Wurzelrechnung
Bist du dir unsicher, wenn es um Wurzel Rechnen geht? Kein Problem! In dem Artikel und unserem Video lernst du alles Wichtige über Wurzelrechnung und Wurzelregeln.
Inhaltsübersicht
Wurzelrechnung einfach erklärt
Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder die Zahl ergibt. Also ist zum Beispiel die Wurzel aus 4 gleich 2, da 2 mal 2 wieder 4 ergibt.
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{4}=2 \; \Leftrightarrow \; 2 \cdot 2 = 2^{\textcolor{blue}{2}}= 4\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2fb08a2dcacf076653bd1b4847d39da5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{2}]{9}=3 \; \Leftrightarrow \; 3 \cdot 3 = 3^{\textcolor{blue}{2}} = 9\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4048d357f6debd9a2b100ddf5f3954f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Allerdings gibt es nicht nur Quadratwurzeln. Du kannst auch die dritte Wurzel ziehen. In dem Fall würdest du dann überlegen, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der dritten Wurzel ergibt:
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{27}=3 \; \Leftrightarrow \; 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{\textcolor{blue}{3}} = 27\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76b66ee4157debaef2810e9dbe7a9aba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Wurzel besteht aus einem Wurzelzeichen, dem Radikand a und dem Wurzelexponenten n.
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}} = \textcolor{olive}{b}\; \Leftrightarrow \; \textcolor{olive}{b}^{\textcolor{blue}{n}} = \textcolor{red}{a}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-599267a46d31bac1c6bf33611e9b1aeb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Für die Wurzelrechnung ist wichtig, dass du folgenden Zusammenhang kennst:
![\[\sqrt{4}=4^{\frac{1}{\textcolor{blue}{2}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d11aed189bf5b2b15aa78df337171f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzeln multiplizieren
Wenn du zwei Wurzeln miteinander multiplizieren willst, die denselben Wurzelexponenten haben, darfst du folgendes machen:
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{6}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4\cdot6}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{24}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34b1be17e2f0732b214c43006bcc47c4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{5}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{14}=\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{5\cdot14}=\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{70}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88130dcf854eed605cc315f849027680_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Es gilt also für Wurzel mal Wurzel:
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{b}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}\cdot\textcolor{red}{b}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-177e4031e2dee484a47bcd02413d6a6d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du musst hier allerdings aufpassen. Denn du kannst die Regel nur anwenden, wenn die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben.
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{7}\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{8}\neq\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{7\cdot8}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-816ef2a14fe914e19cc983c1cac49ee8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzeln dividieren
Auch für das Dividieren von Wurzeln gibt es eine ähnliche Regel:
![\[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4}}{\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{6}}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\frac{4}{6}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cae23405984d9c147cb939cf27ada12_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{6}}{\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{13}}=\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{\frac{6}{13}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-001e250bb10106b783535a6403d6320c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Im Allgemeinen gilt also für Wurzel durch Wurzel:
![\[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}}}{\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}}}=\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{red}{b}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f743de1b59f993da502d4e7d13023b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wieder darfst du diese Regel nur verwenden, wenn die beiden Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben:
![\[\frac{\sqrt[\textcolor{blue}{9}]{2}}{\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{5}}\neq\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{\frac{2}{5}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14bb5a67f1614f592a043c64f17addcd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzelpotenzgesetz
Eine weitere wichtige Regel kennst du vielleicht aus den Potenzgesetzen:
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{4\textsuperscript{6}}={4}^{\frac{6}{\textcolor{blue}{3}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28331ff324aac0bfce22f5876d0ad295_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{11}]{5\textsuperscript{3}}=5^{\frac{3}{\textcolor{blue}{11}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f25746aab61aedc152857f7d76d5402_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\left(\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{7}\right)^{5}=7^{\frac{5}{\textcolor{blue}{3}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d3ccbd5ecb3393c6c7a175ad14ef5f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die allgemeine Regel lautet:
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\textcolor{red}{a}^{\textcolor{olive}{b}}}=\textcolor{red}{a}^{\frac{\textcolor{olive}{b}}{\textcolor{blue}{n}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c57455ceebad0a7aceba949f6af4046b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du kannst also auch die Quadratwurzel als Potenz schreiben!
