Fläche zwischen zwei Graphen
Du suchst nach einer Anleitung zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen? Hier und im Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie das funktioniert.
Inhaltsübersicht
Fläche zwischen Graphen berechnen
Die Fläche zwischen zwei Graphen ergibt sich, wenn du von der Fläche zwischen dem ersten Graphen und der x-Achse die Fläche zwischen dem zweiten Graphen und der x-Achse abziehst.
Mit folgenden 3 Schritten kannst du die gesuchte Fläche berechnen:
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Bestimme die Schnittpunkte x1 und x2 der beiden Funktionen f(x) und g(x).
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Berechne die Differenz f(x) – g(x).
- Berechne das Integral der Differenz mit den beiden Schnittpunkten als Integralgrenzen:
Wichtig: Damit du bei der Differenz nicht auf die Reihenfolge der Funktionen achten musst, berechnest du den Betrag des Integrals. So wird dein Ergebnis immer positiv.
Fläche zwischen Graphen — Beispiel
Probiere die Schritt-für-Schritt-Anleitung gleich an einem Beispiel aus: Berechne die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = 0,5x + 2 und g(x) = -x2 + x + 5.
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Berechne die Schnittpunkte von f(x) und g(x):
Dafür setzt du als Erstes die beiden Funktionen gleich. Dann stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite eine Null steht:
Als nächstes benutzt du die Mitternachtsformel . Dafür bestimmst du a, b und c und setzte sie ein: a = 1, b = -0,5, c = -3
![\[x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-0,5)\pm\sqrt{(-0,5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{0,5\pm\sqrt{0,25+12}}{2} = \frac{0,5\pm\sqrt{12,25}}{2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e67be65c3acdb17c05581235b6bd72f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
x1 = -1,5 und x2 = 2
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Bilde die Differenzfunktion von f(x) und g(x):
f(x) – g(x) = 0,5x + 2 – [-x2 + x + 5] = 0,5x + 2 + x2 – x – 5 = x2 – 0,5x – 3
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Setze x1 und x2 und die Differenz f(x) – g(x) in folgende Formel ein und integriere
sie:
![\[A = \left| \int_{\textcolor{olive}{x_1}}^{\textcolor{olive}{x_2}} \textcolor{orange}{f(x) - g(x)} \: dx \right| \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc363d7ae534fd8205ab6ef39bf12b9b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A = \left| \int_{\textcolor{olive}{-1,5}}^{\textcolor{olive}{2}} \textcolor{orange}{x^2 - 0,5x - 3} \: dx \right| \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0df6356a1a9499682c41884c300b8f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A = \left| \left[ \frac{1}{3} \cdot x^3 - \frac{1}{4} \cdot x^2 - 3x \right]_{\textcolor{olive}{-1,5}}^{\textcolor{olive}{2}} \right| \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bccffd1c6db6964ce2ae28d582f5e8fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A = \left| \left[ \frac{1}{3} \cdot \textcolor{olive}{2}^3 - \frac{1}{4} \cdot \textcolor{olive}{2}^2 - 3 \cdot \textcolor{olive}{2} \right] - \left[\frac{1}{3} \cdot (\textcolor{olive}{-1,5})^3 - \frac{1}{4} \cdot (\textcolor{olive}{-1,5})^2 - 3 \cdot (\textcolor{olive}{-1,5}) \right] \right| \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f70752cd47e94dfc7749e370b9caecb6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A = \left| - \frac{13}{3} - 2,8125 \right| = \left| -7,14333 ... \right | \approx 7,14 FE \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f318e38f8a3d7fa124a32802c168345a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen f(x) und g(x) ist gerundet A = 7,14 FE.
Fläche zwischen zwei Graphen — häufigste Fragen
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Wie berechne ich die Fläche zwischen zwei Graphen?
Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnest du, indem du die Differenzfunktion f(x) – g(x) im Intervall der Schnittpunkte der beiden Funktionen integrierst.
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Welche Fläche berechnet ein Integral?
Mit einem Integral berechnest du die Fläche zwischen einem Funktionsgraph und der x-Achse. Die Integrationsgrenzen sind dabei die Werte auf der x-Achse, die die Fläche begrenzen.
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Wie bildet man eine Differenzfunktion?
Eine Differenzfunktion f(x) – g(x) bildest du, indem du beide Funktionsterme voneinander abziehst. Die Differenzfunktion brauchst du zum Beispiel, um die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen zu berechnen.
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Prima! Du hast die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet. Willst du das Thema bestimmtes und unbestimmtes Integral noch einmal wiederholen? Dann schau direkt im Video dazu vorbei!
