Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Potenzregel und Faktorregel“

Hier geht's zum Video „Wurzel ableiten“

Wurzelfunktion

Wichtige Inhalte in diesem Video

Wurzelfunktion einfach erklärt

Wurzelfunktion Eigenschaften

Wurzelfunktion ableiten

Wurzelfunktionen integrieren

Wurzeln mit höherem Wurzelexponent

In diesem Artikel erklären wir dir die Eigenschaften der Wurzelfunktion und gehen auch auf Wurzeln mit höherem Wurzelexponenten ein. Am Ende des Textes findest du eine knappe Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte.

Wenn du willst, dass dir jemand die Wurzelfunktion direkt am Beispiel erklärt, dann schau dir dieses kurze Video an.

Inhaltsübersicht

Wurzelfunktion einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

Am einfachsten ist es, wenn du dir eine Wurzelfunktion als Umkehrfunktion einer Potenzfunktion vorstellst. Das bedeutet, du kannst damit berechnen, welche Zahl hoch ein bestimmtes Ergebnis liefert. Je nach Exponenten erhältst du Wurzeln von verschiedenem Grad, die meistverwendete Wurzelfunktion heißt auch (Quadrat-)Wurzel $\sqrt{ }$ .

Aufgrund der Potenzgesetze kannst du Wurzeln auf zwei verschiedene Arten darstellen:

Verschiedene Schreibweisen der (allgemeinen) Wurzelfunktion

$f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Wurzel, Quadratwurzel, 3. Wurzel, Wurzelfunktion — Graph einer zweiten und dritten Wurzelfunktion

Wurzelfunktion Eigenschaften

im Videozur Stelle im Video springen

Wie du am Funktionsgraphen bereits erkennst, hat die Wurzelfunktion besondere Eigenschaften, auf die wir ausführlich am Beispiel der Quadratwurzel eingehen wollen. Die Besonderheiten bei höheren Wurzelexponenten thematisieren wir im nächsten Abschnitt!

Definitionsbereich und Wertebereich

Die Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt{x}$ ist nur definiert, solange der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich Null ist, also für $x \ge 0$ . Sie hat somit den Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$ . Das siehst du direkt am Funktionsgraphen, ebenso wie du daran die Wertemenge $\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$ ablesen kannst.

Lage der Wurzelfunktion im Koordinatensystem

Je nachdem, welche Parameter in der Wurzelfunktion enthalten sind, ist ihr Funktionsgraph gestreckt, gestaucht, oder im Koordinatensystem verschoben. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du im Bild sehen kannst.

Wurzel Wurzelfunktion, Verschiebung, Stauchung, Streckung im Koordinatensystem, Definitionsbereich Wurzel — Verschiebung und Streckung der Wurzelfunktion

$f(x)=\sqrt{x}$ (blau) ist die normale (Quadrat-)Wurzelfunktion
$f(x)=2\sqrt{x} = \sqrt{4x}$ (lila) ist um den Faktor gestreckt, ist also doppelt so steil
$f(x)=\sqrt{x-3}$ (grün) ist um in positive x-Richtung, also nach rechts verschoben
$f(x)=\sqrt{x}+2$ (pink) ist um in y-Richtung, das heißt nach oben verschoben.

Die allgemeine Funktionsgleichung, die gestreckt/gestaucht und in jede Richtung verschoben werden kann, lautet daher:

Allgemeine Wurzelfunktion mit Parametern

$f(x)=a\sqrt{x+b}+c$

Das verschiebt den Graphen in y-Richtung nach oben oder unten, das in x-Richtung nach rechts oder links. Der Vorfaktor streckt oder staucht den Graphen der Wurzelfunktion. Hat ein negatives Vorzeichen, so ist der Funktionsgraph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Merke: Abhängig von den Parametern musst du den Definitionsbereich und den Wertebereich anpassen!

