Kommutativgesetz

Was ist das Kommutativgesetz?

Das Kommutativgesetz besagt, dass du beim Plus- oder Malrechnen die Reihenfolge von Zahlen oder Termen vertauschen kannst, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

a + b = b + a
a · b = b · a

Dabei spielt es keine Rolle, wie viele Zahlen du multiplizieren oder addieren möchtest. Du darfst alle beliebig vertauschen.

Wichtig: Das Kommutativgesetz ist nur bei reinen Malrechnungen (Multiplikation) oder Plusrechnungen (Addition) erlaubt. Du darfst es also nicht anwenden, wenn du in deiner Rechnung Mal- und Pluszeichen gemischt findest (→ 2 · 5 + 3).

Das Kommutativgesetz im Alltag

Warum das Kommutativgesetz funktioniert, verstehst du auch an einem einfachen Beispiel aus dem Alltag.

Stell dir vor, du legst 2 Äpfel in eine Schüssel und dann noch 3 dazu. Das Ergebnis ist dasselbe, wenn du stattdessen zuerst 3 Äpfel hineinlegst und dann 2:

2 + 3 = 5
3 + 2 = 5

Ein weiteres Beispiel: Wenn eine Schokoladentafel 3 Reihen mit jeweils 4 Stückchen hat, sind es insgesamt 12 Stück. Drehst du die Tafel um 90 Grad, hat sie plötzlich 4 Reihen mit jeweils 3 Stückchen — aber es bleiben natürlich dieselben 12 Stück Schokolade.

3 · 4 = 12
4 · 3 = 12

So nutzt du das Kommutativgesetz bei Summen

Wenn du Zahlen addieren musst, hilft dir das Kommutativgesetz beim Kopfrechnen. Denn du kannst die einzelnen Summanden so umordnen, dass du sie leichter zusammenzählen kannst. Dafür suchst du am besten Paare, die zusammen eine runde Zahl ergeben — also eine Zahl wie 10, 20 oder 30.

➡️Beispiel: 6 + 3 + 14
14 und 6 ergibt 20. Also tauschst du um:
→ 14 + 6 + 3 = 20 + 3 = 23

Das funktioniert auch, wenn du ganz viele Zahlen addieren musst.

➡️Beispiel: 7 + 18 + 5 + 3 + 12 + 19
Zuerst suchst du Zahlen, die zusammen ein rundes Ergebnis haben:

• 7 + 3 = 10
• 18 + 12 = 30

Danach stellst du um:
7 + 3 + 18 + 12 + 5 + 19 =
10 + 30 + 24 =
40 + 24 = 64

So nutzt du das Kommutativgesetz bei Produkten

Auch beim Multiplizieren hilft dir das Kommutativgesetz. Damit kannst du die Faktoren so umordnen, dass ein leichtes Teilprodukt entsteht.

➡️Beispiel: 8 · 2 · 5
5 · 2 ergibt 10. Also tauschst du um
→ 5 · 2 · 8 = 10 · 8 = 80

Mit größeren Zahlen sieht das dann so aus:

➡️Beispiel: 25 · 9 · 4
4 · 25 ergibt 100. Rechne also:
→ 4 · 25 · 9 = 100 · 9 = 900

Warum kein Kommutativgesetz bei Division und Subtraktion?

Bei der Division und Subtraktion funktioniert das Kommutativgesetz nicht. Änderst du hier die Reihenfolge der Zahlen, kommt nämlich ein anderes Ergebnis raus.

Wenn du beispielsweise 4 Pizzastücke auf 2 Personen aufteilst, dann bekommt jeder 2. Bei nur 2 Pizzastücken und 4 Personen bekommt allerdings jeder nur ein halbes Stück.

➡️Beispiel
4 : 2 = 2
2 : 4 = 0,5

Auch beim Subtrahieren bekommst du bei einem Zahlendreher ein anderes Ergebnis. Wenn du von 6 Pizzastücken vier isst, bleiben 2 übrig. Wenn du allerdings nur 4 Pizzastücke insgesamt hast, dann kannst du gar nicht sechs davon essen. Die Zahl, die herauskommt, ist nämlich negativ.

