3. binomische Formel
In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du mit der 3. binomischen Formel rechnen kannst und woher sie eigentlich kommt. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video zum Thema an!
Inhaltsübersicht
3. binomische Formel einfach erklärt
Mit der 3. binomischen Formel kannst du zwei Klammern multiplizieren, bei denen in einer Klammer ein Pluszeichen und in der anderen ein Minuszeichen steht.
3. binomische Formel: (a + b) • (a – b) = a² – b²
- Herleitung: (a + b) • (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a² – b²
- Beispiel: (x + 2) (x – 2) = x² – 4
Wichtig ist, dass in der Klammer immer unterschiedliche Vorzeichen, also ein Plus und ein Minus, stehen. Die Zahlen oder Variablen sind dabei in beiden Klammern gleich.
Hinweis: Es gibt noch mehr binomische Formeln .
3. binomische Formel: Ausmultiplizieren
Schau dir gleich mal einige Beispiele an, bei denen du die 3. binomische Formel verwenden kannst.
Erstmal kannst du die Formel sozusagen von links nach rechts anwenden. Damit löst du die Klammern auf. Dieser Vorgang heißt Ausmultiplizieren.
Beispiel 1
Hier kannst du die linke Seite mit der Formel schnell ausmultiplizieren.
(2 + b) (2 – b) = 2² – b²
= 4 – b²
Achtung! Achte auf das richtige Rechenzeichen in deinem Ergebnis. Bei der dritten binomischen Formel kommt immer a2 – b2 heraus und nicht a2 + b2!
Beispiel 2
In diesem Beispiel wird ein Produkt aus Zahl und Variable eingesetzt.
(2x + 1) (2x – 1) = (2x)² – 1²
= 4x² – 1
Tipp! Um die 3. binomische Formel korrekt anzuwenden, rechnest du das ganze Paket (2x) ins Quadrat und kommst so auf 4x².
Beispiel 3
Die dritte binomische Formel kannst du auch anwenden, wenn Brüche in den Klammern vorkommen.
Tipp! Enthalten binomische Formeln Brüche, dann achte einfach darauf, dass du Zähler und Nenner hoch Zwei rechnen musst.
Beispiel 4
Manchmal sind die beiden Klammern vertauscht.
(y – 3) (y + 3) = (y + 3) (y – 3)
= y² – 9
In welcher Reihenfolge die Klammern stehen, ist egal. Wichtig ist nur, dass in beiden Klammern die zwei gleichen Ausdrücke eingesetzt werden und diese einmal durch ein Plus und einmal durch ein Minus verbunden sind.
Beispiel 5
Es kann auch sein, dass vor deiner ersten Variable ein Minus steht. Dann kannst du genauso vorgehen wie sonst. Achte aber darauf, dann du die Variable mit dem Minus beim Quadrieren einklammerst:
(- x – 0,5) (- x + 0,5) = (-x)2 – 0,52
= x2 – 0,25
Tipp: Beachte, dass Minus mal Minus ein Plus ergibt. Deshalb ist (-x)2 = (-x) • (-x) = x2 .
Die dritte binomische Formel brauchst du, wenn du zwei Binome miteinander multiplizieren willst: (a + b) · (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 .
3. binomische Formel: Faktorisieren
Es gibt aber auch die Möglichkeit mit der 3. binomischen Formel von der rechten Seite der Formel a2 – b2 zur linken (a+b)(a-b) zu kommen.
Beispiel 1
Die Formel hilft dir beim Faktorisieren.
4 – b² = (2 + b) (2 – b)
Wenn du die gängigsten Quadratzahlen im Kopf hast, kannst du schnell solche Möglichkeiten erkennen.
Beispiel 2
Das funktioniert auch bei einem Produkt aus Zahl und Variable.
16x² – 4y² = (4x)² – (2y)² = (4x + 2y) (4x – 2y)
Tipp! Die sichtbaren Quadrate an den Variablen können dir einen ersten Hinweis geben. So kannst du das Muster der 3. binomischen Formel erkennen.
Beispiel 3
Auch hier können wieder Brüche vorkommen.
Tipp! Behalte dabei im Kopf, dass bei Brüchen sowohl die Zahl oben als auch die Zahl unten hoch Zwei gerechnet wird.
3. binomische Formel Anwendung
Die 3te binomische Formel kannst du auch bei großen Malrechnungen verwenden, zum Beispiel bei 44 • 36. Dafür gehst du so vor:
- Finde die Mitte der beiden Zahlen. Hier ist das 40, weil sowohl 36 als auch 44 jeweils 4 Zahlen von der 40 entfernt sind:
36 37 38 39 40 41 42 43 44
- Bilde eine binomische Formel. Dafür schreibst du die 44 als 40 + 4 und die 36 als 40 – 4.
44 • 36 = (40 + 4) • (40 – 4)
= 402 – 42 = 1600 – 16
= 1584
3. binomische Formel Herleitung
Eigentlich ist die dritte binomische Formel nur eine Abkürzung. Du kannst durch schrittweises Ausmultiplizieren zum gleichen Ergebnis kommen.
(a + b) (a – b) = a · a + a · (-b) + b · a + b · (-b)
= a² – ab + ab – b²
= a² – b²
Dabei musst du besonders bei den Vorzeichen aufpassen. Die gemischten Terme kürzen sich gerade weg, sodass nur die quadratischen Teile übrig bleiben.
3. binomische Formel Aufgaben
Forme die Terme mit der 3. binomischen Formel um.
a) (5c + 3) (5c – 3)
b) (-y + 2) (2 + y)
c) 9 – 16a²
Lösungen
a) Diese Aufgabe kannst du mit der 3. binomischen Formel schnell ausmultiplizieren.
(5c + 3) (5c – 3) = 25c² – 9
b) Hier musst du die erste Klammer etwas umstellen und die beiden Klammern vertauschen, um die 3. binomische Formel zu erkennen.
(-y + 2) (2 + y) = (2 – y) (2 + y)
= 4 – y²
c) Dieser Term sieht so ähnlich aus wie die rechte Seite der 3. binomischen Formel. Du kannst ihn also faktorisieren.
9 – 16a² = 3² – (4a)²
= (3 + 4a) (3 – 4a)
3 binomische Formeln Aufgaben
Jetzt weißt du alles über die dritte binomische Formel. Vielleicht kennst du auch schon die ersten beiden binomischen Formeln :
- 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- 2. binomische Formel : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Du hast alle 3 binomischen Formeln verstanden und möchtest jetzt noch mehr Aufgaben sehen? Kein Problem, wir haben ein Video für dich vorbereitet! Schau es dir gleich an!
