Ableitungsregeln einfach erklärt
Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Ableitungsregeln. Wie du sie richtig anwendest, zeigen wir dir hier im Beitrag und im Video mit Beispielen!
Inhaltsübersicht
Potenzregel
Steht in einer Funktion eine Potenz, kannst du sie mit der Potenzregel ableiten. Die Zahl vom Exponenten ziehst du dabei nach vorne und verringerst den Exponenten selbst um 1.
y = xn → y‘ = n • xn-1
Sehen wir uns dazu ein Beispiel an:
y = x5
y = 5 • x5-1
y = 5 • x4
Faktorregel
Die Faktorregel besagt, dass beim Ableiten einer Funktion, die mit einer Zahl multipliziert wird, diese einfach erhalten bleibt. Sie wird nur mit der abgeleiteten Funktion verrechnet.
y = a • f(x) → y‘ = a • f'(x)
Schau dir dazu dieses Beispiel an:
y = 5 • x2
y‘ = 5 • 2 • x
y‘ = 10 • x
Wichtig: Besteht die Funktion nach der Zahl nur aus einem x, fällt bei der Ableitung nur das x weg. Zum Beispiel: y = 6x → y‘ = 6.
Summenregel
Sind zwei oder mehr Funktionen als Summe miteinander verbunden, kannst du die gesamte Funktion mit der Summenregel ableiten. Dazu leitest du einfach die einzelnen Funktionen zwischen den Plus-Zeichen ab und fügst sie dann zusammen.
y = u + v → y‘ = u‘ + v‘
Das siehst du an diesem Beispiel:
y = -5x2 + 4x6
y‘ = -5 • 2 • x2-1 + 4 • 6 • x6-1
y‘ = -10x + 24x5
Differenzregel
Die Differenzregel funktioniert wie die Summenregel: Du brauchst nur die einzelnen Teile abzuleiten:
y = u – v → y‘ = u‘ – v‘
Zum Beispiel:
y = 5x – x3
y‘ = 5 – 3x2
Ableitungsregeln — Produktregel
Wenn du ein Produkt aus zwei Funktionen ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel. Dazu musst du die beiden Funktionen ableiten und folgende Formel anwenden:
y = u • v → y‘ = u‘ • v + u • v‘
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
y = (x2 + x) • 2x
u = x2 + x
u‘ = 2x + 1
v = 2x
v‘ = 2
y‘ = (2x + 1) • 2x + (x2 + 1) • 2
Ableitungsregeln — Kettenregel
Die Kettenregel benutzt du, um zusammengesetzte Funktionen abzuleiten. Dabei gibt es immer eine äußere und eine innere Funktion. Beide leitest du ab und nutzt die Formel der Kettenregel, um die gesamte Funktion abzuleiten:
y = u(v(x)) → y‘ = u'(v(x)) • v'(x)
Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist:
y = (7x2 + 3)3
u = x3
u‘ = 3x2
v = 7x2 + 3
v‘ = 14x
y‘ = 3 • (7x2 + 3)2 • 14x
Spezielle Ableitungen
Häufig laufen dir auch besondere Funktionen wie Wurzel- oder Logarithmusfunktionen über den Weg, die du ableiten musst. Wir haben dir die Wichtigsten hier zusammengestellt:
| Funktion | Ableitung | |
| Wurzel ableiten |  |
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| Ableitung Sinus | y =sin(x) |  |
| Ableitung Cosinus |  |
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| Ableitung Tangens |  |
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| e Funktion ableiten |
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| ln ableiten |  |
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Tipp: Steht bei einer Exponentialfunktion vor dem Exponenten x noch eine weitere Zahl k, leitest du die Funktion so ab: y = ekx → y‘ = k • ekx.
Ableitungsregeln — Übersicht
Hier hast du nochmal eine Übersicht über die wichtigsten Ableitungsregeln:
Ableitungsregeln — häufigste Fragen
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Welche Ableitungsregeln gibt es?
Die wichtigsten Ableitungsregeln sind:- Konstantenregel
- Potenzregel
- Faktorregel
- Summen-/Differenzregel
- Produkt-/Quotientenregel
- Kettenregel
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Was geben Ableitungen an?
Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung des Graphen an. Beispielsweise steigt die Funktion, wenn die erste Ableitung positiv ist. Die zweite Ableitung einer Funktion gibt hingegen die Krümmung des Graphen an.
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Was besagt die Konstantenregel?
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer konstanten Funktion gleich Null ist. Wenn eine Funktion also nur aus einer Zahl besteht, wie f(x) = 5, dann ist ihre Ableitung f'(x) = 0.
Ableitung bestimmter Funktionen
Du siehst, dass du für manche Funktionen wie beim Sinus oder der e-Funktion eine spezielle Ableitungsregel brauchst. Schau dir dafür am besten gleich unser Video zur Ableitung bestimmter Funktionen an.
