Integralfunktion
Wenn du wissen willst, was eine Integralfunktion ist und wie du sie berechnest, dann bist du hier und in unserem Video an der richtigen Stelle!
Inhaltsübersicht
Integralfunktion — einfach erklärt
Mit der Integralfunktion kannst du wie bei einem normalen Integral den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und einer Funktion f bestimmen.
![\[I_{\textcolor{olive}a}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}a}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{f(t)}\,dt \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-506738ad92b5206f71254e87b34a42e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wichtig bei der Funktion Ia(x) ist aber, dass dabei nur die untere Grenze a eine fest gewählte Zahl ist. Die obere Grenze x ist dagegen variabel.
Merke: Die Integralfunktion ist also kein fester Zahlenwert, sondern eine Funktion.
Stell dir einen Stausee vor. Aus diesem fließt über Zeit Wasser heraus. Die Flussrate ist dabei als Funktion f(t) angegeben. Wenn du wissen willst, wie viel Wasser insgesamt zwischen einem festen Zeitpunkt a und einem beliebigen Zeitpunkt x herausgeflossen ist, brauchst du nur die verscheiden x-Werte in die Integralfunktion einsetzen.
Integralfunktion berechnen
Du kannst eine Integralfunktion so berechnen, dass du am Ende eine ganz normale Funktion herausbekommst. Diese Funktion ist dann nur von x abhängig. Sieh dir dazu dieses Beispiel an:
![\[I_{\textcolor{olive}0}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}0}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{3t^2-8t}\,dt \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06053b7688efae0f76f1c3c1bb64470a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Schritt 1: Stammfunktion bestimmen
Zuerst bestimmst du eine Stammfunktion der inneren Funktion f(t) = 3t2-8t. Dafür musst du sie integrieren:
F(t) = t3-4t2
Schritt 2: Grenzen einsetzen
Jetzt musst du jeweils die untere Grenze des Integrals 0 und die obere Grenze x in die Stammfunktion einsetzen. Dann ziehst du die untere Grenze von der oberen ab:
![\[\begin{split}I_{\textcolor{olive}0}(x) & = \left[ t^3-4t^2\right]^{\textcolor{red}x}_{\textcolor{olive}0} \\&= \textcolor{red}x^3-4\textcolor{red}x^2-(\textcolor{olive}0^3-2(\textcolor{olive}0)^2) \\ & = x^3-4x^2\end{split}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd04e81d91bcca0b92446b659aa642e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Damit hast du nun eine normale Funktion berechnet. Mit dieser Darstellung kannst du jetzt etwas einfacher die Funktionswerte ausrechnen. Denn so musst du nicht für jeden x-Wert ein Integral berechnen.
Eigenschaften von Integralfunktionen
Die Integralfunktion 
hat ein paar besondere Eigenschaften:
- Die Ableitung von Ia ist immer die innere Funktion in dem Integral. Es ist also I‘a(x) = f(x). Hier musst du nur das t durch ein x ersetzen.
- Damit ist Ia(x) immer eine Stammfunktion
der Funktion f(x).
- Für eine Stammfunktion F von f gilt Ia(x) = F(x) – F(a).
- Die untere Grenze des Integrals a ist immer eine Nullstelle
von Ia. Hier ist also Ia(a) = 0.
Jede Integralfunktion einer Funktion f ist eine Stammfunktion von f. Das sagt dir der sogenannte Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI).
Aber nicht jede Stammfunktion von f ist auch eine Integralfunktion.
Integralfunktion — häufigste Fragen
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Was ist eine Integralfunktion?
Eine Integralfunktion gibt den orientierten Flächeninhalt zwischen einer Funktion f und der x-Achse von einer fest gewählten Zahl a bis zu einer Variable x an. Integralfunktionen sind beispielsweise nützlich, wenn du den Bestand bei einer gegebenen Änderungsrate berechnen möchtest.
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Wie berechnet man eine Integralfunktion?
Du berechnest eine Integralfunktion, indem du zuerst die Stammfunktion bildest. Dann setzt du die beiden Grenzen darin ein und rechnest die obere minus die untere Grenze.
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Ist eine Integralfunktion eine Stammfunktion?
Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist jede Integralfunktion einer Funktion f auch eine Stammfunktion von f. Umgekehrt gilt das nicht, da nicht jede Stammfunktion von f eine Nullstelle haben muss.
Integrationsregeln
Wenn du die Stammfunktion einer Integralfunktion berechnen möchtest, musst du die Integrationsregeln beachten. Welche das sind, erfährst du hier .
