Brüche kürzen

Brüche kürzen einfach erklärt

Schau dir an einem Beispiel an, was Brüche kürzen bedeutet: Links sind 3 von 6 Stücken blau, also des Kreises. Rechts ist aber nur 1 von 2 Stücken farbig, also . Trotzdem ist in beiden Kreisen der gleiche Anteil blau markiert. 

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Wenn du zu umformst, nennst du das Kürzen. Dabei ändern sich die Zahlen im Zähler und Nenner deines Bruchs, aber der Anteil am gesamten Kreis bleibt gleich.

Wie du beim Kürzen genau vorgehst, erfährst du jetzt!

Kürzen von Brüchen

Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilst. Im Beispiel ist das die Zahl 3. Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht. 

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Bruch kürzen

Wie gehst du beim Kürzen von Brüchen vor? Schauen wir uns das anhand von zwei Beispielen an.

Beispiel 1: Wie kürzt du den Bruch mit 2?

Dazu teilst du Zähler und Nenner durch 2. Das heißt, du rechnest im Zähler 6 : 2 = 3. Anschließend rechnest du im Nenner 8 : 2 = 4. 

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Beispiel 2: Versuche jetzt einmal den Bruch mit 9 zu kürzen.

Auch hier teilst du wieder Zähler und Nenner durch die Kürzungszahl 9. Du rechnest also im Zähler 18 : 2 = 9 und im Nenner 27 : 9 = 3.

Kürzungszahl herausfinden

In der Regel musst du die Kürzungszahl selbst herausfinden. Oft musst du Brüche kürzen, um sie für die Addition und Subtraktion, auf einen Nenner zu bringen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Bringe die Brüche und auf einen Nenner.

Dazu schaust du dir zunächst die Nenner der Brüche an und überlegst dir, durch welche Zahl du teilen kannst, sodass beide Nenner gleich sind. Damit du Brüche vereinfachen kannst, müssen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilbar sein. Beim Teilen darf also kein Rest bleiben.

Den Bruch kannst du beispielsweise nicht mit 4 kürzen, weil 6 nicht durch 4 teilbar ist.

Wenn du den Nenner 12 durch 3 teilst, erhältst du 4. Da die 6 ebenfalls durch 3 teilbar ist, kannst du den Bruch mit 3 kürzen.

Achtung: Du darfst Brüche nie mit 0 kürzen!

Brüche vollständig kürzen

Wenn du Brüche vollständig kürzen sollst, musst du die Brüche so lange vereinfachen, bis nicht mehr weiter gekürzt werden kann. Dabei kann dir der größte gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner oder die Primfaktorzerlegung helfen.  

Kürzen von Brüchen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Damit ein Bruch nicht weiter gekürzt werden kann, musst du mit dem größten gemeinsamen Teiler kürzen.  Schauen wir uns dazu gleich ein Beispiel Schritt für Schritt an. 

Kürze den Bruch vollständig.

1. Notiere dir jeweils alle Teiler von Zähler und Nenner: Auf die Zahlen kommst du, indem du sie im Kopf, beginnend bei 1 durchgehst.

Teiler von 28: {1, 2, 4, 7, 14}

Teiler von 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

2. Suche den größten gemeinsamen Teiler: Jetzt kannst du dir die größte Zahl raussuchen, die in beiden Aufzählungen vorkommt. Das ist die Zahl 4. Sie ist also der größte gemeinsame Teiler von 28 und 36. Du kürzt den Bruch daher mit 4.

Kürzen von Brüchen mit der Primfaktorzerlegung

Eine weitere Möglichkeit große Brüche vollständig zu kürzen, ist die Primfaktorzerlegung . Schauen wir uns direkt an einem Beispiel an, wie du dabei vorgehst.

Kürze den Bruch so weit wie möglich.

1. Zerlege den Zähler in Primfaktoren: Laut den Teilbarkeitsregeln, ist eine Zahl durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6, 8). Du kannst die 8 also durch 2 teilen und erhältst die Multiplikation 2 mal 4. Die 4 kannst du nun auch noch einmal zerlegen in . 

8 = 2 ⋅ 4

         = 2 ⋅ 2 ⋅ 2

2. Zerlege den Nenner in Primfaktoren: Die Zahl 18 kannst du auch mit 2 kürzen und erhältst 2 mal 9. 2 kann nicht weiter gekürzt werden. Die 9 kannst du mit 3 kürzen und erhältst die Multiplikation 3 mal 3.

18 = 2 ⋅ 9

            = 2 ⋅ 3 ⋅ 3

3. Streiche alle Zahlen, die im Zähler und im Nenner vorkommen: Die 2 steht hier oben und unten.

Achtung: Du kannst Brüche nur beim Multiplizieren kürzen. In Summen darfst du nichts rausstreichen, da sich sonst das Ergebnis verändern würde.

Brüche kürzen und erweitern

Beim Kürzen von Brüchen teilst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Im Gegensatz dazu multiplizierst du beim Erweitern beide mit der gleichen Zahl.

Hier siehst du, dass mit 2 erweitert wurde. Es kommt heraus. 

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Wenn du   jetzt wieder mit 2 kürzt, bist du wieder bei deinem ursprünglichen Bruch . Deshalb kannst du das Erweitern als Gegenteil, oder Umkehroperation, vom Kürzen bezeichnen. 

In unserem Beitrag zum Erweitern von Brüchen erfährst du, wie genau das funktioniert und wofür du es brauchst. Schau dir das Video dazu direkt an!