Partielle Integration
Du möchtest die Partielle-Integration-Formel zum Integrieren von Produkten benutzen? Hier und im entsprechenden Video erklären wir dir alles Wichtige über die Integrationsregel „Partielle Integration“ mit Aufgaben und Beispielen.
Inhaltsübersicht
Partielle Integration einfach erklärt
Die partielle Integration (Produktintegration) brauchst du, wenn du ein Produkt von Funktionen integrieren möchtest. Die meisten Ableitungsregeln haben entsprechende Integrationsregeln. Was beim Ableiten die Produktregel ist, ist beim Integral die partielle Integration.
![\[\int \textcolor{red}{f(x)} \cdot \textcolor{blue}{g'(x)} \text{ dx} = \textcolor{red}{f(x)} \cdot \textcolor{blue}{g(x)} - \int \textcolor{red}{f'(x)} \cdot \textcolor{blue}{g(x)} \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-166de775363f0fcb2e0fa3b04cd7910b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beim partiellen Integrieren (engl. integration by parts) kannst du dir selber aussuchen, welchen Faktor du für f(x) einsetzt, also ableitest, und welchen du für g'(x) einsetzt, also integrierst. Das Ergebnis ist das gleiche.
Partielles Integrieren Merkhilfe
Die Wahl des richtigen Faktors für f(x) und g(x) kann aber die Rechnung für dich stark vereinfachen. Dabei hilft dir LIATE:
LIATE
L = logarithmische Funktionen (log, ln, lg, …)
I = inverse Winkelfunktionen (asin, acos, atan, …)
A = algebraische Funktionen (x2, 5x3, …)
T = trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, …)
E = Exponentialfunktionen (ex, 5ax, …)
Dein Ziel ist es immer, das Produkt, das du partiell integrieren willst, zu vereinfachen. Dazu setzt du den Faktor für f(x) ein, der in LIATE möglichst am Anfang kommt. Denn er vereinfacht sich durch Ableiten. Den Faktor, der in LIATE weiter hinten steht, setzt du in der Formel für partielle Integration für g'(x) ein. Denn er vereinfacht sich durch Integrieren.
Wenn du beispielsweise die Funktion 
integrieren möchtest, solltest du ln(x) für f(x) und 8x3 für g'(x) in die Formel einsetzen. Denn in LIATE steht ln(x) als Logarithmische Funktion über der Algebraischen Funktion 8x3.
Partielle Integration Aufgaben
Beispiel 1:
Integriere:
![\[\int \cos \cdot x \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd4fd90d08047ea23a068021810e3882_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Überlege dir zuerst, welcher Faktor f(x) und welcher g'(x) sein soll. In LIATE steht x als Algebraische Funktion über der Trigonometrischen Funktion cos(x). Also setzt du x für f(x) und cos(x) für g'(x) ein.
![\[\int \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1bb46a1ec23b4aea84b73032b8ffb388_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt berechnest du die Ableitung von f(x) = x und das Integral von g'(x) = cos(x).
![\[\textcolor{red}{f(x) = x} \Rightarrow \textcolor{red}{f'(x) = 1}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ba1df959a8981d0e5c65909c59f472c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\textcolor{blue}{g'(x) = \cos(x)} \Rightarrow \textcolor{blue}{g(x) = \sin(x)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83cd12d7c0ed6966d81d6b01c85777ee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das musst du nur noch in die Formel für partielle Integration einsetzen.
![\[\int \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\cos(x)} \text{ dx} = \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} - \int \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin(x)} \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12c209cebb9a32a773f4b8562528d076_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[= x \cdot \sin(x) - (-\cos(x))\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2498aa802f9a4e41838d5da0b23bd28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[= x \sin(x) + \cos(x) \; \textcolor{olive}{+ C}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4fb4e02fcc516ae98b64c44f4e8b910a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Manchmal musst du die partielle Integration auch mehrmals hintereinander ausführen. Wenn du dich an die Faustregel LIATE hältst, wirst du aber in der Regel schnell ans Ziel kommen.
Beispiel 2:
Integriere:
![\[\int e^x \cdot 2x \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fea9959a21ee3cbf23976e1c487b3f4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Welcher Faktor soll f(x) sein und welcher g'(x)? In LIATE steht 2x als Algebraische Funktion über der Exponentialfunktion ex. Also setzt du 2x für f(x) und ex für g'(x) ein.
![\[\int \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f23b05cb0459dffedc57bf0e800b3840_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt berechnest du die Ableitung von f(x) = 2x und das Integral von g'(x) = ex.
![\[\textcolor{red}{f(x) = 2x} \Rightarrow \textcolor{red}{f'(x) = 2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-703b22dc15d3c88c5350ccf697b6585d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\textcolor{blue}{g'(x) = e^x} \Rightarrow \textcolor{blue}{g(x) = e^x}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d17251fc9796d6c6598f0bb49a9f4894_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nach dem Einsetzen in die Formel für partielle Integration erhältst du:
![\[\int \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \text{ dx} = \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \text{ dx}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e76d16f2e14dd0d48f26e4ef75e8988e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[= 2x \cdot e^x - 2e^x\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff1ee87d827a46ff97b35eec56908e78_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[= (x - 1) \cdot 2e^x \; \textcolor{olive}{+ C}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f81e9c7bc73f83c9dce14bb304f62d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Integration durch Substitution
In deiner nächsten Prüfung wirst du aber bestimmt auch andere Integrationsregeln brauchen. Zum Beispiel die Integration durch Substitution . Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten. Schaue dir also gleich unser Video dazu an.
