Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Umkehrfunktion“

Hier geht's zum Video „Umkehrfunktion“

Hier geht's zum Video „Umkehrfunktion“

Hier geht's zum Video „Integralrechnung“

Hier geht's zum Video „Integralrechnung“

Hier geht's zum Video „Integralrechnung“

Rotationskörper

Wichtige Inhalte in diesem Video

Rotationskörper einfach erklärt

Rotationskörper Formel

Formel Rotationskörper Mantelfläche

In diesem Beitrag erklären wir dir, was Rotationskörper sind und wie du sie berechnest. Am besten kannst du dir die Rotationskörper bildlich vorstellen, wenn du dir unser Video anschaust.

Inhaltsübersicht

Rotationskörper einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

Was ein Rotationskörper ist, kannst du dir leicht vorstellen, wenn du berücksichtigst, wie er entsteht. Dazu betrachtest du eine Fläche im Koordinatensystem (z.B. ein Dreieck) und drehst diese Fläche um $360^\circ$ um eine der beiden Koordinatenachsen. Die dreidimensionale Figur, die dadurch entsteht, heißt Rotationskörper. Im Falle eines Dreiecks erhältst du einen Kegel.

Rotationskörper, Rotation Dreieck, rotierendes Dreieck — Rotationskörper aus Dreieck

Ein Rotationskörper kann sehr verschiedene Formen annehmen. Das hängt einerseits von der rotierenden Fläche ab und andererseits davon, um welche Achse das Flächenstück rotiert. War deine ursprüngliche Fläche beispielsweise ein Rechteck, erhältst du einen Zylinder.

Rotationskörper Formel

im Videozur Stelle im Video springen

Zunächst wollen wir uns anschauen, wie du das Volumen von einem Rotationskörper berechnen kannst. Dabei macht es einen Unterschied, ob der Körper um die x-Achse oder um die y-Achse gedreht wird. Wir betrachten die beiden Formeln unabhängig voneinander und schauen uns zuerst die Rotation um die x-Achse an.

Volumen Rotationskörper bei Drehung um die x-Achse

Wenn du eine Kurve f(x) gegeben hast, die mit der x-Achse und der y-Achse ein Flächenstück einschließt, erhältst du durch Drehung um die x-Achse einen Rotationskörper. Sein Volumen kannst du mittels Integration und der folgenden Formel berechnen.

Volumen eines Rotationskörpers bei Drehung um die x-Achse

$V = \pi \cdot \int\limits_a^b \left(f(x)\right)^2 dx.$

Die Integrationsgrenzen und sind die x-Werte, die dein Flächenstück begrenzen, d.h. die Grenzen deines Definitionsbereichs von f(x) .

Aber Vorsicht! Rotiert dein Flächenstück um die y-Achse, brauchst du eine andere Formel!

Rotationskörper Volumen bei Drehung um die y-Achse

Rotiert dein Flächenstück um die y-Achse, so berechnest du den Rotationskörper anders. Genauer gesagt gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, die aber auf dasselbe Ergebnis führen. Weil du hier die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ benötigst, ist es wichtig, dass f(x) stetig und monoton ist!

1. Formel für das Rotationsvolumen V bei Rotation um die y-Achse

$V = \pi \cdot \int_{\min\{f(a), f(b)\}}^{\max\{f(a),f(b)\}} \left(f^{-1}(y)\right)^2 dy.$

Dabei sind f(a) und f(b) dieses Mal die Grenzen deines Wertebereichs , also die Werte, die du erhältst, wenn du die untere und die obere Integrationsgrenze in f(x) einsetzt. Die zweite Möglichkeit der Berechnung lautet

2. Formel für das Rotationsvolumen V bei Rotation um die y-Achse

$V = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2 |f'(x)|dx.$

Formel Rotationskörper Mantelfläche

im Videozur Stelle im Video springen

Von einem Rotationskörper kann man anstelle des Volumens auch die Mantelfläche berechnen. Bei einem Kegel ist das der Flächeninhalt eines Kreissektors, bei einem Zylinder entspricht die Mantelfläche einem Rechteck.

Rotationskörper, Mantelfläche berechnen, Formel Mantelfläche — Rotationskörper – Mantelfläche berechnen

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse

Zur Berechnung der Mantelfläche benötigst du bei der Rotation um die x-Achse diese Formel:

Berechnung des Mantels bei Rotation um die x-Achse

$M = 2\pi \cdot \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx.$

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse

Für die Rotation um die y-Achse brauchst du wieder die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ . Die zugehörige Formel lautet dann

Berechnung des Mantels bei Rotation um die y-Achse

$M = 2\pi \cdot \int_{\min\{f(a), f(b)\}}^{\max\{f(a),f(b)\}} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left(\left(f^{-1}(y)\right)'\right)^2}dy.$

Rotationskörper berechnen: Beispiele

Damit du noch besser verstehst, wie du Volumen und Mantelfläche von einem Rotationskörper berechnest, betrachten wir nun einige Beispiele.