Umkehrfunktion

Jede Wurzelfunktion von beliebigem Grad ist die Umkehrfunktion der entsprechenden Potenzfunktion.

f(x) = x^n und $f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}$

Insbesondere hat jede quadratische Funktion mit der Wurzelfunktion eine Umkehrfunktion. Wichtig ist dabei nur, dass der Definitionsbereich der quadratischen Funktion eingeschränkt werden muss. Du darfst nur einen Ast der Parabel betrachten, da die quadratische Funktion sonst nicht injektiv beziehungsweise umkehrbar ist. Ausführlich erklären wir dir diesen Zusammenhang in einem separaten Video, hier betrachten wir das Beispiel

$f(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$

$y= \frac{1}{3}x^2.$

Davon können wir die Umkehrfunktion berechnen, indem wir nach auflösen und anschließend und vertauschen. Die Umkehrfunktion lautet dann $f^{-1}(x) = \sqrt{3x}$ .

Wurzelfunktion, quadratische Funktion, Umkehrfunktion — Umkehrfunktionen: Wurzelfunktion und quadratische Funktion

Analog kannst du die Umkehrfunktion von jeder Potenzfunktion als Wurzelfunktion schreiben, beispielsweise bei

x^3 und $\sqrt[3]{x}$ .

Merke: Bildest du die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten, musst du den Definitionsbereich einschränken. Bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten ist dies nicht erforderlich!

Grenzwert und Monotonie

Die Wurzelfunktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Ihr Minimum ist gleichzeitig die einzige Nullstelle und der linksseitige Grenzwert mit $0=\sqrt{0}$ . Der rechtsseitige Grenzwert ist

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \sqrt{x} = \infty.$

Wurzelfunktion ableiten

im Videozur Stelle im Video springen

Wurzeln lassen sich ableiten, indem du sie als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten schreibst. In diesem Falle verwendest du einfach die Potenzregel der Ableitung . Damit gilt

Ableitung der Wurzelfunktion

$f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad \quad \quad \Longrightarrow \quad \quad \quad f'(x) = \frac{1}{2}x^\frac{-1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ausführlich und mit vielen Beispielen erklären wir dir das im Artikel „Wurzel ableiten“.

Wurzelfunktionen integrieren

im Videozur Stelle im Video springen

Beim Berechnen der Stammfunktion einer Wurzel, gehst du analog vor, wie beim Ableiten. Hier gilt:

Stammfunktion der Wurzelfunktion

$\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}$ .

Wurzeln mit höherem Wurzelexponent

im Videozur Stelle im Video springen

Bisher haben wir nur die sogenannten Quadratwurzeln betrachtet. In diesem Abschnitt nehmen wir nun Wurzelfunktionen mit höherem Exponenten genauer unter die Lupe und unterscheiden zwischen geradem und ungeradem Wurzelexponent.

Gerader Wurzelexponent

Wurzelfunktionen mit geradem Exponenten verhalten sich in ihren Eigenschaften ähnlich wie die Quadratwurzelfunktion. Der einzige Unterschied ist, dass sie langfristig flacher verlaufen, je höher der Exponent ist.

Wurzelfunktionen gerader Exponent — Wurzelfunktionen mit geradem Wurzelexponent

Ungerader Wurzelexponent

Etwas komplizierter ist die Sache bei einer Wurzel mit ungeradem Exponenten. Diese Wurzeln sind auch für negative Zahlen definiert! Sie haben sowohl den Definitionsbereich $\mathbb{D}= \mathbb{R}$ als auch den Wertebereich $\mathbb{W}=\mathbb{R}$ . Warum das gilt, verstehst du am besten an einem Beispiel. Sei

$f(x) = \sqrt[3]{x}$

eine Wurzel mit ungeradem Exponenten. Ihre Umkehrfunktion ist eine Funktion 3. Grades, f(x)=x^3 , die für alle $x \in \mathbb{R}$ injektiv und somit umkehrbar ist. Du darfst hier negative Werte einsetzen, denn es gilt

$\sqrt[3]{-8} = -2$ , da (-2)^3 = -8 .