![\[\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d3559acbc6abaf7b2c5d7343a4dbc76_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzeln radizieren
Es gibt noch eine weitere wichtige Wurzelregel, die dir bei der Wurzel Rechnung hilft. Du kannst nämlich ohne Probleme auch die Wurzel aus einer Wurzel ziehen.
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{5}]{\sqrt[\textcolor{blue}{7}]{8}}=\sqrt[\textcolor{blue}{5\cdot7}]{8}=\sqrt[\textcolor{blue}{35}]{8}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2babe887acbd86cd5b0d6e2b0018cdc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt{\sqrt{16}}=\sqrt[\textcolor{blue}{2\cdot2}]{16}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{16}=2\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b20e6f435386d9e665c51e8f2e96811b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Allgemein kannst du dir bei der Wurzelrechnung merken:
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{n}]{\sqrt[\textcolor{blue}{m}]{\textcolor{red}{a}}}=\textcolor{red}{a}^{\frac{1}{\textcolor{blue}{n}\cdot\textcolor{blue}{m}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36f3bfe207913c2ded95ec98435276fd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Teilweises Wurzelziehen
Beim teilweisen Wurzelziehen geht es darum, dass du versuchst, den Radikand in ein Produkt zu zerlegen wie du es von der Primfaktorzerlegung kennst. Das hilft dir beim Wurzel Berechnen: Anstatt aus der großen Zahl ziehst du aus ihren einzelnen Faktoren die Wurzel:
![\[\sqrt{125}=\sqrt{5^{2}\cdot5}=5\cdot\sqrt{5}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bc98ca61c471e8fdf816def956dca05_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{144}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{12\cdot12}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{4\cdot3\cdot4\cdot3}=\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2\cdot3}=2\cdot\sqrt[\textcolor{blue}{4}]{9}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-daae342b7402e2adad3e2ebdfc0b153b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{27}=\sqrt[\textcolor{blue}{3}]{3\cdot3\cdot3}=3\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2dbe57aefd95413453dee76cd231126_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Es kann allerdings durchaus vorkommen, dass trotz Produktzerlegung keine Möglichkeit besteht, die Wurzel aus einem der Faktoren zu ziehen:
![\[\sqrt{231}=\sqrt{77\cdot3}=\sqrt{7\cdot11\cdot3}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd43282c3f9a1ef503fa5698cbcd5b55_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt{26}=\sqrt{2\cdot13}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a004bedd9af473b26310e44aa797971_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wurzel im Nenner beseitigen
Wenn du eine Wurzel im Nenner stehen hast, ist das zwar erstmal nicht weiter schlimm, du tust dir allerdings oft leichter, wenn du sie beseitigst. Hierfür musst du den Bruch mit der Wurzel erweitern :
![\[\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fdd02ee5e496f93ca78c6a8fa63b70c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt6}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt6}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22bdab4539d19c4de67a3cf123e009ec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Manchmal musst du aber gar nicht erst den Bruch erweitern. Du kannst häufig auch direkt kürzen :
![\[\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2\cdot2}}{\sqrt{2}}=\frac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}}{\cancel{{\sqrt{2}}}}=\sqrt{2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c987b823dd218f0150445788177c81b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot3}{\sqrt{3}}=\frac{\cancel{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\cancel{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b5d50f932c3c6dc0edd894df8a259e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Potenzgesetze
Du hast bestimmt erkannt, dass einige Wurzelgesetze auf den Potenzgesetzen basieren. Falls du dazu noch mehr wissen willst, schau dir doch unser Video zum Thema Potenzgesetze rechnen an.
