. Relevant sind hier die beiden Steigungen m1 und m2, die du in die folgende Formel einsetzt. Das Ergebnis ist der gesuchte Schnittwinkel α.
![\[tan(\textcolor{blue}{\alpha})=\left|\frac{\textcolor{red}{m_{1}} - \textcolor{cyan}{m_{2}}}{1+\textcolor{red}{m_{1}}\cdot \textcolor{cyan}{m_{2}}}\right|\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e246bf761fd85398e247eb49fe17d4d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Betragszeichen | brauchst du, damit das Vorzeichen der Zahl wegfällt und kein negativer Winkel herauskommt: |-2| = 2.
Damit du direkt los rechnen kannst, haben wir dir die Formel auch schon nach α umgestellt :
![\[\textcolor{blue}{\alpha}=tan^{-1} \left(\left| \frac{\textcolor{red}{m_{1}} - \textcolor{cyan}{m_{2}}}{1+\textcolor{red}{m_{1}}\cdot \textcolor{cyan}{m_{2}}} \right|\right)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd408c88a48de508b145209224ac7765_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vorsicht: Damit du dein Ergebnis in Grad rausbekommst, musst du den Taschenrechner auf Degree (DEG) stellen. Den Arcustangens selbst findest du auf deinem Taschenrechner meistens als tan-1 oder arctan.
Schnittwinkel berechnen — Beispiele
Im Folgenden sind jeweils zwei Geraden gegeben, die sich schneiden. Sie haben also einen Schnittpunkt und erfüllen damit die Voraussetzung dafür, dass es einen Schnittwinkel α gibt.
Beispiel 1:
g: y = -0,5x – 1
h: y = 3x
Um den Schnittwinkel α zu bestimmen, setzt du die Steigungen der Funktionen in die Formel ein:
Beispiel 2:
g: y = 2x + 4
h: y = –x + 3
Wenn vor dem x keine Zahl steht, dann denke dir eine 1 oder bei einem Minus eine -1 dazu.
Um den Schnittwinkel α zu bestimmen, setzt du die Steigungen der Funktionen in die Formel ein:
Wenn m1· m2 = -1 ergibt, dann schneiden sich die Geraden in einem 90 Grad Winkel (rechter Winkel). Das bedeutet, dass sie senkrecht aufeinander stehen und die Formel nicht angewendet werden kann. Dein Taschenrechner wird dich aber mit einem „Error“ darauf hinweisen. In diesem Fall kannst du dann mit m1 · m2 = -1 überprüfen, ob der Fehler daher kommt. Du weißt dann direkt, dass der Schnittwinkel 90 Grad beträgt.
Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen
Ein Schnittwinkel kann nicht nur zwischen zwei Geraden, sondern auch zwischen einer Geraden und den Koordinatenachsen entstehen. Es bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck.
Um hier die Schnittwinkel zu berechnen, schau dir die folgenden Schritte an:
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Schritt: Schnittwinkel α mit der x-Achse α = tan-1 (|m|)
Der Schnittwinkel mit der x-Achse wird auch Steigungswinkel genannt.
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Schritt: Schnittwinkel β mit der y-Achse β = 180° – 90° – α
Da ein Dreieck immer eine Winkelsumme von 180° hat, kannst du den rechten Winkel (90°) sowie den Winkel α davon abziehen. So erhältst du den Winkel β.
Beispiel: y = -2x + 5
1. Schritt: α = tan-1 (|-2|) = tan-1 (2) = 63,43°
2. Schritt: β = 180° – 90° – 63,43° = 26,57°
Schnittwinkel von Funktionen
Andere Funktionen wie Parabeln können auch mit Geraden einen Schnittwinkel bilden. Zur Berechnung der Schnittwinkel brauchst du die Steigungen beider Funktionen. Bei einer Parabel kannst du die Steigung aber nicht direkt ablesen. In diesem Fall bildest du zuerst die Ableitung . Vielleicht hast du schonmal gehört, dass die Ableitung die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt darstellt. Hier schaust du dir die Steigung in dem Schnittpunkt an. Der Schnittwinkel entsteht dann zwischen der Tangenten in dem Schnittpunkt und der Geraden.
Schneiden sich die Gerade g und die Parabel f im Punkt P (a|f(a)) kannst du folgende Formel anwenden:
![\[\textcolor{blue}{\alpha}= | tan^{-1} (\textcolor{red}{f'(a)}) - tan^{-1} (\textcolor{cyan}{g'(a)}) |\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-210ff6b4e94560ea8ebd9eda9b060cae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beispielrechnung für den Schnittwinkel
g: g(x) = 2x + 5
f: f(x) = x2 + 2
Die Gerade g und die Parabel f schneiden sich in den Punkten P (-1|3) und Q (3|11). Du kannst nun für beide Punkte einen Schnittwinkel berechnen. Im Beispiel arbeitest du mit dem Punkt P.
Zuerst leitest du die Parabel f und die Gerade g ab:
f'(x) = 2x
g'(x) = 2
Dann setzt du die x-Koordinate des Schnittpunktes P (-1|3) ein:
f'(-1) = 2 · (-1) = -2
g'(-1) = 2
Nun hast du alle Komponenten, um die oben genannte Formel anzuwenden:
Wie du im ersten Kapitel bereits gelernt hast, ist der kleinere Winkel der gesuchte Schnittwinkel. Deswegen musst du von 180° noch die 126,87° abziehen.
180° – 126,87° = 53,13°
Schnittwinkel berechnen — häufigste Fragen
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Was ist ein Schnittwinkel?
Ein Schnittwinkel ist ein Winkel zwischen beispielsweise zwei sich schneidenden Geraden. Meistens ist der gesuchte Schnittwinkel der kleinere Winkel (> 90 Grad).
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Wie berechnest du den Schnittwinkel zweier Geraden?
Den Schnittwinkel zweier Geraden berechnest du, indem du die Steigung beider Geraden in die Formel einsetzt.
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Wie berechnest du den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Parabel?
Den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Parabel berechnest du mithilfe der Ableitung. So kannst du die Steigung am Schnittpunkt herausfinden und in die Formel einsetzen.
Steigungswinkel
Nachdem du das Schnittwinkelproblem gelöst hast und nun weißt, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden oder einer Geraden und einer Parabel bestimmst, kannst du dir auch anschauen, wie ein Steigungswinkel entsteht. Hier geht’s zum Video !
