Mathematische Grundlagen
Rechenregeln
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In diesem Beitrag zeigen wir Dir was es mit der Punkt-vor-Strich-Regel auf sich hat und wie die Klammerrechnung funktioniert. Keine Lust, zu lesen? Dann schau dir einfach unser Video dazu an!

Punkt-vor-Strich einfach erklärt

Du fragst dich: Wie rechnet man Punkt-vor-Strich? Die Punkt-vor-Strich-Regel besagt, dass du immer erst Multiplikation ( ) und Division ( : ) rechnen musst, bevor du Addition ( + ) und Subtraktion ( ) angehst. 

Es gilt immer: Punktrechnung geht vor Strichrechnung!

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Punkt-vor-Strich-Regel

Die Punkt-vor-Strichrechnung hilft dir, deine Aufgaben immer in der richtigen Reihenfolge auszurechnen. Häufig ist das sehr wichtig, um die richtige Lösung zu finden.

Punkt-vor-Strichrechnung

Die Punkt-vor-Strichrechnung ist besonders wichtig, wenn die Aufgaben schwieriger werden. Folgendes Beispiel zeigt dir, warum du auf Punkt-vor-Strich achten musst:

Beispiel: Wie komme ich auf 5 + 4 \cdot 3 = 17?

  • Als erstes multiplizierst du: 4 \cdot 3 = 12.
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1. Schritt: Mal rechnen
  • Als zweites addierst du: 5 + 12 = 17.
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2. Schritt: Plus rechnen
  • Vergisst du die Punkt-vor-Strich-Regel, erhältst du auch ein falsches Ergebnis!
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Falsches Ergebnis ohne Punkt-vor-Strich

Wenn du dir noch unsicher bist, schau dir unser Video und die Beispiele im nächsten Abschnitt an!

Punktrechnung vor Strichrechnung

Addition (Plus-Zeichen) und Subtraktion (Minus-Zeichen) heißen Strichrechnung.

Multiplikation (Mal-Zeichen) und Division (Geteilt-Zeichen) heißen Punktrechnung.

Es gilt immer: Punktrechnung geht vor Strichrechnung!

Punkt-vor-Strich Beispiele

Du musst Strichrechnung (Addition, Subtraktion) und Punktrechnung (Multiplikation, Division) auseinander halten. Fange immer mit den Punktrechnungen an und rechne sie von links nach rechts aus. Danach kümmerst du dich um alle Strichrechnungen und rechnest auch diese von links nach rechts aus. Wie gesagt: Punkt- vor Strichrechnung! Probiere es gleich mit diesen Beispielen aus:

Beispiel 1: Hier rechnest du zuerst die Multiplikation und dann die Addition.

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Beispiel: Punkt-vor-Strich-Regel

Beispiel 2: In diesem Beispiel fängst du mit der Division an und subtrahierst danach die 2.

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Beispiel: Punkt-vor-Strich-Regel

Beispiel 3: Fange mit der Division an und mache mit der Multiplikation weiter. Zum Schluss subtrahierst du die 4 von der 6.

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Beispiel: Punkt-vor-Strich-Regel

Beispiel 4: Hier multiplizierst und dividierst du zuerst. Ganz zum Schluss addierst du.

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Beispiel: Punkt-vor-Strich-Regel

Die ersten drei Aufgaben ähneln unseren bisherigen Beispielen. In die letzten beiden Aufgaben haben wir zwei Multiplikationen. Diese Aufgaben kannst du aber wie die restlichen mit der Punkt-vor-Strich-Regel lösen: Rechne zuerst alle Multiplikationen (mal) und Divisionen (geteilt) nacheinander aus und danach die Additionen (plus) und Subtraktionen (minus).

Klammer-vor-Punkt-vor-Strich

Punkt- vor Strichrechnung hast du jetzt verstanden. Aber was machst du, wenn du zuerst addieren und danach teilen willst? Dafür gibt es die Klammerrechnung%SCHLÜSSELWORT. Du schreibst das, was du zuerst berechnen möchtest zwischen Klammern. Du kannst deine Regel also so erweitern: Klammer vor Punkt vor Stich.

Beispiel: Warum ist (4 + 6) : 2 = 5?

