Bruchrechnen
Wie funktioniert Bruchrechnen und warum brauchst du das nicht nur in Mathe? Das erklären wir dir hier und im Video Schritt für Schritt an vielen Beispielen. So gelingt dir Bruchrechnen garantiert!
Inhaltsübersicht
Bruchrechnen einfach erklärt
Du kennst schon ganze Zahlen wie 1, 2, 3, 4, 5,…. Dazwischen liegen aber auch noch weitere Zahlen. Um diese zu beschreiben, nutzt du Brüche. Die kennst du sogar schon aus deinem Alltag!
Stell dir vor, dein Freund hat einen Kuchen gebacken. Weil ihr 4 Freunde seid, schneidet er den Kuchen in 4 Stücke. Heute sind aber nur 3 Freunde da, also esst ihr nur 3 der 4 Stücke.
Das kannst du auch als Bruch schreiben. Stell dir dafür folgende Fragen:
- Wie viele Stücke Kuchen essen wir? 3 Stücke.
Das wird dein Zähler (obere Zahl). Denn du zählst, wie viele Stücke des ganzen Kuchens ihr esst.
- Wie viele Stücke Kuchen gibt es insgesamt? 4 Stücke.
Das wird dein Nenner (untere Zahl). Denn du nennst, wie viele Stücke Kuchen es insgesamt gibt.
Die Bruchrechnung heißt also: 
Du hast jetzt noch 1 von 4 Kuchenstücken für den anderen Freund übrig. Das schreibst du so: 
Ein Bruch ist also ein Teil von einem Ganzen. Zum Beispiel Kuchenstücke von einem ganzen Kuchen.
Wie schreibst du einen Bruch auf?
Allgemein kannst du dir also Folgendes merken: Ein Bruch besteht aus einem Zähler oben, einem Nenner unten und einem Bruchstrich dazwischen.
Wenn die obere und untere Zahl im Bruch gleich sind, hat der Bruch einen Wert von 1. Dann ist der Bruch also genau 1 Ganzes. Beispiele:
![\[\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{4}} = 1\qquad \frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{8}} = 1\qquad\frac{\textcolor{blue}{12}}{\textcolor{red}{12}} = 1\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-663c66870627b93282d3dbaff9b6cbfa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gut zu wissen: Je größer der Nenner ist, desto feiner unterteilst du das Ganze. Außerdem kannst du mit Brüchen auch Zahlen darstellen, die größer als 1 sind. Dafür muss der Zähler größer als der Nenner sein.
![\[\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{4}}\phantom{0} > 1\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3738e6778ca9107eb3185e318804d8d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Als Nächstes erklären wir dir, was du bei der Bruchrechnung alles beachten solltest.
Bruchrechnen Regeln
Wie rechnet man mit Brüchen? Mit Brüchen kannst du genauso wie mit normalen Zahlen rechnen. Du kannst für Brüche also auch die vier Grundrechenarten benutzen, die du schon kennst:
Außerdem kannst du Brüche…
Wie du genau mit Brüchen rechnen kannst und welche Regeln es dafür gibt, erfährst du jetzt.
Bruchrechnen: Addieren
Beim Bruchrechnen kannst du Brüche mit gleichem Nenner addieren
. Stell dir dazu eine Pizza vor, die in 4 Stücke geschnitten ist. Du hast 1 von 4 Stücken, also ein Viertel 
von der Pizza. Dein Freund Max hat 2 der 4 Stücke, also zwei viertel 
von der Pizza. Wenn ihr eure Pizzastücke zusammenlegt, habt ihr insgesamt 3 von 4 Stücken, also drei viertel 
einer ganzen Pizza.
Um Brüche zu addieren, rechnest du also Zähler plus Zähler. Den Nenner lässt du stehen. Er bleibt also gleich.
Merke: Bei der Bruchrechnung müssen die Nenner für die Addition gleich sein. Ist das nicht der Fall, musst du die Brüche zuerst durch Kürzen oder Erweitern auf einen gleichen Nenner bringen . Wie das funktioniert, erfährst du weiter unten.
Bruchrechnen: Subtrahieren
Das Subtrahieren von Brüchen funktioniert ähnlich wie das Addieren. Stell dir das wieder an einem Kuchen mit 8 Stücken vor. Deine Freunde essen 3 der 8 Stücke. Zum Schluss sind also noch 5 von 8 Stücken übrig.
Du rechnest also einfach Zähler minus Zähler und lässt den Nenner stehen. Auch beim Minusrechnen mit Brüchen müssen die Nenner gleich sein.
Bruchrechnen: Multiplizieren
Beim Bruchrechnen multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
Gut zu wissen: Wenn du einen Bruch mit einer ganzen Zahl (z.B. 1, 2, 3, …) multiplizieren sollst, musst du diese ganze Zahl vorher in einen Bruch umwandeln. Dazu schreibst du die ganze Zahl nach oben in den Zähler. Der Nenner ist dann immer eine 1.
![\[\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{5}}\cdot 2 = \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{5}} \cdot \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{blue}{2\,\cdot\,2}}{\textcolor{red}{5\,\cdot\,1}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{5}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5db335827e126af4c456e20c30f1c025_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bruchrechnen: Dividieren
Bei der Bruchrechnung mit der Division vertauschst du im zweiten Bruch den Zähler mit dem Nenner. Danach ersetzt du das Geteilt-Zeichen ( : ) durch ein Mal-Zeichen ( · ). Jetzt hast du wieder eine Malaufgabe. Die kennst du schon! Du multiplizierst nun die Brüche, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest.
