e Funktion
In diesem Artikel erklären wir dir alles Wichtige zur e Funktion, samt ihren Eigenschaften, Rechenregeln und vielen Beispielen. Eine tabellarische Zusammenfassung der wichtigsten Punkte findest du am Ende des Artikels.
Du willst direkt sehen, was es mit der e Funktion auf sich hat? Dann schau dir einfach unser Video an.
Inhaltsübersicht
e Funktion einfach erklärt
Die e Funktion ist eine Exponentialfunktion
zur Basis 
. Sie ist in der Mathematik so wichtig, dass sie auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet wird. Ihre Funktionsgleichung lautet
Achtung: Lass dich von dem e nicht verwirren! Dabei handelt es sich um eine ganz normale Zahl, ähnlich wie bei 
!
Die Zahl e
Die Basis e der natürlichen Exponentialfunktion ist in vielerlei Hinsicht besonders. Entdeckt wurde sie 1748 von dem bedeutenden Mathematiker Leonard Euler, als er versuchte, den Grenzwert einer unendlichen Reihe zu berechnen:
Die Fakultät 
berechnet man immer als 
. Beispielsweise ist 
, aufpassen musst du lediglich bei 
Merke: Die Zahl e hat unendlich viele Nachkommastellen, sie ist also keine rationale Zahl und du kannst sie nicht als Bruch darstellen.
Eigenschaften der e Funktion
Dass die e-Funktion so besonders ist, liegt an verschiedenen Eigenschaften und Merkmalen, die wir dir hier kurz und knapp zusammengefasst vorstellen. Du kannst sie leicht am obigen Funktionsgraphen überprüfen.
In vielen Fällen betrachtest du natürliche Exponentialfunktionen, die aus verketteten Funktionen bestehen. Sie sind dann beispielsweise im Koordinatensystem verschoben oder gestaucht. Diese Fälle behandeln wir exemplarisch unter jedem einzelnen Abschnitt.
Definitions- und Wertebereich
Die e Funktion ist – wie alle Exponentialfunktionen – für alle reellen Zahlen definiert. Sie nimmt jedoch nur positive Werte an.
Definitionsbereich
von 
: 
Wertebereich
von : 
Wenn du eine verkettete Exponentialfunktion betrachtest, also beispielsweise
,
musst du sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich natürlich anpassen. Da hier der Exponent eine Definitionslücke bei 
hat, ist auch 
Symmetrie
Der Graph der normalen Exponentialfunktion weist keinerlei Symmetrien auf, er ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch!
Anders sieht die Sache wieder bei den komplizierteren Exponentialfunktionen aus. Im obigen Bild siehst du sofort, dass dieser Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. In solchen Fällen musst du die Symmetrie explizit nachrechnen!
Achsensymmetrie: 
Punktsymmetrie: 
.
In obigem Beispiel ist achsensymmetrisch wegen
.
Monotonie
Die e-Funktion ist überall streng monoton steigend, das bedeutet für alle Werte 
ist immer auch 
.
Für schwierigere Funktionen trifft dies aber nicht automatisch zu. So ist beispielsweise die Funktion
nicht überall streng monoton steigend. Wie du ihre Maxima und Minima berechnest, erklären wir dir im Artikel zu den Ableitungen .
Grenzverhalten
Für das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs gilt:
Damit ist die x-Achse eine waagrechte Asymptote
von .
Merke: Ist die Exponentialfunktion 
durch den Parameter 
nach oben oder nach unten verschoben, ändert dies natürlich auch die Asymptote!
Merke: Die Exponentialfunktion steigt schneller als jede Polynomfunktion. Ihr Verhalten dominiert bei der Grenzwertbetrachtung! Oft musst du hier aber die Regeln von l’Hospital zur Bestimmung des Grenzwertes verwenden.
Das gilt auch für das nächste Beispiel:
Schnittpunkte mit den Achsen
Aufgrund des Grenzverhaltens und weil die x-Achse eine waagrechte Asymptote der e-Funktion ist, hat sie keine Nullstellen. Es gibt somit keinen Wert, für den 
erfüllt ist!
Dafür verläuft die e Funktion – wie alle Exponentialfunktionen der Form 
durch den Punkt 
, was der einzige Schnittpunkt mit der y-Achse ist
In obiger Grafik siehst du jedoch, dass beispielsweise die Funktion 
Nullstellen bei 
hat. Den Schnittpunkt mit der y-Achse
bei 
berechnest du auch hier, indem du einsetzt.
e-Funktion Rechenregeln
Wie bei allen Exponentialfunktionen gelten auch bei der e-Funktion bestimmte Rechenregeln, mit denen du die Terme gegebenenfalls vereinfachen kannst:
Umkehrfunktion der e Funktion
Du weißt bereits, dass die Umkehrfunktion
einer Exponentialfunktion die Logarithmus Funktion
ist. Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist somit auch eine Logarithmus-Funktion, sie wird als natürlicher Logarithmus
oder als 
bezeichnet.
Sprechweise: „l n x“
Graphisch entspricht die Umkehrfunktion immer einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden, weswegen du aus vielen Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion direkt auf die ln Funktion schließen kannst.
Du brauchst die ln Funktion immer dann, wenn du eine Gleichung berechnen willst, die eine Exponentialfunktion enthält. Ein typisches Beispiel dafür ist die Berechnung der Nullstellen von 
:
Ausführlich erklären wir dir die ln-Funktion aber in einem eigenen Video .
e Funktion ableiten
Wie du die e Funktion ableiten kannst, erklären wir dir ebenfalls ausführlich in einem eigenen Video . Da die natürliche Exponentialfunktion die einzige Funktion ist, deren Steigung immer gleich ihrem Funktionswert ist, ist ihre Ableitung immer wieder die Funktion selbst.
Für kompliziertere Ausdrücke benötigst du bei der Berechnung der Ableitung verschiedene Ableitungsregeln , wie beispielsweise hier die Kettenregel
.
Integration der e Funktion
Wenn die e Funktion ableiten so einfach ist, ist auch das uneigentliche Integral nicht schwer zu berechnen.
Für kompliziertere Ausdrücke kann es jedoch sein, dass du partiell integrieren oder substituieren musst.
e-Funktion zusammengefasst
Das Wichtigste zur e-Funktion siehst du hier:
Die e-Funktion hat die Gleichung f(x) = e^x (gesprochen: e hoch x). Ihre Basis ist die Eulersche Zahl e und ihr Exponent ist die Variable x. Die e-Funktion gehört zu den Exponentialfunktionen und wird auch natürliche Exponentialfunktion genannt.
Symmetrie: ist nicht symmetrisch
Monotonie:
ist streng monoton steigend
Asymptote:
hat eine waagrechte Asymptote bei 
y-Achsenabschnitt:
verläuft immer durch den Punkt
Umkehrfunktion:
, genannt ln Funktion
ln Funktion
Super! Nun weißt du alles Wichtige zur e Funktion. In einem weiteren Video erklären wir dir die ln Funktion und gehen noch einmal auf den Zusammenhang zwischen der e Funktion und der ln Funktion ein. Schau es dir unbedingt gleich an!