  • Zuerst rechnest du die Klammer aus: (4+6) = 10.
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1. Schritt: Klammern berechnen
  • Nachdem die Klammer ausgerechnet ist, machst du normal weiter: 10 : 2 = 5.
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2. Schritt: Mal rechnen
  • Ohne Klammern würdest du so rechnen: 4 + \textcolor{blue}{6  : 2} =  \textcolor{orange}{4 + 3}  = 7. %das gefällt mir gut :)%Danke schön. %Gefällt mir auch gut ;) 

In der Klammer benutzt du wie gewohnt deine Punkt-vor-Strich-Regel Halte dich an folgenden Reihenfolge:

Klammer-vor-Punkt-vor-Strich
  • Zuerst rechnest Du Klammern aus.

  • Danach rechnest Du Multiplikation (mal) und Division (geteilt) aus.

  • Zuletzt kommt die Addition (plus) und Subtraktion (minus) dran. 

Diese Beispiele helfen dir die Klammerrechnung%SCHLÜSSELWORT zu verstehen:

Beispiel 1: Beginne mit der Klammer und multipliziere danach.

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Beispiel: Klammer vor Punkt vor Strich

Beispiel 2: Beginne wieder in der Klammer und halte dich an die Punkt-vor-Strich-Regel.

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Beispiel: Klammer vor Punkt vor Strich

Beipiel 3: Zuerst rechnest du die Klammer aus. Kümmer dich um die Addition zuletzt!

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Beispiel: Klammer vor Punkt vor Strich

Beispiel 4: Denk daran: Klammer vor Punkt vor Strich!

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Beispiel: Klammer vor Punkt vor Strich

Klammerrechnung mit mehreren Klammern

Wenn du über eine Aufgabe mit vielen Klammern stolpern solltest, lass dich nicht aus der Ruhe bringen! Halte dich einfach an Klammer-vor-Punkt-vor-Strich und arbeite dich von innen nach außen. Folgendes Beispiel zeigt dir, wie es geht.

Beispiel: Warum ist ( ( 4 + 3) \cdot 2 - 4 ) : 2 = 5?

  • Du fängst mit der innersten Klammer an und rechnest (4+3)=7.
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1. Schritt: Innere Klammer rechnen
  • Danach kümmerst du dich um die nächste Klammer: [7 \cdot 2 -4] = [14 - 4] = 10.
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2. Schritt: Punkt vor Strich in der Klammer
  • Zuletzt rechnest du 10:2 = 5.
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3. Schritt: Geteilt rechnen
  • Egal wie viele Klammern es gibt, rechne eine nach der anderen von innen nach außen! Häufig siehst du auch eckige [  ] oder geschweifte Klammern { }. Die dienen nur der Lesbarkeit; behandele sie wie normale Klammern auch.
Klammerrechnung von außen nach innen

Rechne Klammern immer zuerst aus. Fange bei der innersten Klammer an und arbeite Dich von innen nach außen!

Schau dir am Besten diese Beispiele und unser Video an, damit Deine nächste Schulaufgabe läuft!

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Beispiel: Innere Klammer vor äußere Klammer

 

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Beispiel: Klammerrechnung

Punkt- vor Strichrechnung einfache Aufgaben

Damit bei deiner Schulaufgabe alles klappt, haben wir dir ein paar Übungsaufgaben zusammengestellt.

    \[ \begin{array}{r ccc l} \textbf{Aufgabe:} & 5 &+& 2 \cdot 3 &= \;? \\[1ex] \textbf{Lösung:} & 5 &+& 2 \cdot 3 &= \\ & 5 &+& 5 &= 10 \\[2ex] % \textbf{Aufgabe:} &  20 & - &20 : 5 &= \; ? \\[1ex] \textbf{Lösung:}  & 20 &-& 20 : 5 &= \\ & 20 &-& 4 &= 16 \\[2ex] % \textbf{Aufgabe:} & 14 : 2  &-& 2  \cdot 3 &= \;? \\[1ex] \textbf{Lösung:} & 14 : 2  &-& 2 \cdot  3  &= \\ & 7 &-& 2 \cdot 3 &= \\ & 7 &-& 6 &= 1 \\[2ex] % \textbf{Aufgabe:} & 2 \cdot 4 &+& 18 : 9 &= \; ? \\[1ex] \textbf{Lösung:} &  2 \cdot 4 &+& 18 : 9  &= \\ & 8 &+& 18 : 9 &= \\ & 8 & +& 2 &= 10 \end{array} \]

Punkt- vor Strichrechnung fortgeschrittene Aufgaben

Da du jetzt die Punkt-vor-Strichrechnung auf dem Kasten hast, kannst du dich auch mal an etwas schwierigeren Aufgaben versuchen!

    \[ \begin{array}{r ccccc l} \textbf{Aufgabe:}&  \multicolumn{6}{l}{12 - 5 \cdot 4 : 2 =\;?} \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{6}{l}{ \text{Fange mit der Multiplikation an.} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& 12 &-& 5 \cdot 4 &:& 2 &= \\ & 12 &-& 20 &:& 2 &= \\ & 12 &-& & 10 & &= 2 \\[3ex] % \textbf{Aufgabe:}& \multicolumn{6}{l}{3 \cdot 3 - 9 : 3 \cdot 2 =\;?} \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:} & \multicolumn{6}{l} {\text{Rechne Punkt vor Strich und von links nach rechts!} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& 3 \cdot 3 & - & 9 : 3 &\cdot & 2 &= \\ & 9 & - & 9 : 3 &\cdot & 2 &= \\ & 9 & - & 3 & \cdot & 2 &= \\ & 9 & - &&  6  &&= 3 \\[3ex] % \textbf{Aufgabe:}& \multicolumn{6}{l}{13 \cdot ( 7 - 5 ) = \;?} \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{6}{l}{ \text{Klammer vor Punkt vor Strich!} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& 13 &\cdot& ( 7 - 5 ) &= \phantom{26} \\ &13 &\cdot& 2 &= 26 \\[3ex] % \textbf{Aufgabe:}& \multicolumn{6}{l}{ (16 - 4) : 3 \cdot 5 =\; ? } \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{6}{l}{ \text{Rechne von links nach rechts!} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& (16-4) &:& 3 &\cdot & 5 &= \\ & 12 &:& 3 &\cdot & 5 &= \\ & & 4 & & \cdot & 5 &= 20 \end{array} \]

Punkt- vor Strichrechnung schwere Aufgaben

Wenn du dich sicher fühlst, haben wir dir auch ein paar schwere Aufgaben vorbereitet. 

    \[ \begin{array}{r ccccccc l} \textbf{Aufgabe:}& \multicolumn{8}{l}{ ( 2 + 7) : (8-5) = \;? } \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{8}{l}{ \text{Rechne zuerst die Klammern eine nach der anderen aus.} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& ( 2 + 7) &:& (8-5) &= \phantom{3} \\ & 9 &:& (8-5) &= \phantom{3} \\ & 9 &:& 3 &= 3 \\[3ex] % \textbf{Aufgabe:}& \multicolumn{8}{l}{ (21 - 7) : (11 - 4) \cdot (3 + 8) = \;? } \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{8}{l}{ \text{Es gilt: Klammer vor Punkt vor Strich!} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& (21 - 7) &:& (11 - 4) &\cdot & (3 + 8) &= \phantom{22} \\ & 14 &:& 7 &\cdot & 11 &= \phantom{22} \\ & & 2 & &\cdot & 11 &= 22\\[3ex] % \textbf{Aufgabe:}& \multicolumn{8}{l}{ ( 2 \cdot (3 + 5)  - 4 ) : 4 = \; ? } \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{8}{l}{ \text{Rechne Deine Klammern von innen nach außen.} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& ( 2 &\cdot& (3 + 5)&  -& 4 )& :& 4 &= \\ & ( 2 &\cdot& 8 &  -& 4 )& :& 4 &= \\ & &( 16 & &  -& 4 )& :& 4 &= \\ & & & & 12 & & :& 4 &= 3 \\[3ex] % \textbf{Aufgabe:} & \multicolumn{8}{l}{ (2 + 3) \cdot [ 21 : (7-4) -4 ] = \; ? } \\[1.5ex] \textbf{Hinweis:}& \multicolumn{8}{l}{ \text{Alle Klammern nacheinander und von innen nach außen!} } \\[1.5ex] \textbf{Lösung:}& (2 + 3) & \cdot & [ 21 &:& (7-4)& -&4 ] &= \\ & 5 & \cdot & [ 21 &:& (7-4)& -&4 ] &= \\ & 5 & \cdot & [ 21 &:& 3 & -&4 ] &= \\ & 5 & \cdot & &[ 7&  & -&4 ] &= \\ & 5 & \cdot & & &  & 3 & &= 15 \end{array} \]

Terme vereinfachen

Die Punkt-vor-Strich-Regel brauchst du beispielsweise immer, wenn du Terme vereinfachen möchtest. Schau dir deshalb auch unbedingt noch unser Video dazu an – dann klappt auch sicher alles in der nächsten Prüfung!

Zum Video: Terme vereinfachen
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