Gut zu wissen: Wie bei der Bruchrechnung mit einer Multiplikation, wandelst du auch bei der Division ganze Zahlen in einen Bruch um. Einen umgekehrten Bruch nennst du übrigens auch Kehrwert .
Du kannst Brüche plus, minus, mal und geteilt rechnen. Beim Multiplizieren von Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner: (1/2) • (3/4) = 3/8. Nach dem Multiplizieren kannst du die Brüche oft noch kürzen.
Brüche kürzen
Du kannst vor oder nach dem Rechnen einen Bruch kürzen
. Stell dir dazu wieder eine Pizza vor, die in 8 Stücke geschnitten wurde. Du bekommst die Hälfte, also 4 Stücke davon. Wenn die Pizza nur in 2 Stücke geschnitten worden wäre, hättest du 1 der 2 Stücke bekommen. Es ist dabei egal, in wie viele Stücke die Pizza zerteilt wird. Du bekommst insgesamt immer die Hälfte davon 
.
Um Brüche zu kürzen, teilst du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl. In diesem Beispiel teilst du die Kuchenstücke durch 4. Das geht immer dann, wenn Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl ohne Rest teilbar sind. Der Bruch wird so zwar kleiner, sein Wert bleibt aber gleich.
Gut zu wissen: Gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner kannst du durch Ausprobieren oder mithilfe der Teilbarkeitsregeln herausfinden. Du kannst einen Bruch übrigens auch mehrmals kürzen. Kürzen brauchst du vor allem bei der Addition und der Subtraktion, da Brüche dabei immer den gleichen Nenner haben müssen.
Brüche erweitern
Bei der Bruchrechnung kannst du Brüche auch mithilfe von Erweitern
auf einen gleichen Nenner bringen. Stell dir dazu vor, du schneidest eine Pizza in 2 Stücke . Jetzt kannst du deine 2 Hälften aber noch einmal durchschneiden, damit die Stücke nicht so groß sind. Du hast also 4 Stücke. Dann isst du 2 von 4 Stücken , was trotzdem nichts anderes ist als 
.
Um Brüche zu erweitern, musst du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Im Beispiel erweitern wir den Bruch mit 2.
- Du kürzt einen Bruch, indem du seinen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilst.
- Dagegen erweiterst du einen Bruch, indem du seinen Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst.
Brüche mit gleichem Nenner (Gleichnamige Brüche)
In Mathe unterscheidest du beim Rechnen mit Brüchen zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen. Sie sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben:
![\[\frac{4}{\textcolor{red}{5}}, \frac{2}{\textcolor{red}{5}}, \frac{11}{\textcolor{red}{5}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a61fbbbe5aaca485952f075cd779e4ce_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beim plus und minus Rechnen mit gleichnamigen Brüchen musst du am Nenner nichts verändern.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern (ungleichnamige Brüche)
Brüche werden als ungleichnamig bezeichnet, wenn sie verschiedene Nenner haben. Folgende Brüche sind zum Beispiel ungleichnamig:
![\[\frac{4}{\textcolor{red}{9}}, \frac{3}{\textcolor{red}{7}}, \frac{5}{\textcolor{red}{13}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d239ca27941d6b4013137fa571c3af9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beim plus oder minus Rechnen musst du ungleichnamige Brüche immer in gleichnamige Brüche umwandeln, bevor du Rechnen kannst. Du kannst die Brüche dafür kürzen oder erweitern.
Bei der Bruchrechnung mit Multiplizieren und Dividieren spielt es dagegen keine Rolle, ob die Nenner gleich oder verschieden sind.
Du unterscheidest echte und unechte
Brüche. Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner. Beispiel: 
. Bei einem unechten Bruch hingegen ist der Zähler größer oder gleich groß wie der Nenner. Beispiel: 
.
Bruchrechnen — häufigste Fragen
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Wie rechnet man Brüche?
Brüche subtrahierst du, indem du Zähler minus Zähler rechnest. Für die Addition von Brüchen rechnest du Zähler plus Zähler. Bei der Multiplikation nimmst du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Eine Division wird zur Multiplikation, indem du Zähler und Nenner beim zweiten Bruch vertauschst.
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Wie kann man Bruchrechnung erklären?
Ein Bruch besteht aus Zähler (oben) und Nenner (unten). Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen die Nenner zuerst gleich gemacht werden. Bei der Multiplikation von Brüchen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
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Wie rechne ich einen Bruch?
Rechnest du Brüche zusammen, dann addierst du die Zähler. Der Nenner bleibt gleich. Brüche kannst du außerdem kürzen und erweitern. Der Wert des Bruchs bleibt dabei immer gleich. Zum Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
Bruchrechnen Aufgaben
Super! Nach der einfachen Erklärung zur Bruchrechnung hast du jetzt einen Überblick bekommen, wie das Rechnen mit Brüchen geht.
Am besten übst du dein Wissen jetzt an einigen Beispielaufgaben zum Bruchrechnen. Was ergibt zum Beispiel folgende Aufgabe?
![\[\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8daca7ada0a16692ff5011ada7dbb5be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das erfährst du im nächsten Video ! Hier kannst du das Rechnen mit Brüchen noch weiter üben.
