Quadratische Funktionen
Du brauchst Hilfe bei den quadratischen Funktionen? Dann bist du hier genau richtig! Im Beitrag und im Video erklären wir dir alles, was du wissen musst.
Inhaltsübersicht
Quadratische Funktionen einfach erklärt
Eine quadratische Funktion erkennst du daran, dass ein x2 in der Funktionsgleichung vorkommt. Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel.
Die einfachste Parabel ist die Normalparabel mit f(x) = x2. Ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung — also bei (0|0). Das ist gleichzeitig auch ihr tiefster Punkt.
Der Scheitelpunkt muss aber nicht immer bei (0|0) liegen. Die Parabel kann nämlich verschoben (transformiert) werden, wodurch sich der Scheitelpunkt ändert. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten:
- nach oben oder unten verschieben (in y-Richtung)
- nach rechts oder links verschieben (in x-Richtung)
Du kannst eine quadratische Funktion außerdem noch anders verändern:
- Der Graph kann schmaler (Streckung) oder breiter (Stauchung) gemacht werden.
- Die Parabel kann an der x-Achse gespiegelt werden, sodass sie nach unten geöffnet ist.
Verschiebung in y-Richtung
Eine quadratische Funktion in y-Richtung zu verschieben bedeutet, dass du ihren Graphen nach oben oder nach unten verschiebst. Das hat keinen Einfluss auf die Form der Parabel selbst. Du veränderst nur ihre Position. Ausgangspunkt der Verschiebung ist immer die Normalparabel x2 mit dem Scheitelpunkt (0|0).
Hier siehst du, dass jeder Punkt der Parabel um drei Einheiten nach oben verschoben wurde. Das erkennst du auch an der Funktionsgleichung. Die lautet nämlich g(x) = x2 + 3. Das „+3“ verrät dir, dass die quadratische Funktion um drei Einheiten nach oben bewegt wurde.
Eine Verschiebung nach unten sieht hingegen so aus:
Dabei wird wieder jeder Punkt der Normalparabel verschoben — nur diesmal um drei Einheiten nach unten. In der Funktionsgleichung g(x) = x2 – 3 erkennst du das an dem „-3“.
Verschiebung in x-Richtung
Du kannst eine Parabel auch entlang der x-Achse verschieben. Das heißt, du bewegst sie nach links oder nach rechts.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Die Normalparabel x2 wurde hier um drei Einheiten nach rechts verschoben:
Die neue Funktionsgleichung der Parabel lautet g(x) = (x – 3)2.
Eine Verschiebung in x-Richtung erkennst du daran, dass das x und eine Zahl in Klammern stehen und quadriert werden. Wenn vor der 3 in der Klammer ein Minuszeichen steht, wurde die Parabel nach rechts verschoben.
Verschiebst du die Normalparabel um drei Einheiten nach links, lautet die Funktionsgleichung g(x) = (x + 3)2.
Wird eine quadratische Funktion nach links verschoben, steht vor der Zahl in Klammern ein Pluszeichen.
Streckung/Stauchung
Von Streckung oder Stauchung sprichst du, wenn der Graph der Parabel schmaler oder breiter wird. Hier verändert sich also ihre Form und nicht ihre Position im Koordinatensystem.
Ob eine quadratische Funktion gestreckt oder gestaucht wurde, erkennst du an dem Faktor a. Der steht immer vor dem x2 in der Funktionsgleichung:
f(x) = a • x2
- Ist a größer als 1 (a > 1), wird der Graph schmaler. Er ist gestreckt.
- Ist a größer als 0 und kleiner als 1 (0 < a < 1), wird der Graph breiter. Er ist gestaucht.
Auch bei der Streckung und Stauchung ist der Ausgangspunkt die Normalparabel x2. Sie hat den Faktor a = 1, den du aber nicht mitschreibst.
Schauen wir uns die Funktion g(x) = 3 · x2 an. Sie hat den Faktor a = 3. Da der Faktor größer als 1 ist, wird der Graph gestreckt. Deshalb ist er auch viel schmaler als der Graph der Normalparabel.
Anders ist das bei der Funktion g(x) = 0,25 · x2.
Hier liegt der Faktor a = 0,25 zwischen 0 und 1. Das bedeutet, die Funktion wird gestaucht und ist somit breiter als der Graph der Normalparabel.
Wichtig: Im Vergleich zu Verschiebung kannst du eine gestreckte oder gestauchte Parabel nicht so leicht zeichnen. Dafür verwendest du am besten den Taschenrechner oder eine Wertetabelle. Wie du eine Werteabelle dafür verwendest, zeigen wir dir hier!
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung bedeutet, dass die Parabel an ihrem Scheitelpunkt umgedreht wird. Dadurch ist sie nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt ist nun nicht mehr der tiefste, sondern der höchste Punkt.
Dass eine quadratische Funktion gespiegelt wurde, erkennst du auch an der Funktionsgleichung. Dann steht nämlich vor dem Faktor a ein Minuszeichen. Der Faktor ist also negativ, wie zum Beispiel bei der Funktion g(x) = – x2.
Kombination
Bei quadratischen Funktionen kannst du natürlich auch gleichzeitig Verschiebungen, Stauchungen und Spiegelungen haben.
Schau dir die Funktion g(x) = 3 · (x – 3)2 – 2 an.
Du erhältst den Graphen für g(x), indem du die Normalparabel f(x) = x2 entsprechend veränderst.
