arcsin und arccos
Was ist der arcsin und was bedeutet arccos? Alles zum Arcus Sinus und Arcus Cosinus erfährst du in diesem Artikel und in unserem Video !
Inhaltsübersicht
arcsin / arccos einfach erklärt
Die Funktionen arcsin (Arcussinus) und arccos (Arcuscosinus) sind die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus .
Mit Arcussinus und Arcuscosinus kannst du aus einer Zahl einen Winkel berechnen. Mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus berechnest du dagegen aus einem Winkel eine Zahl:
Beispiel: sin(30°) = 0,5 → arcsin(0,5) = 30°
Die Zahl bezeichnest du auch als Verhältnis. Wenn du wissen willst, warum, schau hier vorbei!
arcsin / arccos Beispiel
Arcus Sinus und Arcus Cosinus verwendest du, um Gleichungen mit Sinus und Cosinus zu lösen. Dafür solltest du dir merken, dass sich der Arcussinus und der Sinus bzw. der Arcuscosinus und der Cosinus gegenseitig aufheben:
arcsin(sin(Winkel)) = Winkel
arccos(cos(Winkel)) = Winkel
Wende das gleich an einem Beispiel an. Du sollst folgende Gleichung nach x auflösen:
sin(α – 90°) = 0
- Schritt 1: Um den Sinus aufzulösen, nimmst du auf beiden Seiten den arcsin:
- Schritt 2: Forme nach α um:
- Schritt 3: Rechne arcsin(0) mit dem Taschenrechner aus:
α = arcsin(0) + 90°
α = 0° + 90° = 90°
An deinem Taschenrechner hast du wahrscheinlich keine extra Taste für arcsin und arccos. Stattdessen findest du oft über der Taste für sin und cos die Aufschrift sin-1 und cos-1. Das ist das Gleiche wie Arcussinus und Arcuscosinus!
arcsin(x) und arccos(x): Definitionsbereich und Wertebereich
In die Funktionen Arcus sin und Arcus cos darfst du nicht alle Zahlen einsetzen.
- Die Zahlen, die als x-Werte erlaubt sind, nennst du Definitionsbereich .
- Alles, was beim Ergebnis als y-Wert herauskommen kann, bezeichnest du als Wertebereich .
Schau dir den Definitionsbereich und den Wertebereich für den Arcussinus und den Arcuscosinus einmal an:
| Definitionsbereich | Wertebereich | |
| Arcussinus | [-1, 1] | |
| Arcuscosinus | [-1, 1] | |
![\[[-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}]\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bd4002d562bacf28a5d68a053eedb6a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[[0,\, \pi]\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3fff2d522e2feefc6a84b33bef75d92_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Merke: Die geschlossenen Klammern , zum Beispiel bei [-1, 1], bedeuten, dass du alle Zahlen zwischen -1 und 1 einsetzen darfst, einschließlich der -1 und der 1.
Wie du siehst, gibst du den Wertebereich (also die y-Werte) nicht in Grad an (z. B. 30°), sondern in π
. Ein π
entspricht dabei 180°. 
ist die Hälfe von 180°, also 90°.
Damit du nicht immer den Taschenrechner verwenden musst, solltest du dir einige wichtige Werte der Umkehrfunktion von Sinus und Cosinus merken, wie zum Beispiel arccos(0) und arccos(1).
-
arcsin(-1) =
und arccos(-1) = 
-
arcsin(0) = 0 und arccos(0) =
-
arcsin(1) = und arccos(1) = 0
Arcussinus / Arcuscosinus: Ableitungen und Stammfunktion
Die Ableitung von arcsin und die Ableitung von arccos lernst du am besten auswendig:
![\[f(x) = \textcolor{red}{\arcsin(x)} \qquad \longrightarrow \qquad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a42998e8a664bcb9d842f200e1e9b8ca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(x) = \textcolor{blue}{\arccos(x)} \qquad \longrightarrow \qquad f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-134a806bdc629eff3a6f3e0489f1dd7a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Auch die Stammfunktion ist gar nicht so schwer:
![\[f(x) = \textcolor{red}{\arcsin(x)} \qquad \longrightarrow \qquad F(x) = x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2}} + C\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d798217f8aa458df51f57721fd73f251_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(x) = \textcolor{blue}{\arccos(x)} \qquad \longrightarrow \qquad F(x) = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2}} + C\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-290cd77b005a9fbe4c33a9ce189b088e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Expertenwissen: Eigenschaften
Schau dir noch einige weitere Eigenschaften der Umkehrfunktion von Cosinus und Sinus an:
| Arcussinus | Arcuscosinus | |
| Definitionsbereich | [-1, 1] | [-1, 1] |
| Wertebereich | |
|
| Monotonie | streng monoton wachsend | streng monoton fallend |
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) | punktsymmetrisch zu (0| ) |
| Asymptoten/Grenzwerte | arcsin(x) →  für x → ± 1 |
arccos(x) → 0 für x → 1 und arccos(x) → 1 für x → -1 |
| Nullstellen | (0|0) | (1|0) |
| Extrema | keine | keine |
| Wendepunkte | (0|0) | (0|) |
Expertenwissen: Reihenentwicklung
Du kannst arcsin(x) und arccos(x) auch als Reihe darstellen, also als unendlich lange Summe. Du erhältst:
Arcustangens
Jetzt weißt du alles über den Arcus Sinus und den Arcus Cosinus, die Umkehrfunktion von Sinus und Cosinus! Es gibt aber noch eine dritte Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion: den Arcustangens. Schau dir gleich unser Video dazu an!
