Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
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Du fragst dich, was in Mathe Brüche sind? Dann bist du hier genau richtig! Wir erklären dir alles Wichtige zu Brüchen in Mathe. % Schau' dir auch unbedingt unser Video dazu an!

Was ist ein Bruch?

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten). Der Bruchstrich trennt Zähler und Nenner. 

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Bruch mit Zähler und Nenner

Bedeutung eines Bruchs

Doch was bedeutet ein Bruch eigentlich? Mit Brüchen drückst du aus, dass du nicht etwas Ganzes, sondern nur einen Teil davon meinst. 

Zum Beispiel siehst du in der Bäckerei eine ganze Torte vor dir, möchtest davon aber nur die Hälfte haben. Du willst also einen Anteil, nämlich eine Hälfte, von der Torte bestellen. Um diesen Wunsch auszudrücken, kannst du Brüche nutzen.

In den Nenner schreibst du, in wie viele Teile du das Ganze aufteilst. Die Torte kannst du in zwei Hälften teilen.

Du schreibst also eine 2 in den Nenner.

    \[\frac{}{\textcolor{blue}{2}}\]

Im Zähler gibst du an, wie viele Teile des Ganzen du meinst. Du willst eine halbe Torte kaufen. Damit möchtest du eine der beiden Hälften.

Daher schreibst du eine 1 in den Zähler.

    \[\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}}\]

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1/2 als Tortendiagramm

Mit dem Bruch \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} gibst du also an, dass du eine Hälfte der ganzen Torte möchtest.

Bruch: Nenner, Zähler

Mit einem Bruch kannst du also angeben, dass du Anteile von einem Ganzen meinst. Dabei beantworten die Zahlen des Bruchs die Fragen:

  • Wie viele Anteile sind ausgewählt? (Zähler)
  • Wie viele Anteile gibt es insgesamt? (Nenner)

Diese Brüche heißen auch gemeine Brüche. Du kannst dir merken: Gemeine Brüche geben wie alle Brüche (z.B. Kommazahlen, unechte Brüche, gemischte Brüche, …) Anteile eines Ganzen an.

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Wie zeichnest du Brüche auf dem Zahlenstrahl ein? Wenn sie Anteile an einer ganzen Einheit angeben, liegen sie zwischen ganzen Zahlen. Der Bruch \frac{1}{2} ist die Hälfte eines Ganzen. Daher liegt er auch genau in der Mitte von 0 und 1.

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1/2 am Zahlenstrahl

Und wo liegt \frac{4}{3}? Weil du eine 3 im Nenner hast, teilst du eine Einheit auf dem Zahlenstrahl in drei Teile. Im Zähler steht eine 4. Das heißt, du gehst 4 mal ein Drittel auf deinem Zahlenstrahl. Du hast also 1 Ganzes plus 1 Drittel (\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}). Deshalb muss der Bruch \frac{4}{3} zwischen 1 und 2 liegen. Und da es neben der ganzen Einheit ein weiteres Drittel gibt, liegt der Bruch auf einem Drittel des Weges von 1 nach 2.

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4/3 am Zahlenstrahl

Spitze, jetzt weißt du, wo Brüche am Zahlenstrahl liegen!

Division als Bruch

Auch Divisionsaufgaben kannst du als Brüche darstellen. Dabei dividierst du die Bruchteile (Zähler durch Nenner). Der Bruchstrich bedeutet also „geteilt durch“.

Der Bruch \frac{1}{2} heißt also auch 1 : 2.

    \[\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5\]

Dir können also Divisionsaufgaben in Gestalt von Brüchen begegnen. Es gibt damit neben den gemeinen Brüchen eine weitere Bruchart. Manchmal wirst du in Aufgaben aber auch gebrochene Zahlen finden, die einfach Anteile an einem Ganzen angeben (gemeine Brüche). Achte dabei am besten auf den Sinn einer Aufgabe.

Zum Beispiel ist bei \frac{3}{4} Pizza wahrscheinlich der gewünschte Anteil der Pizza gemeint, nämlich drei von vier großen Stücken.

Andererseits verbergen sich hinter gebrochenen Zahlen wie \frac{5}{6} Divisionsaufgaben. Denn hier ist es weniger interessant, dass du 5 Anteile von irgendetwas hast. Du willst nämlich das Ergebnis der Division wissen!

    \[\frac{5}{6}=5 : 6\]

Vergiss nicht: Auch gebrochene Zahlen darfst du nicht durch 0 teilen! Der Nenner unter dem Bruchstrich darf also nie 0 werden!

Brucharten

Sehen wir uns nun die verschiedenen Brucharten genauer an.

Echter Bruch

Ein echter Bruch zeichnet sich dadurch aus, dass der Zähler kleiner als der Nenner ist. Zum Beispiel ist bei \frac{2}{3} der Zähler 2 kleiner als der Nenner 3. \frac{2}{3} ist also ein echter Bruch.

    \[\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \textcolor{red}{2} < \textcolor{blue}{3}\]

Unechter Bruch

Der unechte Bruch ist eine Bruchart, bei der der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Zum Beispiel ist bei \frac{3}{2} der Zähler 3 größer als der Nenner 2. Damit ist \frac{3}{2} ein unechter Bruch.

    \[\frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{2}} \qquad \textcolor{red}{3} > \textcolor{blue}{2}\]

Du siehst: Auch die zweite Bruchart ist gar nicht so schwer zu verstehen.

Gemischter Bruch

Ein gemischter Bruch hat ganze Zahlen und einen Bruch. Dabei gibt dir die ganze Zahl an, wie viele ganze Einheiten du hast. Und der Bruchteil dahinter sagt dir, wie viele Teile eines Ganzen dazu kommen. Ein gemischter Bruch kann beispielsweise so aussehen:

    \[2\frac{1}{2}\]

Hier hast du die ganze Zahl 2 und die Bruchzahl \textcolor{red}{\frac{1}{2}}. Insgesamt hast du also zwei ganze Einheiten und die Hälfte einer weiteren Einheit.

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Was sind 2 1/2?

Scheinbruch

Der Scheinbruch hat als Wert eine ganze Zahl. Eigentlich brauchst du also keinen Bruch, um den Wert auf dem Zahlenstrahl zu zeichnen. 

Zum Beispiel steht bei \frac{2}{2} im Zähler und Nenner die 2. Zähler und Nenner sind damit gleich groß. Damit hast du zwei Hälften, also insgesamt ein Ganzes. Ein Ganzes kannst du aber auch als 1 schreiben. Du siehst, dass du für solche Bruchzahlen keine Bruchschreibweise brauchst. Deshalb nennst du ihn einen Scheinbruch.

    \[\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2}} \qquad \textcolor{red}{2} = \textcolor{blue}{2}\]

    \[\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2}}= 1 \qquad \]

Klasse, jetzt kennst du alle wichtigen Brucharten!

Rechnen mit Brüchen

In Mathe sind Brüche nicht nur praktisch zum Schreiben von Zahlen. Du kannst mit Bruchzahlen auch rechnen:

Alles, was du vom Rechnen mit ganzen Zahlen kennst, gilt auch bei der Bruchrechnung: 

Eine Übersicht erhältst du in unserem Video zur Bruchrechnung . Schau gleich mal rein!

Zum Video: Bruchrechnen
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