Beispiel 1: Rotationsvolumen bei Drehung um die x-Achse

Gesucht sei das Rotationsvolumen von $f(x) = \frac{1}{2}x^2+1$ im Intervall $\left[0, 2\right]$ bei Rotation um die x-Achse.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2+1$ , die im Intervall $\left[0,2\right]$ ein Flächenstück beschreibt. Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehung des Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Dazu müssen wir nur alle Werte in die obige Formel für die Rotation um die x-Achse einsetzen und berechnen

$V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(\frac{1}{2}x^2+1\right)^2 dx$

$= \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(\frac{1}{4}x^4+x^2+1 \right)dx$

$= \pi \left[ \frac{1}{20}x^5+\frac{1}{3}x^3+x\right]\limites_0^2$

$= \pi \cdot \frac{94}{15} \quad \approx \quad 19,7.$

Beispiel 2: Rotationsvolumen bei Drehung um die y-Achse

Gesucht sei das Rotationsvolumen von $f(x) = \frac{1}{2}x^2+1$ im Intervall $\left[0, 2\right]$ bei Rotation um die y-Achse.

Damit du den Unterschied zwischen der Drehung um die x-Achse und der Drehung um die y-Achse direkt siehst, betrachten wir noch einmal dieselbe Funktion wie im ersten Beispiel. Drehst du sie um die y-Achse erhältst du einen ganz anderen Körper! Sein Volumen wollen wir nun auf die beiden möglichen Arten bestimmen. Um die erste Formel anwenden zu können, benötigen wir jedoch zuerst die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ . Diese ist in [0,2] wohldefiniert, da f(x) in diesem Intervall streng monoton steigend ist. Aber Vorsicht: Im Allgemeinen gilt das nicht!

Wir berechnen die Umkehrfunktion, indem wir f(x) nach auflösen

$y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 +1$

$\Longleftrightarrow x = f^{-1}(y) = \sqrt{2y-2}.$

Um das Rotationsvolumen auszurechnen, fehlen jetzt noch die Integralgrenzen. Dazu berechnen wir f(0) = 1 und f(2)=3 und erhalten

$V = \pi \cdot \int_1^3 \left( \sqrt{2y-2}\right)^2 dy,$

$= \pi \cdot \int_1^3 \left(2y-2 \right)dy$

$= \pi \cdot \left[y^2-2y\right]\limits_1^3$

$= \pi \left( 9-6-1+2\right) = 4\pi.$

Zur Überprüfung wollen wir das Volumen auch noch mit der zweiten Formel bestimmen. Dazu benötigen wir die Ableitung f'(x) = x . Einsetzen ergibt

$V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(x^2 |x|\right)dx.$

Die Betrag-Striche kannst du hier weglassen, weil f'(x) = x in [0,2] positiv ist. Also gilt

$V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(x^2 \cdot x\right) dx$

$= \pi \cdot \int\limits_0^2 x^3 dx$

$= \pi \cdot \left[ \frac{1}{4}x^4\right]\limits_0^2 = 4\pi.$

Achtung: Pass auf, dass du das $\pi$ bei der Berechnung nirgends vergisst!

Beispiel 3: Mantelfläche Rotationskörper um die x-Achse

Sei f(x) =-2x+4 die Funktion, die im Intervall [0,2] durch Rotation um die x-Achse einen Kegel beschreibt. Seine Mantelfläche lässt sich mit obiger Formel leicht berechnen. Dazu musst du zuerst die Ableitung f'(x) = -2 bestimmen und in die Formel einsetzen

$M = 2\pi \cdot \int\limits_0^2 \left(-2x+4\right) \sqrt{1+(-2)^2}dx$

$= 2\pi \cdot \int\limits_0^2 \left(-2x+4\right) \cdot \sqrt{5}dx$

$= 2\pi \cdot \sqrt{5} \biggl[ -x^2+4x\biggr]\limits_0^2 = 8\pi \cdot \sqrt{5}.$

Beispiel 4: Zusammengesetzte Rotationskörper

In vielen Aufgaben musst du das Volumen eines zusammengesetzten Rotationskörpers berechnen. Das typische Beispiel ist ein Zylinder mit aufgesetztem Kegel.

Das Volumen dieses Rotationskörpers kannst du bestimmen, indem du zuerst das Volumen des Zylinders ausrechnest, und dann das Volumen des Kegels addierst.

