Wurzeln
Du möchtest wissen, was eine Wurzel in Mathe ist? Dann bist du hier genau richtig! In diesem Beitrag und in unserem Video erfährst du, wie du Wurzeln definierst und lernst verschiedene Wurzelarten kennen!
Inhaltsübersicht
Wurzeln in Mathe einfach erklärt
Schau dir Wurzeln in Mathe
direkt an folgendem Beispiel an:
Du ziehst hier die sogenannte Wurzel von 9. Beim Wurzelziehen stellst du dir jetzt die Frage: Welche Zahl musst du mit sich selber malnehmen, dass 9 rauskommt?
3 · 3 = 3² = 9
Die Wurzel von 9 ist 3. Wenn du die 3 hier mit sich selbst malnimmst, ergibt das wieder die ursprüngliche Zahl 9. Anders formuliert: 3 hoch 2 ergibt 9.
Wenn du eine Zahl hoch 2 (²) rechnest, ist das also die Umkehrung vom Wurzelziehen (√). Das Wurzelzeichen √ steht dabei für die zweite Wurzel ²√. Weil du die zweite Wurzel so häufig benutzt, wird die 2 davor meistens einfach weggelassen.
![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{9}} = \sqrt{\textcolor{red}{9}}= \textcolor{orange}{3}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fcebd29c3cd63b36c7baf4cb183da0de_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzeln in Mathe bestehen aus einer positiven Zahl und dem Wurzelzeichen. Sie sind die Umkehrung einer Potenz. Denn nimmst du eine Zahl mit sich selbst mal, dann ergibt diese wieder das gleiche wie die Wurzel. Die Wurzel aus 9 ist somit 3, denn 3 mal 3 ergibt wieder 9:
![\[ \sqrt{\textcolor{red}{9}} = \textcolor{orange}{3} \;\Leftrightarrow \; \textcolor{orange}{3}^2 = \textcolor{red}{9} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-987944c6426de799daaa989a08167c6a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Übrigens: Es gibt zwei besondere Wurzeln: Die Wurzel aus 1 und die Wurzel aus 0. Sie sind die einzigen beiden Zahlen, bei denen das Wurzelziehen die Zahl nicht verändert:
Wurzeln — wichtige Begriffe
In Mathe gibt es beim Thema Wurzeln einige Begriffe, die du kennen solltest:
![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{9}} \Rightarrow \sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{red}{a}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1841d5e6bd69e990d0d000c85fbfc6ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
| Beispiel | allgemein | Begriff |
![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{9}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e6fecd67f0ce8eb2652276bcfbce19d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com") |
![\sqrt[\textcolor{olive}{n}]{\textcolor{red}{a}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2a87a36434be099ed122125f53bdb10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com") |
Wurzel |
| √ | √ | Wurzelzeichen |
| 9 | a | Radikand |
| ² | n | Wurzelexponent |
Beim Wurzelziehen geht es um die Bestimmung der unbekannten Zahl x in der Gleichung a = xn. Um diese Zahl zu bestimmen, ziehst du die Wurzel. Die Gleichung lautet dann: x = .
a = xn ⇒ x =
Beispiel: 16 = x2 ⇒ x = ![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{16}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec43a437cb19eec18b50b39a7493f154_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
⇒ x= 4
Übrigens: Du unterscheidest verschiedene Wurzelarten. Wenn du die zweite Wurzel aus einer Zahl ziehst (![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{a}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44af464134ac3908f245ba18b1bf21a1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
), dann nennst du das Quadratwurzel
. Die dritte Wurzel einer Zahl (![\sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{red}{a}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efead155db5c39dfb1a1e229c2d84b87_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
) bezeichnest du als Kubikwurzel
. Wurzelexponenten größer als 2 musst du immer dazuschreiben. Sonst weißt du nicht, die wievielte Wurzel du ziehen sollst. Das Wurzelziehen
nennst du auch Radizieren.