Ableiten und integrieren kannst du auch diesen Funktionstyp wie oben beschrieben.

Zusammenfassung

Eigenschaften der Wurzelfunktion zusammengefasst

Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$ für Wurzeln mit geradem Exponenten,

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$ für ungerade Wurzelexponenten

Wertebereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$ für Wurzeln mit geradem Exponenten,

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$ für ungerade Wurzelexponenten

Monotonie streng monoton steigend

Grenzwert $\lim \limits_{x\rightarrow \infty} \sqrt[n]{x}=\infty$

Umkehrfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ hat die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=x^n$

Ableitung $f(x)=\sqrt[n]{x}$ hat die Ableitung $f'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}= \frac{1}{n}x^{\frac{(1-n)}{n}}$

Integral $f(x)=\sqrt[n]{x}$ hat die Stammfunktion $F(x)=\frac{n}{n+1}x^{\frac{1}{n}+1 }= \frac{n}{n+1}x^\frac{n+1}{n}$

Funktionen

Super! Jetzt weißt du genau was eine Wurzelfunktion ist. Um dich auch mit allen anderen Funktionstypen bestens auszukennen, musst du dir unbedingt unser Video zu den Funktionen anschauen. Dort fassen wir alles Wichtige zum Thema Funktionen zusammen. Schau es dir also gleich an!

Funktionen, Funktionsarten, Funktionstypen, funktion, Arten von Funktionen — Zum Video: Funktionen

zur Videoseite: Wurzelfunktion

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Funktionen

Orthogonale Projektion

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Funktionsgleichung

Steigungsdreieck

Quadratische Funktionen

Exponentialfunktion

Ganzrationale Funktionen

Nullstellen berechnen

Trigonometrische Funktionen

Wachstumsprozesse

y Achsenabschnitt berechnen

Binomische Formeln

Bruchrechnen Aufgaben

Formel umstellen

Lineare Gleichungssysteme

Prozentrechnung

Kurvendiskussion

Überschlagsrechnung

Geradengleichung

Einheiten umrechnen

Lineare Funktionen einfach erklärt

Quadratische Gleichungen lösen

Ableitungsregeln einfach erklärt

Polynomdivision einfach erklärt

Mittlere Änderungsrate

Integralrechnung einfach erklärt

Teiler und Vielfache

Normalform und Scheitelpunktform

Längeneinheiten

Grundwert Prozentwert Prozentsatz

Was ist eine Funktion?

Krümmungsverhalten

Vektor Multiplikation

Extremwerte berechnen

Prozentuale Veränderung berechnen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Primaler Simplex

Orthogonale Projektion Klausuraufgabe

Ableitungsregeln

Definitionsbereich

Schnittpunkt zweier Geraden

Steigung berechnen

Lineare Funktionen

Scheitelpunktform

Potenzfunktionen

Wendepunkt berechnen

Extrempunkte berechnen

Polynomdivision

Gaußsche Summenformel

Linearfaktorzerlegung

2. binomische Formel

Kommutativgesetz

Verhältnis berechnen

Prozentrechnung Formel

Kurvendiskussion Aufgaben

Proportionale Zuordnung

Graphen zeichnen

e-Funktion integrieren

Äquivalenzumformung

Gleichungen umstellen

Volumen umrechnen

Logarithmusgesetze

Gewichtseinheiten

Grundwert berechnen

E Funktion einfach erklärt

Mitternachtsformel einfach erklärt

Momentane Änderungsrate

Vektor berechnen

Gefälle berechnen

Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. und höheren Grades

Wer hat Mathe erfunden?