In der Abbildung siehst du die Rotationsfläche, die durch f(x) = 2 in [0,3] und g(x) = -x+5 in [3,5] beschrieben wird. Willst du das zugehörige Rotationsvolumen bestimmen, berechnest du also

$V = \pi \cdot \int\limits_0^3 2^2dx + \pi \cdot \int\limits_3^5 \left( -x+5)^2dx$

$= \pi \cdot \biggl[4x\biggr]\limits_0^3 + \pi \left[\frac{1}{3}x^3-5x^2+25x\right]\limits_3^5$

$= 14,67 \cdot \pi.$

Rotationskörper Aufgaben

Wenn du selbstständig weiter üben möchtest, findest du hier noch einige etwas schwerere Aufgaben mit Lösungen.

Aufgabe 1

Sei $f(x) = 6\sqrt{x}$ eine Funktion, die durch Rotation um die x-Achse im Intervall [0,9] eine Schüssel beschreibt. Werden und f(x) in $\mathrm{cm}$ angegeben, so ist die Schüssel $9 \mathrm{cm}$ hoch.

a) Skizziere den Rotationskörper und berechne dann den Durchmesser der Schüssel.

b) Welches Volumen hat die Schüssel? Wie viele Liter sind das?

Aufgabe 2

$f(x) = -\frac{5}{6}x^3$ rotiert um die y-Achse. Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers soll $16\pi\mathrm{cm}^3$ betragen. Berechne die möglichen Integrationsgrenzen, wenn eine Einheit einem Zentimeter entspricht.

Lösungen:

Aufgabe 1:

a) Um den Durchmesser von diesem Rotationskörper zu berechnen, setzt du lediglich die obere Grenze des Definitionsbereiches in f(x) ein und erhältst für den Radius

$f(9)= 6\cdot \sqrt{9} =18 \mathrm{cm}$ .

Der Durchmesser beträgt somit $36 \mathrm{cm}$ .

b) Setzt du alle Parameter in die Formel zur Berechnung des Volumens bei Rotation um die x-Achse ein, musst du das Integral

$\pi \cdot \int\limits_0^9 \left( 6\sqrt{x}\right)^2 dx$

berechnen. Als Lösung erhältst du dann

$4580\mathrm{cm}^3=4,580 \mathrm{l}$ .

Aufgabe 2:

Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, setzt du alle bekannten Werte in die Formel für den Rotationskörper bei Drehung um die y-Achse ein:

$16\pi = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2\cdot |\frac{-5}{2}x^2|dx = \pi \cdot \int\limits_a^b\frac{5}{2}x^4dx$

$\Longleftrightarrow 16 = \biggl[\frac{1}{2}x^5 \biggr]\limits_a^b.$

Wähle nun a=0 und erhalte dann b=2.

Integralrechnung

Damit du das Volumen und die Mantelfläche eines Rotationskörpers ermitteln kannst, musst du unbedingt die Integralrechnung verstehen. Schau dir nochmal unser Video dazu an, damit du Rotationskörper in deiner Prüfung problemlos berechnen kannst!

Integralrechnung, Integral berechnen, Integral bestimmen, Integralfunktion — Zum Video: Integralrechnung

zur Videoseite: Rotationskörper

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Analysis

Orthogonale Projektion

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Funktionsgleichung

Steigungsdreieck

Quadratische Funktionen

Exponentialfunktion

Ganzrationale Funktionen

Nullstellen berechnen

Trigonometrische Funktionen

Wachstumsprozesse

y Achsenabschnitt berechnen

Binomische Formeln

Bruchrechnen Aufgaben

Formel umstellen

Lineare Gleichungssysteme

Prozentrechnung

Kurvendiskussion

Überschlagsrechnung

Geradengleichung

Einheiten umrechnen

Lineare Funktionen einfach erklärt

Quadratische Gleichungen lösen

Ableitungsregeln einfach erklärt

Polynomdivision einfach erklärt

Mittlere Änderungsrate

Integralrechnung einfach erklärt

Teiler und Vielfache

Normalform und Scheitelpunktform

Längeneinheiten

Grundwert Prozentwert Prozentsatz

Was ist eine Funktion?