Du kannst aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen. Sobald du einen negativen Radikanden hast, ist das Ergebnis nicht definiert:
= ❌
Wurzelgesetze
Damit du in Mathe mit jeder Wurzel rechnen kannst, brauchst du folgende Wurzelgesetze :
1. Wurzelgesetz: Produkt von Wurzeln
Du multiplizierst Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten, indem du die Radikanden unter eine Wurzel schreibst.
2. Wurzelgesetz: Quotient von Wurzeln
Du dividierst Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten, indem du die Radikanden als Bruch unter eine Wurzel schreibst.
Übrigens: Diese Regeln gelten für alle Wurzeln — damit auch für eine Kubikwurzel ³√. Voraussetzung ist, dass alle Wurzeln der Rechnung den gleichen Wurzelexponenten haben. Beim Addieren und Subtrahieren von Wurzeln geht das Zusammenfassen unter eine große Wurzel allerdings nicht!
3. Wurzelgesetz: Zwei Wurzeln
![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\sqrt[\textcolor{olive}{3}]{6}} =\sqrt[\textcolor{olive}{2\cdot 3}]{6}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6690305f35caa6222cab30cbd87b5cf3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
=![\sqrt[\textcolor{olive}{6}]{6}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aad3c610a0ceba410025567da96edbc4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hast du zwei Wurzeln gegeben, dann nimmst du die Wurzelexponenten der beiden Wurzeln miteinander mal. So fasst du beide Wurzeln zu einer neuen zusammen.
4. Wurzelgesetz: Wurzeln potenzieren
![\sqrt[3]{5}^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09eb41b5cf3009fb64b1cc9006f34751_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wird deine gesamte Wurzel potenziert, dann schreibst du die Potenz unter die Wurzel. So benötigst du die Klammern nicht mehr.
5. Wurzelgesetz: Potenzen unter der Wurzel
![\sqrt[3]{5^2}= 5^\frac{2}{3}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-80ed2da73ab5a2aa41641c6cdcebc33f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gibt es eine Potenz unter der Wurzel, dann kannst du diese einfach auflösen: Schreibe dafür eine Potenz in Form eines Bruchs hinter deine Zahl. Die bisherige Potenz unter deinem Bruch wird zum Zähler der neuen Potenz. Der Wurzelexponent wird der Nenner der Potenz.
Wenn du die fünf Gesetze für Wurzelzahlen noch genauer kennenlernen willst, dann schau doch hier vorbei!
Teilweises Wurzelziehen
Die Wurzelgesetze helfen dir auch, wenn du nur teilweise die Wurzel ziehen möchtest.
Schau dir dafür folgendes Beispiel an:
Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegst du die Zahl unter der Wurzel in mehrere Faktoren eines Produkts. Hier sind 9 und 8 die Faktoren. Aus diesen Faktoren kannst du jetzt einzeln die Wurzel ziehen. So hast du deine Wurzel ein Stück vereinfacht.
Wurzeln in Potenzen umformen
Auch durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen kannst du Aufgaben häufig vereinfachen. Oft ist es nämlich einfacher, mit Potenzen als mit Wurzeln zu rechnen.
Wie du schon gelernt hast, ist eine andere Schreibweise für Wurzeln das Potenzieren :
Radizieren: = 3
Potenzieren: 3² = 9
Du kannst also jede Wurzel in der Mathematik auch durch eine Potenz darstellen:
![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{6}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a3c7b2d3f80a7b557b3eb18c88b09b8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
=![\sqrt[\textcolor{olive}{2}]{\textcolor{red}{6\textcolor{purple}{^1}}} = 6^{\frac{\textcolor{purple}{1}}{\textcolor{olive}{2}}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6dfcd451bf07cac39ad0d38b43184d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\sqrt[\textcolor{olive}{3}]{\textcolor{red}{8\textcolor{purple}{^2}}} = 8^{\frac{\textcolor{purple}{2}}{\textcolor{olive}{3}}}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-460bd6d0e663c4cc5d9c1454eedecfb7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzelrechnung
Super! Jetzt weißt du, was eine Wurzel in Mathe ist und kennst auch die Definition einer Wurzel. Schau dir als Nächstes genauer an, wie du mit Wurzeln rechnest !
