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Stetigkeit

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was bedeutet Stetigkeit in Mathe?

Stetigkeit Beweis

Unstetige Funktionen

Die Stetigkeit von Funktionen spielt bei vielen Berechnungen eine Rolle! Hier erfährst du, welche Bedingungen stetige Funktionen erfüllen müssen und wie das Epsilon-Delta-Kriterium funktioniert!

Inhaltsübersicht

Was bedeutet Stetigkeit in Mathe?

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Bildlich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn du sie als eine einzelne Linie ohne Absetzen deines Stiftes zeichnen kannst. Mathematischer formuliert findest du die Stetigkeit von Funktionen, indem du den rechtsseitigen Grenzwert mit dem linksseitigen Grenzwert vergleichst.

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Stetigkeit zeigen

Um zu beweisen, dass eine Funktion an der Stelle x₀ stetig ist, musst du 3 Punkte nachweisen:

Die Funktion ist an der Stelle x₀ definiert: f(x₀) existiert.
Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind an der Stelle x₀ gleich: Der beidseitige Grenzwert $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ existiert.
Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert: $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$

Laut Definition der Stetigkeit gilt: Ist die Stetigkeit einer Funktion an jeder Stelle gegeben, handelt es sich um eine stetige Funktion.

Stetigkeit von Funktionen — Rechenregeln

Wenn du zwei stetige Funktionen g(x) und h(x) mit einer der folgenden Rechenoperationen kombinierst, ist auch ihre Kombination f(x) stetig:

Addition und Subtraktion erhalten die Stetigkeit einer Funktion: f(x) = g(x) + h(x) oder f(x) = g(x) – h(x).
Multiplikation erhält die Stetigkeit einer Funktion: f(x) = g(x) • h(x).
Division erhält die Stetigkeit einer Funktion: $f(x) = \nicefrac{g(x)}{h(x)}$ , wenn $h(x)\neq 0$ .
Verkettung erhält die Stetigkeit einer Funktion: f(x) = g(h(x)).

Stetige Funktionen

Manche Funktionen sind immer stetig. Dazu gehören: ganzrationale Funktionen , gebrochenrationale Funktionen , Wurzelfunktionen , trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen , Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen .

Stetigkeit Beweis

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Wann ist eine Funktion stetig? Wie du Stetigkeit zeigen kannst, siehst du an ein paar Beispielen!

1. Beispiel: Unstetige Funktion

Ist f(x) an der Stelle x₀=2 stetig?

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -1 & \text{für } x < 2\\ 0 & \text{für } x = 2 \\ 1 & \text{für } x > 2 \end{array} \right$

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1. Bedingung: Ist die Stelle x₀ Teil der Definitionsmenge?

f(x) ist für x = 2 definiert. Die Stelle x₀= 2 ist also Teil der Definitionsmenge. f(x) erfüllt an der Stelle x = 2 die erste Bedingung.

2. Bedingung: Besitzt f(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x₀?

Der beidseitige Grenzwert existiert, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert identisch sind. Bestimme also den rechtsseitigen Grenzwert, um die Stetigkeit zeigen zu können!

Weil du dich der Stelle 2 von größeren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, größer als 2. Deine Funktion ist für diese Zahlen also immer 1. Deshalb ist auch dein Grenzwert gleich 1.

$\lim_{x\rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2^+} 1 = \text{1}$

Analog rechnest du den linksseitigen Grenzwert aus: Weil du dich der Stelle 2 von kleineren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, kleiner als 2. Deine Funktion ist also für diese Zahlen immer -1. Dein Grenzwert ist deshalb gleich -1.

$\lim_{x\rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2^-} -1 = \text{-1}$

Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind unterschiedlich. Es existiert kein beidseitiger Grenzwert. f(x) erfüllt also nicht die zweite Bedingung: Sie ist an der Stelle x = 2 unstetig. Also haben wir eine unstetige Funktion.

2. Beispiel: Unstetige Funktion

Die Zuordnung f(x) ist die sogenannte Delta-Distribution. Untersuche ihre Stetigkeit an der Stelle x₀= 0.

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{für } x \neq 0 \\ 1 & \text{für } x = 0 \end{array} \right$

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1. Bedingung: Ist die Stelle x₀ Teil der Definitionsmenge?

f(x) ist für x = 0 definiert. 0 ist also Teil der Definitionsmenge. Die erste Bedingung wird von f(x) erfüllt.