Magisches Quadrat

Potenzgesetze Wurzel

Verkettung von Funktionen

Lineares Wachstum

Dividend Divisor Quotient

Bruchrechnen Regeln

Geradengleichung aus zwei Punkten

Orthogonale Projektion Übungsaufgabe

Orthonormalbasis

Integration durch Substitution

Additionstheoreme

Potenzregel und Faktorregel

Differentialrechnung

Mitternachtsformel

Beschränktes Wachstum

Antiproportionaler Dreisatz

Wendetangente berechnen

Kreuzprodukt / Vektorprodukt

Additionsverfahren

Geometrische Summenformel

Polynomdivision Aufgaben

3. binomische Formel

Logarithmus Regeln

Potenzgesetze Aufgaben

Lineare Gleichungen

Brüche addieren

Assoziativgesetz

Größer Kleiner Zeichen

Kurvendiskussion e-Funktion

Antiproportionale Zuordnung

Bruch in Prozent

Teilbarkeitsregeln

Längen umrechnen

Lineare Interpolation

Definitionsmenge

Monotonieverhalten

Nullstellenform

Graph einer Funktion

Vektoren addieren und subtrahieren

Prozentuale Steigung berechnen

Lineare Funktionen Aufgaben

Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Gram Schmidt Verfahren

Newton Verfahren

Summenregel und Differenzregel

Partielle Integration

Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren

Differenzenquotient

Gebrochen rationale Funktionen

Exponentielles Wachstum

Ableitung bestimmter Funktionen

Dreisatz Aufgaben

Sattelpunkt berechnen

Hochpunkt und Tiefpunkt

Einsetzungsverfahren

Binomische Formeln Aufgaben

Vollständige Induktion

Natürlicher Logarithmus

Brüche subtrahieren

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Distributivgesetz

Gleichungen lösen

Zinseszins Formel

Prozentrechnung Aufgaben

Dezimalzahl in Bruch

Prozentsatz berechnen

Promille berechnen

Schriftlich multiplizieren

Geschwindigkeit umrechnen

Römische Zahlen

Schnittpunkt berechnen

Funktionsscharen

Stammfunktion bilden

Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Funktionen verschieben

Proportionalität

pq Formel einfach erklärt

Parabel zeichnen

Trachtenberg Methode

Lineare Optimierung

Differentialquotient

Quadratische Gleichungen

Eulersche Formel

Logistisches Wachstum

Winkelfunktionen

Zusammengesetzter Dreisatz

Linearkombination

Gleichsetzungsverfahren

Vollständige Induktion Aufgaben

Koeffizientenvergleich

Brüche multiplizieren

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Pascalsches Dreieck

Punkt vor Strich

Dreisatz Prozent

Bruch in Dezimalzahl

Sinus Cosinus Tangens

Maßstab berechnen

Symmetrie Funktionen

Großes Einmaleins

Wurzeln addieren und subtrahieren

Schnittwinkel berechnen

Ableitungen Übungen

Fläche zwischen zwei Graphen

Optimierungsmodelle

Partialbruchzerlegung

Integrationsregeln

Rotationskörper

Steigungswinkel

Brüche dividieren

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Primfaktorzerlegung

Zinssatz berechnen

Binomische Formel hoch 3

Steckbriefaufgaben

Satz vom Nullprodukt

Stellenwerttafel

Differenzierbarkeit

Logarithmus auflösen

arcsin und arccos

Gestreckte und gestauchte Parabel

Minus mal Minus

Wachstumsfaktor berechnen

Proportionalitätsfaktor

Verhalten im Unendlichen

Graphisches Ableiten

Optimierungsmodelle - Übung

Uneigentliche Integrale

Integralrechnung

Logarithmusfunktion

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Brüche kürzen

Klammern auflösen

Rekonstruktion von Funktionen

Quotientenregel

Nullstellen berechnen quadratische Funktion

Euklidischer Algorithmus

Quadratische Ergänzung

Brüche erweitern

Gauß-Algorithmus

Koordinatensystem

Intervall Mathe

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Stammfunktion Wurzel x

Integralfunktion

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte .