Logarithmus auflösen
Du willst x im Logarithmus auflösen, aber weißt nicht wie? Das lernst du in diesem Artikel und unserem Video !
Inhaltsübersicht
Logarithmus auflösen einfach erklärt
Hast du eine Logarithmusgleichung mit x als Unbekannte, dann musst du den Logarithmus auflösen. Zum Beispiel hier:
logx(16) = 2
Schau dir davor nochmal an, wie ein Logarithmus aufgebaut ist:
Der Logarithmus besteht aus der Basis a und dem Logarithmanden b. Sie ergeben den Exponenten n. Mit dem Logarithmus findest du heraus, mit welcher Zahl du a hoch nehmen musst, um b zu erhalten.
Den Logarithmus kannst du also in eine Potenz umwandeln. Dann erhältst du Basis a hoch Exponent n ist gleich Logarithmand b. Durch die Umwandlung in eine Potenz ist es viel einfacher, den Logarithmus nach x aufzulösen.
Logarithmus auflösen mit x in der Basis
Schau dir zuerst an, wie du x in der Basis des Logarithmus löst.
logx(16) = 2
Um den Logarithmus nach x aufzulösen, wandelst du die Gleichung in eine Potenz um. Dazu schreibst du die Basis x hoch den Exponenten 2 auf. Das ergibt den Logarithmanden 16.
Jetzt kannst du die Wurzel ziehen und du hast x aufgelöst!
x = 4
- den Logarithmus in eine Potenz umwandeln
- die Wurzel ziehen
Logarithmus auflösen mit x im Logarithmanden
Im nächsten Fall befindet sich die Unbekannte x im Logarithmanden.
log4(x +3) = 2
Auch hier wandelst du die Rechnung zuerst in eine Potenz um. Dazu schreibst du die Basis 4 hoch 2. Das ergibt den Logarithmanden x + 3.
Den Rest kannst du durch eine Äquivalenzumformung lösen. Du bringst das x alleine auf eine Seite, indem du minus 3 rechnest.
16 = x+3 | – 3
Und schon hast du die Gleichung nach x aufgelöst!
13 = x
- den Logarithmus in eine Potenz umwandeln
- x durch Äquivalenzumformungen berechnen
Logarithmus auflösen mit x im Exponent im Logarithmus
Hier befindet sich x im Exponenten vom Logarithmanden.
log2(43⋅x) = 8
Du kannst auch diese Art von Logarithmusgleichung durch Umwandeln in eine Potenz auflösen. Deutlich einfacher ist es jedoch, wenn du stattdessen die Potenzregel vom 3. Logarithmusgesetz anwendest.
Der Logarithmus einer Potenz ist das Gleiche wie der Exponent mal den Logarithmus. Du ziehst den Exponenten aus der Klammer also nach vorne.
loga(xy) = y ⋅ loga(x)
Nutze das 3. Logarithmusgesetz, um deine Formel in eine einfachere Form umzuschreiben. Dafür ziehst du den Exponenten vom Logarithmanden, also 3x, vor den Logarithmus und multiplizierst sie miteinander.
Stell deine Gleichung nun nach x um. Dazu teilst du durch den Logarithmus.
Der Logarithmus beantwortet immer die Frage „Welche Zahl muss ich in den Exponenten schreiben, damit meine Basis den Logarithmanden ergibt?“. In diesem Fall also 2 hoch was ergibt 4? Die Antwort ist 2! Also kannst du für 
einfach 2 schreiben, wodurch die Gleichung deutlich übersichtlicher wird. Dann kannst du durch 3 teilen.
Mit der Potenzregel kannst du x selbst im Exponenten vom Logarithmanden ganz einfach lösen!
- das 3. Logarithmusgesetz anwenden
- x durch Äquivalenzumformung isolieren
Logarithmus auflösen mit mehreren Logarithmen
Logarithmusgleichungen können auch aus mehreren Logarithmen bestehen. Dadurch kann das x häufiger in der Gleichung vorkommen.
lg (x+4) + lg(x) = 2
Hier siehst du den dekadischen Logarithmus lg. Er hat immer die Basis 10. Du kannst also auch 
schreiben.
Wie kannst du das x nun im log auflösen? Dafür machst du dir ein weiteres Logarithmusgesetz zunutze. Das 1. Logarithmusgesetz.
Haben deine Logarithmen dieselbe Basis, nimmst du die Logarithmanden mal.
loga(x) + loga(y) = loga(x⋅ y)
Wendest du das 1. Logarithmusgesetz an, bringst du deine Unbekannte x also von zwei Logarithmen in einem Logarithmus unter.
Als Nächstes wandelst du deinen Logarithmus in eine Potenz um, wie schon in den Beispielen zuvor. Da lg die Basis 10 hat, erhältst du 10 hoch 2.
Nun vereinfachst du die Gleichung so weit es geht.
Du erhältst eine quadratische Gleichung , welche du mit der pq-Formel lösen kannst!
Für eine Gleichung, die wie x² + p ⋅ x + q = 0 aufgebaut ist, gilt:
![\[x_{1, 2} = - \frac{\textcolor{red}{p}}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{teal}{q}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-889de5aca40fa9025cf0793d06ae637e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rechne deine Gleichung anhand der p-q-Formel aus.
x1 = 8,2 x2 = -12,2
Und schon kannst du x auch bei mehreren Logarithmen aus dem log auflösen!
- das 1. Logarithmusgesetz anwenden
- den Logarithmus in eine Potenz umwandeln
- pq-Formel anwenden
Logarithmusgesetze
Möchtest du wissen, welche Logarithmusgesetze es noch gibt? Dann schau sie dir in diesem Video an!