➡️Beispiel
6 − 4 = 2
4 − 6 = −2

Gilt das Kommutativgesetz bei negativen Zahlen?

Das Kommutativgesetz gilt auch bei negativen Zahlen. Du musst dabei aber aufpassen, dass du die negativen Zahlen in Klammern setzt. Die Klammer zeigt dann, dass das Minus ein Vorzeichen ist.

➡️Beispiel: −5 + 15 + 8
Du möchtest die 15 nach vorn stellen. Dann musst du die −5 mit einer Klammer sichern:
→ 15 + (−5) + 8 = 10 + 8 = 18

Auch bei der Multiplikation arbeitest du mit Klammern.

➡️Beispiel: (−2) · 8 · (−5)
(−2) · (−5) ergibt 10. Also tauschst du um:
→ (−2) · (−5) · 8 = 10 · 8= 80

Gilt das Kommutativgesetz bei Brüchen?

Bei Brüchen gilt das Kommutativgesetz genauso. Das hilft dir, wenn du Brüche addieren möchtest. Denn dafür müssen die Nenner gleich sein. Mit dem Kommutativgesetz kannst du passende Brüche nebeneinander stellen und so leichter zusammenfassen.

➡️Beispiel:
Jeweils zwei Paare haben den gleichen Nenner. Du rechnest also:

Auch bei der Multiplikation kannst du Faktoren so umordnen, damit du leichter kürzen oder rechnen kannst.

➡️Beispiel:
und passen gut zusammen, weil du dabei Zähler und Nenner kürzen kannst:

Wie sortierst du Terme mit Variablen?

Das Kommutativgesetz hilft dir nicht nur mit Zahlen. Du kannst es genauso nutzen, wenn Terme Variablen enthalten — also Buchstaben wie a, b oder x.

In Summen kannst du gleichartige Teile (Summanden) nebeneinander stellen.

➡️Beispiel: 3a + 8ab + 12ab
Es gibt Summanden mit a und mit ab. Also fasst du sie direkt zusammen:
→ 8ab + 12ab + 3a = 20ab + 3a

In Produkten stellst du die reinen Zahlen nach vorn und gruppierst danach die Variablen.

➡️Beispiel: 2a · 5ab
Du ordnest zuerst die Zahlen, dann die Variablen:
→ (2 · 5) · (a · a · b) = 10a²b

Übungen zum Kommutativgesetz

Jetzt bist du dran. Hier sind fünf Aufgaben, mit denen du überprüfst, ob du das Kommutativgesetz sicher anwenden kannst.

Aufgabe 1:
17 + 8 + 13 + 22 + 5 = ?
Lösung:
→ (17 + 13) + (8 + 22) + 5 = 30 + 30 + 5 = 65

Aufgabe 2:
12 + (−4) + 8 = ?
Lösung:
→ (12 + 8) + (−4) = 20 + (−4) = 16

Aufgabe 3:
5 · 9 · 2 = ?
Lösung:
→ 5 · 2 · 9 = 10 · 9 = 90

Aufgabe 4:
(−3) · 4 · (−5) = ?
Lösung:
→ (−5) · 4 · (−3) = (−20) · (−3) = 60

Aufgabe 5:
2a · 3ab = ?
Lösung:
→ (2 · 3) · (a · a · b) = 6 · a²b = 6a²b

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass du bei der Addition und Multiplikation Klammern beliebig setzen darfst. 

Kombinierst du das mit dem Kommutativgesetz, hast du den ultimativen Trick zum Kopfrechnen.

➡️Beispiel: (25 · 9) · 4

Anstatt mühsam 25 · 9 zu berechnen und das dann mit 4 zu multiplizieren, tauschst du die Zahlen einfach durch das Kommutativgesetz und setzt die Klammern mit dem Assoziativgesetz neu.

➡️Beispiel: (25 · 4) · 9 

Alles Wichtige zum Assoziativgesetz erfährst du hier!