Diskriminante

Diskriminante einfach erklärt  

Die Diskriminante D ist der Ausdruck unter der Wurzel der Mitternachtsformel (auch abc-Formel )

beziehungsweise der pq-Formel

Die Diskriminante sagt dir, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt. Dabei gilt:

• D>0: zwei Lösungen,
• D=0: eine Lösung,
• D<0: keine Lösung.

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Was ist eine Diskriminante?  

Betrachten wir eine quadratische Gleichung der Form

,

wobei , und reelle Zahlen sind. Du suchst nach den Werten von für welche die quadratische Funktion den Wert Null annimmt; du berechnest also die Nullstellen dieser Funktion. Zum Lösen kannst du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel ) verwenden

.

Nun kann die quadratische Gleichung auch in folgender Form vorliegen

,

das heißt vor dem Ausdruck steht nur eine 1. Hier kannst du auch die pq-Formel verwenden

. 

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Beide Formeln besitzen einen Wurzelausdruck. Und genau der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt.

Wenn du eine quadratische Gleichung gegeben hast, kannst du in der Regel durch bloßes Hinschauen nicht erkennen, ob diese Gleichung überhaupt Lösungen besitzt. An dieser Stelle kommt dir die Diskriminante zur Hilfe. Mit ihr kannst du ohne viel Aufwand bestimmen, ob sie Lösungen besitzt. Sie teilt dir auch mit, wie viele Lösungen es gibt. Dabei gilt folgende Merkregel.

Hinweis: Für den Fall müsstet du die Wurzel über einer negativen Zahl ziehen. Dieser Prozess benötigt aber die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen , was man dann erst im Studium lernt.

Diskriminante berechnen  

In diesem Abschnitt geben wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung, um die Diskriminante zu berechnen.

Vorgehen

Angenommen wir haben eine beliebige quadratische Gleichung gegeben

.

Schritt 1: Du untersuchst, ob der Faktor vor dem eins ist oder nicht. Abhängig davon wählst du den entsprechenden Ausdruck für die Diskriminante.

Schritt 2: Nun identifizierst du alle Komponenten, die du zum Berechnen der Diskriminante benötigst. Bei der Mitternachtsformel sind das die Paramater , und , bei der pq-Formel die Parameter und .

Schritt 3: Jetzt nimmst du alle Komponenten, setzt sie in die Formel für ein und rechnest das Ergebnis aus.

Schritt 4: Falls gefragt, kannst du nun bestimmen, wie viele Lösungen es gibt.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir die folgende Gleichung

.

Schritt 1: Der Faktor vor dem ist vier. Demnach verwenden wir die Diskriminante der Mitternachtsformel

.

Schritt 2: Wir benötigen die Komponenten , und . Diese sind

und .

Schritt 3: Nun nehmen wir alle gefundenen Komponenten und setzen sie in D ein. Damit erhalten wir

.

Schritt 4: Da gilt, hat zwei Lösungen.

Diskriminante Anwendung: Schnittstelle(n) zweier Funktionen

Nehmen wir an, dass wir zwei Funktionen und gegeben haben. Wir wollen die Werte für finden, wo sich beide Funktionen schneiden; wir suchen also nach den Schnittstellen. Damit sich die Funktionen überhaupt an einer Stelle schneiden, müssen die Funktionswerte gleich sein, das heißt

.

Wir können das folgendermaßen umformen.

Damit haben wir das Suchen der Schnittstellen der Funktionen und auf das Berechnen von Nullstellen der Funktion reduziert. Im speziellen Fall, dass die Differenz der beiden Funktionen eine quadratische Funktion ist, also

,

können wir mit der Diskriminante bestimmen, ob Nullstellen besitzt. Damit stellen wir gleichzeitig fest, ob die Funktionen und Schnittstellen besitzen.

Diskriminante Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben aus.

Aufgabe 1: Diskriminante berechnen

Gegeben ist die folgende Gleichung

.

(a) Besitzt diese quadratische Gleichung Lösungen und falls Ja, wie viele?

(b) Berechne gegebenenfalls die Lösung(en).

Lösung: Aufgabe 1

(a) Der Faktor vor dem Ausdruck ist nicht gleich 1. Daher verwenden wir die Diskriminante der Mitternachtsformel. Wir erhalten

.

Damit ist und somit gibt es zwei Lösungen.

(b) Zum Berechnen der Lösungen verwenden wir die Mitternachtsformel. Wir bekommen

und damit gilt

und

.

Aufgabe 2: Diskriminante berechnen

Gegeben ist die folgende Gleichung

.

(a) Besitzt diese quadratische Gleichung Lösungen und falls Ja, wie viele?

(b) Berechne gegebenenfalls die Lösung(en).

Lösung: Aufgabe 2

(a) Der Faktor vor dem Ausdruck ist gleich 1. Daher verwenden wir die Diskriminante der pq-Formel. Wir erhalten

.

Damit ist und es gibt zwei Lösungen.

(b) Zum Berechnen der Lösungen verwenden wir die pq-Formel. Wir bekommen

und damit gilt

und

.