2. Bedingung: Besitzt f(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x₀?

Der beidseitige Grenzwert existiert, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert identisch sind. Zuerst bestimmst du den rechtsseitigen Grenzwert. Weil du dich der Stelle x = 0 von größeren Zahlen nur näherst, sind alle Zahlen, die du in deine Funktion einsetzt, ungleich 0. Deine Funktion ist also f(x) = 0. Deshalb ist dein Grenzwert gleich 0.

$\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+} 0 =\tetx{0}$

Analog rechnest du den linksseitigen Grenzwert aus: Weil du dich der Stelle 0 von kleineren Zahlen nur nährst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, ungleich 0. Deine Funktion ist also wieder f(x) = 0. Dein Grenzwert ist deshalb gleich 0.

$\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^-} 0 = \text{0}$

Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind identisch. Es existiert ein beidseitiger Grenzwert mit dem Wert 0. Die zweite Bedingung ist also erfüllt.

$\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0$

3. Bedingung: Sind Grenzwert und Funktionswert an der Stelle x₀ gleich?

Wenn du x = 0 in die Funktion f(x) einsetzt, erhältst du den Funktionswert f(0) = 1. Dein beidseitiger Grenzwert ist allerdings gleich 0. Die dritte Bedingung ist nicht erfüllt. f(x) ist an der Stelle x = 0 also nicht stetig.

$\begin{align*} f(0) &\neq \lim_{x\rightarrow 0} f(x) \\ 1 &\neq 0 \end{align*}$

3. Beispiel: Stetige Funktion

Untersuche die Stetigkeit von Funktion g(x) an der Stelle x₀= -1!

$g(x) = x^2$

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1. Bedingung: Ist die Stelle x₀ Teil der Definitionsmenge?

g(x) ist eine ganzrationale Funktion. Deshalb gehören alle Zahlen, einschließlich x₀, zur Definitionsmenge. Die erste Bedingung, um Stetigkeit zu beweisen, ist erfüllt.

2. Bedingung: Besitzt g(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x₀?

Fange wieder mit dem rechtsseitigen Grenzwert an: Wenn du dich der Stelle x = -1 von größeren Zahlen näherst, geht die Parabel g(x) = x² gegen +1.

$\lim_{x\rightarrow -1^+} x^2 = 1$

Analog geht der linksseitige Limes gegen +1, wenn du dich der Stelle x = -1 von kleineren Zahlen näherst.

$\lim_{x\rightarrow -1^-} x^2 = 1$

Der rechts- und linksseitige Limes sind also identisch. Der beidseitige Grenzwert existiert also und hat den Wert 1. Die zweite Bedingung ist demnach erfüllt.

$\lim_{x\rightarrow -1} x^2 = 1$

3. Bedingung: Sind Grenzwert und Funktionswert an der Stelle x₀ gleich?

Wenn du x = -1 in die Funktion g(x) einsetzt, erhältst du den Funktionswert g(-1) = 1. Dein beidseitiger Grenzwert ist ebenfalls gleich 1. g(x) ist an der Stelle x = -1 also stetig.Tatsächlich handelt es sich bei der Funktion g(x) = x² um eine stetige Funktion.

$g(-1) = \lim_{x\rightarrow -1} g(x)$

Epsilon-Delta-Kriterium

Der strenge mathematische Beweis von Stetigkeit ist das $\epsilon$ – $\delta$ -Kriterium (Epsilon-Delta-Kriterium):

$\forall \epsilon > 0 \;\exists\; \delta > 0 \quad \forall x \in D: |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$

Ausgeschrieben heißt das: „Für jedes beliebig wählbare Epsilon größer als Null gibt es ein Delta größer als Null. Dann soll für alle x aus dem Definitionsbereich D deiner Funktion f folgende Aussage gelten: Wenn der Abstand zwischen x und x₀ kleiner als Delta ist, dann ist auch der Abstand zwischen f(x) und f(x₀) kleiner als Epsilon.“

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Aber was bedeutet das? Wenn du von zwei Punkten auf deiner stetigen Funktion den Abstand der x-Koordinaten ( $\delta$ ) verkleinerst, muss gleichzeitig der Abstand zwischen den y-Koordinaten ( $\epsilon$ ) kleiner werden.

Schau dir das am besten an einem Beispiel an. Ist die Funktion f(x)=x²+1 an der Stelle x₀=3 stetig?

Um das zu lösen, suchst du für ein beliebiges $\epsilon$ ein spezielles $\delta$ , sodass die Bedingung oben für alle x in dieser Deltaumgebung von x₀=3 erfüllt ist.

