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Bruchrechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Die Grundlagen zum Bruchrechnen

So addierst du Brüche

So subtrahierst du Brüche

So multiplizierst du Brüche

So dividierst du Brüche

In diesem Beitrag und im Video erfährst du, wie du mit Brüchen addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst.

Klasse 5

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Klasse 7

Inhaltsübersicht

Die Grundlagen zum Bruchrechnen

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Mit einem Bruch kannst du Zahlen angeben, die zwischen den ganzen Zahlen (-1, -2, 0, 1, 2, 3,…) liegen. Brüche bestehen aus zwei Teilen:

Die obere Zahl ist der Zähler — er sagt, wie viele Teile du hast.
Die untere Zahl ist der Nenner — er sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist.

➡️ Beispiel: $\frac{3}{4}$ = $\frac{Zähler}{Nenner}$

Das ist alles, was du wissen musst, um mit Brüchen zu rechnen. Schauen wir uns an, wie das geht.

So erweiterst du Brüche

Beim Addieren und Subtrahieren müssen beide Brüche denselben Nenner haben. Haben sie das nicht, erweiterst du die Brüche. Du multiplizierst dafür Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl.

➡️ Beispiel: Sehen wir uns das einmal Schritt für Schritt am Beispiel $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ an:

1. Finde den gemeinsamen Nenner

Die Nenner sind unterschiedlich (4 und 6), deshalb brauchst du einen gleichen Nenner. Das ist zum Beispiel die 12.

Tipp:Am besten suchst du für den gemeinsamen Nenner nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV). Das ist die kleinste Zahl, die beide Nenner gemeinsam haben. Das erleichtert dir das Erweitern. Ein weiteres Vielfaches von 4 und 6 ist auch 24 — aber mit der 12 kannst du leichter rechnen.

2. Erweitere die Brüche

Nun musst du beide Brüche auf den Nenner 12 bringen. Dafür multiplizierst du also die 4 mit der 3 und die 6 mit der 2. Somit rechnest du den jeweiligen Bruch mal 3 bzw. mal 2:
$\frac{1}{4}$ → mal 3 = $\frac{3}{12}$
$\frac{1}{6}$ → mal 2 = $\frac{2}{12}$

3. Addiere beide Brüche

Jetzt kannst du deine Nenner addieren.
$\frac{3}{12} + \frac{2}{12}$ = $\frac{5}{12}$

Hinweis: Pass auf, dass du nicht nur den Nenner erweiterst. Das verändert nämlich den Wert des Bruchs und das Ergebnis stimmt dann nicht mehr. Multipliziere also immer auch den Zähler!

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

So kürzt du Brüche

Nachdem du Brüche ausgerechnet hast, ist der letzte Schritt das Kürzen. Das Kürzen macht Brüche einfacher und übersichtlicher. Dafür teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

➡️ Beispiel: $\frac{6}{8}$

Zuerst listest du alle Teiler von 6 und 8 auf. Dann suchst du nach der größten Zahl, durch die sich beide teilen lassen.
Teiler von 6: 1, 2, 3, 6
Teiler von 8: 1, 2, 4, 8

→ größter gemeinsamer Teiler: 2
Jetzt teilst du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler.
$\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$

Teile so lange, bis Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dann ist der Bruch vollständig gekürzt. 3 und 4 haben keine gemeinsamen Teiler mehr — also bist du fertig.

Du musst nicht immer alle Teiler auflisten. Mithilfe von Teilbarkeitsregeln kannst du zum Beispiel schneller einen Teiler bestimmen:

Durch 2 teilbar? Beide Zahlen müssen gerade sein.
Durch 3 teilbar? Die Quersumme beider Zahlen muss durch 3 teilbar sein.
Durch 5 teilbar? Beide Zahlen müssen auf 0 oder 5 enden.

