Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
 – Video

Beim Brüche vereinfachen durch Kürzen musst du ein paar Regeln beachten. Hier findest du zum Brüche kürzen eine einfache Erklärung mit vielen Beispielen. Im Video erklären wir dir anhand von vielen verschiedenen Beispielen, wie du Brüche kürzen kannst.

Wie kürzt man Brüche?

Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilst.

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Bruch kürzen

Stell dir dazu vor, eine Pizza wird in 6 Stücke geschnitten (\frac{6}{6}).  Jedes Pizzastück hat eine Größe von \frac{1}{6}. Deine Freundin Anna bekommt 3 Stücke, also \frac{3}{6}. Die anderen 3 Stücke bekommst du (\frac{3}{6}). Insgesamt hat jeder von euch eine halbe Pizza (\frac{1}{2}) bekommen. Es gilt also: \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

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Bruch kürzen

Wie du siehst, macht es keinen Unterschied, ob du 3 kleine oder ein großes Stück erhältst. Der Anteil, den du von der Pizza bekommst, bleibt gleich.

Brüche kürzen ist vor allem bei der Addition und Subtraktion wichtig, da die Brüche dazu den gleichen Nenner haben müssen. Du brauchst das Kürzen aber auch, um zum Beispiel Ergebnisse nach dem Multiplizieren zu vereinfachen.

Kürzen von Brüchen

Du kannst einen Bruch vereinfachen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilst. Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht. 

Bruch kürzen

Wie gehst du beim Kürzen von Brüchen vor? Schauen wir uns das anhand von zwei Beispielen an.

Beispiel 1: Wie kürzt du nun den Bruch \frac{6}{8} mit 2?

Dazu teilst du Zähler und Nenner durch 2. Das heißt du rechnest im Zähler 6 : 2 = 3. Anschließend rechnest du im Nenner 8 : 2 = 4. 

\frac{6\textcolor{teal}{\,:2}}{8\textcolor{teal}{\,:2}} = \frac{3}{4}

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Bruch kürzen

Beispiel 2: Versuche jetzt einmal den Bruch \frac{18}{27} mit 9 zu kürzen.

Auch hier teilst du wieder Zähler und Nenner durch die Kürzungszahl 9. Du rechnest also im Zähler 18 : 2 = 9 und im Nenner 27 : 9 = 3.

\frac{18}{27} = \frac{18\textcolor{teal}{\,:9}}{27\textcolor{teal}{\,:9}} = \frac{2}{3}

Kürzungszahl herausfinden

In der Regel musst du die Kürzungszahl selbst herausfinden. Oft musst du Brüche kürzen, um sie für die Addition und Subtraktion, auf einen Nenner zu bringen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Bringe die Brüche \frac{1}{4} und \frac{6}{12} auf einen Nenner.

Dazu schaust du dir zunächst die Nenner der Brüche an und überlegst dir, durch welche Zahl du teilen kannst, sodass beide Nenner gleich sind. Damit du Brüche vereinfachen kannst, müssen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilbar sein. Beim Teilen darf also kein Rest bleiben.

Den Bruch \frac{6}{12} kannst du beispielsweise nicht mit 4 kürzen, weil 6 nicht durch 4 teilbar ist.

\frac{6}{12} = \frac{6\textcolor{teal}{\,:4}}{12\textcolor{teal}{\,:4}} = \frac{1,5}{3}

Wenn du den Nenner 12 durch 3 teilst, erhältst du 4. Da die 6 ebenfalls durch 3 teilbar ist, kannst du den Bruch \frac{6}{12} mit 3 kürzen.

\frac{6\textcolor{teal}{\,:3}}{12\textcolor{teal}{\,:3}} = \frac{2}{4}

Achtung: Du darfst Brüche nie mit 0 kürzen!

Brüche vollständig kürzen

Wenn du Brüche vollständig kürzen sollst, musst du die Brüche solange vereinfachen, bis nicht mehr weiter gekürzt werden kann. Dabei kann dir der größte gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner oder die Primfaktorzerlegung helfen.  

Kürzen von Brüchen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Damit ein Bruch nicht weiter gekürzt werden kann, musst du mit dem größten gemeinsamen Teiler kürzen.  Schauen wir uns dazu gleich ein Beispiel Schritt für Schritt an. 

Kürze den Bruch \frac{28}{36} vollständig.

1.Notiere dir jeweils alle Teiler von Zähler und Nenner: Auf die Zahlen kommst du, indem du sie im Kopf, beginnend bei 1 durchgehst.

Teiler von 28: {1, 2, 4, 7, 14}

Teiler von 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

2.Suche den größten gemeinsamen Teiler: Jetzt kannst du dir die größte Zahl raussuchen, die in beiden Aufzählungen vorkommt. Das ist die Zahl 4. Sie ist also der größte gemeinsame Teiler von 28 und 36. Du kürzt den Bruch daher mit 4.

\frac{28\textcolor{teal}{\,:4}}{36\textcolor{teal}{\,:4}} = \frac{7}{9}

Kürzen von Brüchen mit der Primfaktorzerlegung

Eine weitere Möglichkeit große Brüche vollständig zu kürzen, ist die Primfaktorzerlegung%Verweis. Schauen wir uns direkt an einem Beispiel an, wie du dabei vorgehst.

Kürze den Bruch \frac{8}{18} soweit wie möglich.

1.Zerlege den Zähler in Primfaktoren: Laut den Teilbarkeitsregeln, ist eine Zahl durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6, 8). Du kannst die 8 also durch 2 teilen und erhältst die Multiplikation 2 mal 4. Die 4 kannst du nun auch noch einmal zerlegen in 2 \cdot 2

8 = 2 ⋅ 4

         = 2 ⋅ 2 ⋅ 2

2. Zerlege den Nenner in Primfaktoren: Die Zahl 18 kannst du auch mit 2 kürzen und erhältst 2 mal 9. 2 kann nicht weiter gekürzt werden. Die 9 kannst du mit 3 kürzen und erhältst die Multiplikation 3 mal 3.

18 = 2 ⋅ 9

            = 2 ⋅ 3 ⋅ 3

3.Streiche alle Zahlen, die im Zähler und im Nenner vorkommen: Die 2 steht hier oben und unten.

\frac{8}{18} = \frac{\not{2}\,\cdot\,2 \,\cdot\,2}{\not{2}\,\cdot\,3\,\cdot\,3} = \frac{2\,\cdot\,2}{3\,\cdot\,3} = \frac{4}{9}

Achtung: Du kannst Brüche nur beim Multiplizieren kürzen. In Summen darfst du nichts rausstreichen, da sich sonst das Ergebnis verändern würde.

\frac{\not{2}\,+\,2\,+\,5}{\not{2}\,+\,3\,+\,4} \neq \frac{2\,+\,5}{3\,+\,4}

Brüche kürzen und erweitern

Das Gegenteil vom Brüche kürzen ist das Erweitern. Beim Kürzen von Brüchen teilst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl. Im Gegensatz dazu multiplizierst du beim Erweitern beide mit der gleichen Zahl.

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Bruch erweitern

In unserem Beitrag zum Erweitern von Brüchen erfährst du, wie genau das funktioniert und wofür du es brauchst. Schau dir das Video dazu direkt an!

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Zum Video: Brüche erweitern

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