Differenzierbarkeit
Hier lernst du alles zur Differenzierbarkeit und wie du sie schnell und einfach nachweisen kannst. Du hast keine Lust soviel zu lesen? Dann schau dir doch einfach unser Video an!
Inhaltsübersicht
Differenzierbarkeit einfach erklärt
Differenzierbarkeit ist eine wichtige Eigenschaft von stetigen Funktionen. Du kannst eine nicht differenzierbare Funktion an einem Knick in ihrem Graphen erkennen:
Allgemein nennst du eine Funktion an der Stelle x0 differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert:
![\[\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4457a59643904c4c1fa04fa9eefc5494_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das bedeutet, er ist kleiner als unendlich.
Eine Funktion ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn
![\[\lim\limits_{x\to \textcolor{blue}{x_0}}\dfrac{f(x)-f(\textcolor{blue}{x_0})}{x-x_0}<\infty\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aede6be346f421a11333c29047900205_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Diesen Limes nennst du auch Differentialquotienten . Er gibt dir die Ableitung an der Stelle x0 von f an.
Du bezeichnest deine Funktion als differenzierbar, wenn du sie an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge differenzieren kannst.
Aber wie kannst du die Differenzierbarkeit jetzt genau nachprüfen?
Differenzierbarkeit zeigen
Schau dir dafür mal die Funktion an:
![\[f(x)=2x\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cab53a2150af0b69fcd48ec0d81dcd9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ist diese Funktion an der Stelle 
differenzierbar? Dafür musst du zeigen, dass der Grenzwert
existiert:
![\[\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-087c6c2bbd6f7b20b7492af6ecf34836_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt setzt du für 
und
deine Funktion ein und erhältst:
![\[\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{2x-2\cdot1}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{2\cdot(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}2=2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57b28861427b947675bceae15aa7b78f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Grenzwert ist also immer 2! Er hängt hier gar nicht von deiner betrachteten Stelle ab. Egal, welche Zahl du für x0 eingesetzt hättest, es wäre immer 2 rausgekommen. Das heißt, deine Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist konstant.
Quadratische Funktion
Wie sieht es mit der Differenzierbarkeit einer quadratischen Funktion aus?
![\[f(x)=x^2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69f39dc8e367ccd35da1c8fc74664279_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du kannst für 
wieder deine Funktion einsetzen und schaust dir den Grenzwert gegen an:
![\[\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{x^2-{1}^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\dfrac{(x+1)\cdot(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to{1}}\(x+1}=2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8639fa26299f9645a078ee2734964e0c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Funktion ist also bei differenzierbar. Aber das gilt auch für jeden anderen Wert von 
:
![\[\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{x^2-{x_0}^2}{x-1}=\lim\limits_{x\to{x_0}}\dfrac{(x+x_0)\cdot(x-x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0}}\(x+x_0}=2x_0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-350f1a951e226a8d37670e333db5a654_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Grenzwert existiert also für jedes endliche x0. Somit hast du die Differenzierbarkeit für alle x0 gezeigt.
Wann ist eine Funktion nicht differenzierbar?
Der Grenzwert des Differentialquotienten existiert genau dann, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen:
![\[\lim\limits_{x\to{x_0^-}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to{x_0^+}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4226b14a7455ccf36f032af8e472f2ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das hilft dir auch, wenn du die Differenzierbarkeit einer Funktion widerlegen willst.
Schau dir dafür mal die Betragsfunktion an der Stelle 
an:
![\[f(x)=|x|\qquad{x_0}=0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3dbf8a9a5cc98caadbdc56ec20998cfc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn du den linksseitigen Grenzwert des Differentialquotienten berechnest, verwendest du 
, weil für 
deine Funktion fällt:
Das setzt du dann alles in deine Formel ein:
![\[\lim\limits_{x\to{x_0^-}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x-(-0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x}{x}=-1\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-faaa5b7505b1d261b8ae31b779ec5716_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Für 
steigt die Funktion aber mit 
und du erhältst den rechtsseitigen Grenzwert:
![\[\lim\limits_{x\to{x_0^+}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x-0}{x-0}=1\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5e5a99e5d1bc8695fd325bf1a9b1cff2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das ist aber ein Widerspruch!
![\[\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1\neq1=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e4fafb8ad3686eda5abf6e192f53c43_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Betragsfunktion ist also bei Null nicht differenzierbar. Das kannst du auch gut an dem Knick bei der Stelle sehen. Die Betragsfunktion ist hier aber trotzdem stetig!
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Du solltest wissen, dass eine Funktion, die an der Stelle x0 differenzierbar ist, dort auch stetig sein muss. Andersrum gilt dann aber auch: Wenn sie nicht stetig ist, kann f auch nicht differenzierbar sein.
Merke: Eine Funktion, deren Ableitungsfunktion f’ stetig ist, nennst du stetig differenzierbar.
Die folgenden Zusammenhänge solltest du kennen:
- f ist differenzierbar ⇒ f ist stetig
- f ist nicht stetig ⇒ f ist nicht differenzierbar
- f’ ist stetig ⇔ f heißt stetig differenzierbar
Differenzierbarkeit höherer Ordnung
Du weißt ja, dass du einige Funktionen mehr als nur einmal ableiten kannst. Das nennst du dann Differenzierbarkeit höherer Ordnung. Wenn du eine Funktion zweimal ableiten kannst, nennst du sie zweimal differenzierbar. Genau das Gleiche gilt dann auch bei drei oder sogar n-mal ableitbaren Funktionen. Die n-te Ableitung von bezeichnest du dann mit 
.
Es gibt noch einen weiteren Trick, wie du eine Funktion auf Differenzierbarkeit prüfen kannst.
h-Methode
Du kannst den Grenzwert des Differentialquotienten auch mit der h-Methode
berechnen. Dafür ersetzt (substituierst) du 
mit h:
![\[x-x_0=h\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6fa9649ec0e47b528d1585fb6f329495_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dementsprechend wird dann 
zu 
und es gilt:
![\[\lim\limits_{x\tox_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e9f6b56b2e93b132e932874a909ac28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schau dir dafür am besten mal die Funktion an:
![\[f(x)=x^3\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6818efce6443d500487d5c4bfb4cbf72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Willst du die Differenzierbarkeit an der Stelle prüfen, rechnest du:
![\[\lim\limits_{h\to0}\dfarc{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{{(x_0+h)}^3-{x_0}^3}{h}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cae0cc879f85343a02780df3ec5949b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{{x_0}^3+3{x_0}^2h+3x_0h^2+h^3-{x_0}^3}{h}=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{h\cdot(3{x_0}^2+3{x_0}h+h^2)}{h}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ed1b19f35146d534c3c7ca9787cc3f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[=\lim\limits_{h\to0}3{x_0}^2+3{x_0}h+h^2=3{x_0}^2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-325d1854711f8910978f01779b316524_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Deine Funktion ist also an der Stelle differenzierbar.
Ableitunsgregeln
Zum Glück musst du nicht immer die Grenzwerte bestimmen, um auf die Ableitung zu kommen. Für viele Funktionen kennst du schon Ableitungsregeln , die dir die aufwendige Rechnerei ersparen. Schau dir doch gleich unser Video dazu an!