Tipp: Du kannst auch in einem Schritt kürzen, wenn du gleich den größten gemeinsamen Teiler erkennst. Bei $\frac{12}{18}$ ist das die 6: $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$ . Du könntest auch mit der 2 anfangen zu kürzen, das Ergebnis ist dasselbe. Nur brauchst du dafür mehr Rechenschritte: $\frac{12}{18} \div 2 = \frac{6}{9} = \div 3 = \frac{2}{3}$

So addierst du Brüche

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Um zwei Brüche zu addieren, addierst du nur die Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Wichtig: Der Nenner muss gleichsein, damit du Brüche addieren darfst. Sind sie nicht gleich, musst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen (erweitern).

➡️ Beispiel: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

Die Brüche haben nicht denselben Nenner, deshalb musst du zuerst erweitern. Der gemeinsame Nenner ist 12.
$\frac{1}{3}$ → mal 4 = $\frac{4}{12}$
$\frac{1}{4}$ → mal 3 = $\frac{3}{12}$
Jetzt kannst du die Brüche addieren.
$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
Zum Schluss schaust du, ob du noch kürzen kannst.

7 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler. Das Ergebnis ist bereits vollständig gekürzt.

So subtrahierst du Brüche

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Bei der Subtraktion gehst du so vor wie bei der Addition und subtrahierst nur die Zähler. Der Nenner bleibt, wie er ist.

Wichtig:Der Nenner muss auch hier gleich sein, damit du Brüche subtrahieren darfst. Sind sie nicht gleich, musst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen (erweitern).

➡️ Beispiel 1: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

Als Erstes bringst du beide Brüche auf den gemeinsamen Nenner 12.
$\frac{5}{6}$ → mal 2 = $\frac{10}{12}$
$\frac{1}{4}$ → mal 3 = $\frac{3}{12}$
Nun kannst du beide Brüche subtrahieren.
$frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
Jetzt kannst du noch schauen, ob du kürzen kannst.

7 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler. Das Ergebnis ist vollständig gekürzt.

➡️ Beispiel 2: $\frac{3}{7} - \frac{5}{7}$

$\frac{3 - 5}{7} = \frac{-2}{7} = - \frac{2}{7}$

Das Ergebnis ist negativ. Das ist kein Fehler — es bedeutet nur, dass der zweite Bruch größer war als der erste. Das Vorzeichen gehört zum gesamten Bruch.

So wandelst du gemischte Zahlen um

Manchmal begegnen dir in Aufgaben keine gewöhnlichen Brüche, sondern gemischte Zahlen wie $2\frac{1}{3}$ . Das ist eine Kurzschreibweise für eine ganze Zahl plus einen Bruch.

Vor allem beim Multiplizieren und Dividieren ist es leichter, gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche umzuwandeln. Bei so einem „unechten“ Bruch ist dann der Zähler größer als der Nenner.

So rechnest du nur mit Brüchen.

Von der gemischten Zahl zum unechten Bruch — So geht’s:

Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere den Zähler. Das Ergebnis wird dein neuer Zähler. Der Nenner bleibt gleich: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Hast du einen unechten Bruch am Ende als Ergebnis, kannst du ihn in eine gemischte Zahl umwandeln. Das macht es übersichtlicher.

Vom unechten Bruch zur gemischten Zahl — So geht’s:

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, suchst du zuerst das größte Vielfache des Nenners, das in den Zähler hineinpasst. Bei dem Bruch $\frac{7}{3}$ passt zum Beispiel die 3 zweimal ohne Rest in die 7. Du schreibst also die 2 als ganze Zahl hin.
Danach schaust du noch, was vom Zähler übrig bleibt. Zweimal die 3 ergibt 6 — 7 minus 6 ist 1. Also ergänzt du $\frac{1}{3}$ .
$\frac{7}{3}: \quad 7 \div 3 = 2 \text{ Rest } 1 \quad \Rightarrow \quad 2\frac{1}{3}$

So multiplizierst du Brüche

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Bei der Multiplikation von Brüchen brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Stattdessen multiplizierst du Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler.

➡️ Beispiel 1: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Multipliziere die Zähler und Nenner miteinander.
$\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{12}{72}$
Kürze das Ergebnis vollständig.

Du kannst den Bruch noch kürzen, da beide Zahlen durch 12 teilbar sind: $\frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}$

➡️ Beispiel 2: $\frac{-2}{3} \cdot \frac{-4}{5}$

Multipliziere die Zähler und Nenner miteinander.
$\frac{-2 \cdot -4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{20}$
Schaue, ob du das Ergbnis noch kürzen kannst.
8 und 20 haben keinen gemeinsamen Teiler. Das Ergebnis ist vollständig gekürzt.

Du siehst, dass Minus mal Minus immer Plus ergibt. Das Ergebnis kann nicht weiter gekürzt werden.

So kürzt du über Kreuz

Wenn du mit großen Zahlen rechnest, ist es sinnvoll die Brüche vorher zu kürzen. Dafür kannst du über Kreuz kürzen. Das heißt, du kürzt den Zähler des ersten Bruchs du mit dem Nenner des zweiten Bruchs — und umgekehrt. Du prüfst also diagonal, ob es gemeinsame Teiler gibt.

➡️ Beispiel: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$

Schau dir die diagonalen Paare an:

4 und 8 – beide durch 4 teilbar: 4 ÷ 4 = 1 und 8 ÷ 4 = 2
9 und 3 – beide durch 3 teilbar: 9 ÷ 3 = 3 und 3 ÷ 3 = 1

Notiere die gekürzten Zahlen direkt über bzw. unter den ursprünglichen:

$\frac{\cancel{4}^{\,1}}{\cancel{9}^{\,3}} \cdot \frac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{8}^{\,2}} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Das Ergebnis ist sofort vollständig gekürzt.

So dividierst du Brüche

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Die Division von Brüchen funktioniert fast wie die Multiplikation. Du brauchst nur einen zusätzlichen Schritt am Anfang und zwar den Kehrwert.

➡️ Beispiel: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$

Bilde den Kehrwert des zweiten Bruchs: Drehe Zähler und Nenner einfach um.

Der Kehrwert von $\frac{4}{5}$ ist daher $\frac{5}{4}$
Multipliziere den ersten Bruch mit diesem Kehrwert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12}$
Kürze das Ergebnis vollständig.

Du kannst den Bruch noch kürzen, da beide Zahlen durch 2 teilbar sind:
$\frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$

Tipp: Wenn du den Kehrwert von einer ganzen Zahl wie 4 bilden möchtest, schreibst du sie zuerst als $\frac{4}{1}$ . Ihr Kehrwert ist dann $\frac{1}{4}$ . Die Zahl 0 hat keinen Kehrwert.

Vermeide diese Fehler beim Bruchrechnen

Vor einer Abgabe oder einem Test lohnt es sich, deine Rechnung nochmal kurz zu überprüfen. Diese fünf Punkte zeigen dir, wo die häufigsten Fehler passieren — und wie du sie vermeidest.

1. Zähler und Nenner verwechselt?
Der Zähler steht oben, der Nenner steht unten. Verwechselst du die beiden, stimmt jeder Rechenschritt danach nicht mehr. Prüfe deshalb vor dem Rechnen kurz, welche Zahl oben und welche unten steht.

2. Nenner sauber angeglichen?
Bei der Addition und Subtraktion mit ungleichen Nennern müssen beide Brüche auf denselben Nenner gebracht werden. Prüfe nach dem Erweitern, ob beide Nenner wirklich gleich sind. Außerdem müssen immer Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden — nicht nur einer der beiden.

3. Beim Dividieren den richtigen Bruch umgedreht?
Nur der zweite Bruch wird zum Kehrwert umgedreht. Der erste Bruch bleibt genau so stehen. Prüfe also nach dem Umdrehen, ob du danach wie bei einer normalen Multiplikation weitergerechnet hast.

4. Ergebnis vollständig gekürzt?
Nach jedem Rechenschritt prüfst du, ob Zähler und Nenner noch einen gemeinsamen Teiler haben. Probiere dafür der Reihe nach 2, 3 und 5 durch. Ist der Zähler außerdem größer als der Nenner, schreibe das Ergebnis noch als gemischte Zahl um.

5. Vorzeichen beim Subtrahieren übersehen?
Wenn der zweite Zähler größer ist als der erste, wird das Ergebnis negativ. Schreibe das Minuszeichen sofort zum Zähler, sobald du das erkennst. Der Nenner bleibt dabei immer positiv.

Bruchrechnung — Zusammenfassung

Damit du das Vorgehen für alle Rechenoperationen auf einem Blick hast, siehst du hier eine Zusammenfassung:

Die Grafik zeigt eine Zusammenfassung zur Bruchrechnung mit den vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Bei der Addition wird erklärt, dass bei gleichen Nennern die Zähler addiert werden und der Nenner gleich bleibt. Bei ungleichen Nennern wird zuerst ein gemeinsamer Nenner gebildet, dann werden die Brüche erweitert und anschließend die Zähler addiert. Zum Schluss wird das Ergebnis gekürzt. Ein Beispiel ist 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2. Bei der Subtraktion gilt das gleiche Prinzip: Bei gleichen Nennern werden die Zähler subtrahiert, bei ungleichen wird zuerst ein gemeinsamer Nenner gesucht, dann erweitert und anschließend subtrahiert. Das Ergebnis wird gekürzt. Ein Beispiel ist 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2. Bei der Multiplikation werden die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert. Danach wird das Ergebnis gekürzt. Ein Beispiel ist 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2. Bei der Division wird der zweite Bruch umgedreht und anschließend wie bei der Multiplikation gerechnet. Auch hier wird das Ergebnis gekürzt. Ein Beispiel ist 3/4 ÷ 3/8 = 3/4 · 8/3 = 24/12 = 2. — Zusammenfassung Bruchrechnung

Übungen zum Bruchrechnen

Jetzt kannst du das Gelernte direkt anwenden. Rechne die Aufgaben aus und überprüfe anschließend dein Ergebnis mit der Musterlösung.

Aufgabe 1

a) $\frac{5}{9} + \frac{7}{9}$

Die Nenner sind gleich, also addierst du nur die Zähler: 5/9 + 7/9 = 12/9

b) Kürze den Bruch $\frac{12}{9}$ so weit wie möglich

Beide Zahlen sind durch 3 teilbar: 12 : 3 = 4 und 9 : 3 = 3 → 4/3

c) Wandle den Bruch $\frac{4}{3}$ in eine gemischte Zahl um

Der Zähler ist größer als der Nenner – das ist ein unechter Bruch. Als gemischte Zahl: 1 1/3

Aufgabe 2

a) $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$

Der gemeinsame Nenner ist 12, denn 4 · 3 = 12. →3 ⋅ 3/4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4/3 ⋅ 4 = 9/12 + 8/12 = 17/12

b) Überprüfe, ob es bei $\frac{17}{12}$ einen gemeinsamen Teiler gibt und wandle falls nicht in eine gemischte Zahl um

17 und 12 haben keinen gemeinsamen Teiler. Als gemischte Zahl: 1 5/12

Aufgabe 3

a) $\frac{7}{10} - \frac{3}{10}$

Die Nenner sind gleich, also subtrahierst du nur die Zähler:7 – 3/10 = 4/10

b) Kürze den Bruch $\frac{4}{10}$ so weit wie möglich

Beide Zahlen sind durch 2 teilbar: 4 : 2 = 2 und 10 : 2 = 2/5

Aufgabe 4

$\frac{1}{4} - \frac{1}{3}$

Der gemeinsame Nenner ist 12, denn 4 · 3 = 12. →1 ⋅ 3/4 ⋅ 3 – 1 ⋅ 4/ 3 ⋅ 4 = 3/12 – 4/12 = -1/12

Aufgabe 5

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}$

Prüfe die diagonalen Paare vor dem Multiplizieren:5 und 10 – beide durch 5 teilbar: 5 ÷ 5 = 1 und 10 ÷ 5 =

Bruchrechnen Regeln

Du beherrschst nun die Grundlagen des Bruchrechnens. Doch wie sieht es mit komplexeren Aufgaben aus, in denen mehrere Rechenarten kombiniert werden? In unserem Beitrag zeigen wir die verschiedenen Regeln zum Bruchrechnen, damit du solche Aufgaben meistern kannst.

Zum Video: Bruchrechnen Regeln

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