Um g(x) zu bekommen,
- verschiebst du f(x) um 2 Einheiten nach unten → f(x) = x2 – 2
- verschiebst du f(x) um 3 Einheiten nach rechts → f(x) = (x – 3)2 – 2
- streckst du f(x) mit dem Faktor 3 → g(x) = 3 · (x – 3)2 – 2
Bist du alle Veränderungen durchgegangen, erhältst du deine Funktion g(x) = 3 · (x – 3)2 – 2.
Quadratische Funktionen Formel
Quadratische Funktionen kannst du mit verschiedenen Formeln beschreiben. Die zwei wichtigsten sind die Scheitelpunktform und die allgemeine Form:
- Die Scheitelpunktform lautet:
f(x) = a · (x – d)2 + e
Zu der Form gehört auch unser obiges Beispiel: g(x) = 3 · (x – 3)2 – 2. An der Scheitelpunktform kannst also du die Verschiebung der Parabel im Koordinatensystem ablesen. Außerdem zeigt sie dir die Koordinaten des Scheitelpunkts S (d | e). In unserem Beispiel wäre das (3 | -2).
- Die allgemeine Form lautet:
f(x) = a · x2 + b · x + c.
Auch hier findest du den Faktor a wieder, der die Streckung oder Stauchung angibt. Das c gibt hingegen den y-Achsenabschnitt an. Also die Stelle, an der die quadratische Funktion die y-Achse schneidet.
Eine Möglichkeit, um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen, ist die quadratische Ergänzung. Wie das funktioniert, erklären wir dir in diesem Video!
Übrigens: Ist in der allgemeinen Form der Faktor a = 1, erhältst du die Normalform: f(x) = x2 + px + q.
Funktionsgleichung bestimmen
Je nach deinen gegebenen Informationen kannst du die Funktionsgleichungen von quadratischen Funktionen ganz einfach selbst bestimmen.
Hier zeigen wir dir das Vorgehen anhand eines Beispiels.
Beispiel: Funktionsgleichung von Parabeln bestimmen
Stell dir vor, du hast eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(1|4,5), die außerdem durch den Punkt P(4|0) verläuft. Nun möchtest du die Funktionsgleichung berechnen.
Dann befolgst du am besten diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:
- Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf:
f(x) = a · (x – d)2 + e
- Schritt 2: Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes S(1 | 4,5) mit e = 4,5 und d = 1 ein. Damit ergibt sich:
f(x) = a · (x – 1)2 + 4,5
- Schritt 3: Um a zu berechnen, setzt du als Nächstes den Punkt P(4|0) in die Funktionsgleichung ein:
0 = a · (4 – 1)2 + 4,5
0 = a · 32 + 4,5
0 = 9a + 4,5
| -4,5
– 4,5 = 9a| ÷ 9
a = – 0,5
- Schritt 4: Setze a in die Funktionsgleichung ein und multipliziere den Funktionsterm aus.
f(x) = – 0,5 (x – 1)2 + 4,5 = -0,5x2 + x + 4
Tipp: Beim Ausmultiplizieren des Funktionsterms helfen dir die binomischen Formeln.
Nullstellen berechnen
Quadratische Funktionen haben entweder eine, zwei oder gar keine Nullstelle.
Um die Nullstellen zu berechnen, stehen dir verschiedene Methoden zur Auswahl. Dazu gehören zum Beispiel die Mitternachtsformel und die p-q-Formel:
Die Mitternachtsformel wendest du an, wenn die quadratische Funktion in der allgemeinen Form a • x2 + b • x + c vorliegt. Dafür setzt du einfach die Zahlen für a, b und c in die Formel ein und löst die Gleichung einmal, indem du Plus rechnest und einmal indem du Minus rechnest. So erhältst du die zwei Nullstellen x1 und x2.
Liegt die quadratische Funktion hingegen in der Normalform x2 + px + q vor, verwendest du die pq-Formel. Auch hier setzt du die Zahlen für p und q einfach in die Formel ein und rechnest sie einmal mit Plus und einmal mit Minus aus.
Wenn du genauer wissen möchtest, wie du die beiden Formeln anwendest, dann schau in unseren Beiträgen zur Mitternachtsformel und zur pq-Formel vorbei!
Tipp: Eine weitere Darstellungsmöglichkeit der quadratischen Funktionen ist die faktorisierte Form f(x) = (x – x1) · (x – x2). Liegt eine Funktion in der Form vor, kannst du die Nullstellen x1 und x2 direkt ablesen.
Quadratische Funktionen — häufigste Fragen
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Was sind quadratische Funktionen?
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, in der die Variable x quadriert wird. Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel. Die einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel. Sie hat die Funktionsgleichung f(x) = x2.
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Wie erkennt man, ob es eine quadratische Funktion ist?
Eine quadratische Funktion erkennst du daran, dass ein x2 vorkommt, aber kein x3, x4, x5, usw. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Hier siehst du den Graphen der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x2. Den nennst du Normalparabel.
Normalform und Scheitelpunktform
Super, nun kennst du dich mit quadratischen Funktionen bestens aus! Um die Lage der Parabel im Koordinatensystem abzulesen, brauchst du die Scheitelpunktform. Hast du die Funktion aber in der allgemeinen Form vorliegen, kannst du sie ganz leicht umwandeln. Wie das geht, erklären wir dir hier im Video!