Sei $\epsilon > 0$ . Dann kannst du abschätzen:

$\begin{align*} |f(x)-f(x_0)| &=|f(x)-f(3)| \\ &= |x^2 + 1 - 3^2 - 1| \\ &= |x^2 -9| \\ &= | x-3 | \cdot |x+3| \; \; \text{dritte binomische Formel} \\ \end{align*}$

Dieses Produkt, das du mit der dritten binomischen Formel aufgestellt hast, kannst du jetzt mit $\delta$ abschätzen. Dieses $\delta$ hast du zu diesem Zeitpunkt aber noch nicht konkret bestimmt, du weißt nur, dass gilt: $| x-3 | < \delta$ .

$\begin{align*} \textcolor{blue}{| x-3 |} \cdot |x+3| &< \textcolor{blue}{\delta} \cdot |x+3| \\ &= \delta \cdot |x+3 \; \textcolor{red}{+3-3}| \\ &= \delta \cdot |x-3+6| \\ \end{align*}$

Ziehe die +6 aus den Betragsstrichen heraus, damit du wieder mit $\delta$ abschätzen kannst. Aber aufgepasst: Das ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine Dreiecksungleichung . Du musst also ein Kleiner-Gleich-Zeichen benutzen!

$\begin{align*} \delta \cdot |x-3+6| &\leq \delta \cdot \left( |x-3| +6 \right) \; \; \text{Dreiecksungleichung} \\ &< \delta \cdot (\delta + 6) \\ &= \delta^2 + 6\delta \end{align*}$

Jetzt weißt du also, dass ein $\delta$ dem Epsilon-Delta-Kriterium genügt und die folgende Bedingung erfüllt:

$\delta^2 + 6\delta = \epsilon$

Denn dann würde ja gelten:

$|f(x)-f(3)| < \delta^2 + 6\delta = \epsilon$

Allerdings hast du erst einen Ausdruck für $\epsilon(\delta)$ . Bilde als nächstes die Umkehrfunktion mit der pq-Formel , um $\delta(\epsilon)$ zu bestimmen.

$\begin{align*} \epsilon &= \delta^2 + 6\delta \qquad|\, -\epsilon\\ 0 &= \delta^2 + 6\delta -\epsilon \\ \delta_{1,2} &= -3 \pm \sqrt{9+\epsilon} \end{align*}$

Da $\delta > 0$ sein muss, setzt du also $\delta :=-3 + \sqrt{9+\epsilon}$ . Damit hast du ein passendes $\delta$ gefunden.

f(x)=x²+1 erfüllt an der Stelle x₀=3 also das Epsilon-Delta-Kriterium. f(x) ist damit an der Stelle x₀=3 stetig.

Unstetige Funktionen

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Schau dir abschließend noch 2 unstetige Funktionen an. Erinnere dich dafür an die Definition von Stetigkeit:

Stetigkeit Definition

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle x₀ stetig, wenn

1.) f(x_0) definiert ist

und die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

2.) $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)$ existiert und

3.) $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$

Eine unstetige Funktion, die Bedingung 2.) nicht erfüllt, ist f(x).

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 & \text{für } x\leq 1 \\ x+1 & \text{für } x > 1 \end{array} \right$

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Dagegen ist g(x) eine unstetige Funktion, die Bedingung 3.) nicht erfüllt.

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -x^2 +5 & \text{für } x\neq 2 \\ x & \text{für } x = 2 \end{array} \right$

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Stetigkeit — häufigste Fragen

Was sagt Stetigkeit aus?
Eine Funktion ist stetig, wenn du ihren Graphen im gesamten Defintionsbereich nahtlos zeichnen kannst. Das bedeutet, dass es keine Unterbrechnungen des Graphen gibt.
Was bedeutet stetig und unstetig?
Im mathemetischen Teilbereich der Analysis ist eine Funktion in ihrem Definitionsbereich dort unstetig, wo sie nicht stetig ist. So eine Stelle wird auch Unstetigkeit oder Unstetigkeitsstelle genannt.

Beidseitiger Grenzwert

Du hast jetzt zwei verschiedene Wege kennengelernt Unstetigkeiten zu finden. Am schnellsten ist dabei die Methode des beidseitigen Grenzwertes. Damit du den immer zuverlässig berechnen kannst, musst du dir unbedingt unser Video dazu anschauen!

Zum Video: Grenzwert

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