Krümmungsverhalten

Vektor Multiplikation

Extremwerte berechnen

Prozentuale Veränderung berechnen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Primaler Simplex

Orthogonale Projektion Klausuraufgabe

Ableitungsregeln

Definitionsbereich

Schnittpunkt zweier Geraden

Steigung berechnen

Lineare Funktionen

Scheitelpunktform

Potenzfunktionen

Wendepunkt berechnen

Extrempunkte berechnen

Polynomdivision

Gaußsche Summenformel

Linearfaktorzerlegung

2. binomische Formel

Kommutativgesetz

Verhältnis berechnen

Prozentrechnung Formel

Kurvendiskussion Aufgaben

Proportionale Zuordnung

Graphen zeichnen

e-Funktion integrieren

Äquivalenzumformung

Gleichungen umstellen

Volumen umrechnen

Logarithmusgesetze

Gewichtseinheiten

Grundwert berechnen

E Funktion einfach erklärt

Mitternachtsformel einfach erklärt

Momentane Änderungsrate

Vektor berechnen

Gefälle berechnen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. und höheren Grades

Wer hat Mathe erfunden?

Magisches Quadrat

Potenzgesetze Wurzel

Verkettung von Funktionen

Lineares Wachstum

Dividend Divisor Quotient

Bruchrechnen Regeln

Geradengleichung aus zwei Punkten

Orthogonale Projektion Übungsaufgabe

Orthonormalbasis

Integration durch Substitution

Additionstheoreme

Potenzregel und Faktorregel

Differentialrechnung

Mitternachtsformel

Beschränktes Wachstum

Antiproportionaler Dreisatz

Wendetangente berechnen

Kreuzprodukt / Vektorprodukt

Additionsverfahren

Geometrische Summenformel

Polynomdivision Aufgaben

3. binomische Formel

Logarithmus Regeln

Potenzgesetze Aufgaben

Lineare Gleichungen

Brüche addieren

Assoziativgesetz

Größer Kleiner Zeichen

Kurvendiskussion e-Funktion

Antiproportionale Zuordnung

Bruch in Prozent

Teilbarkeitsregeln

Längen umrechnen

Lineare Interpolation

Definitionsmenge

Monotonieverhalten

Nullstellenform

Graph einer Funktion

Vektoren addieren und subtrahieren

Prozentuale Steigung berechnen

Lineare Funktionen Aufgaben

Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Gram Schmidt Verfahren

Newton Verfahren

Summenregel und Differenzregel

Partielle Integration

Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren

Differenzenquotient

Gebrochen rationale Funktionen

Exponentielles Wachstum

Ableitung bestimmter Funktionen

Dreisatz Aufgaben

Sattelpunkt berechnen

Hochpunkt und Tiefpunkt

Einsetzungsverfahren

Binomische Formeln Aufgaben

Vollständige Induktion

Natürlicher Logarithmus

Brüche subtrahieren

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Distributivgesetz

Gleichungen lösen

Zinseszins Formel

Prozentrechnung Aufgaben

Dezimalzahl in Bruch

Prozentsatz berechnen

Promille berechnen

Schriftlich multiplizieren

Geschwindigkeit umrechnen

Römische Zahlen

Schnittpunkt berechnen

Funktionsscharen

Stammfunktion bilden

Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Funktionen verschieben

Proportionalität

pq Formel einfach erklärt

Parabel zeichnen

Trachtenberg Methode

Lineare Optimierung

Differentialquotient

Quadratische Gleichungen

Eulersche Formel

Logistisches Wachstum

Winkelfunktionen

Zusammengesetzter Dreisatz

Linearkombination

Gleichsetzungsverfahren

Vollständige Induktion Aufgaben

Koeffizientenvergleich

Brüche multiplizieren

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Pascalsches Dreieck

Punkt vor Strich

Dreisatz Prozent

Bruch in Dezimalzahl

Sinus Cosinus Tangens

Maßstab berechnen

Symmetrie Funktionen

Großes Einmaleins

Wurzeln addieren und subtrahieren

Schnittwinkel berechnen

Ableitungen Übungen

Fläche zwischen zwei Graphen

Optimierungsmodelle

Partialbruchzerlegung

Integrationsregeln

Rotationskörper

Steigungswinkel

Brüche dividieren

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Primfaktorzerlegung

Zinssatz berechnen

Binomische Formel hoch 3

Steckbriefaufgaben

Satz vom Nullprodukt

Stellenwerttafel

Differenzierbarkeit

Logarithmus auflösen

arcsin und arccos

Gestreckte und gestauchte Parabel

Minus mal Minus

Wachstumsfaktor berechnen

Proportionalitätsfaktor

Verhalten im Unendlichen

Graphisches Ableiten

Optimierungsmodelle - Übung

Uneigentliche Integrale

Integralrechnung

Logarithmusfunktion

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Brüche kürzen

Klammern auflösen

Rekonstruktion von Funktionen

Quotientenregel

Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Euklidischer Algorithmus

Quadratische Ergänzung

Brüche erweitern

Gauß-Algorithmus

Koordinatensystem

Intervall Mathe

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Stammfunktion Wurzel x

Integralfunktion

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte .