Geometrie
Dreiecke
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Wie kannst du für ein rechtwinkliges Dreieck die Hypotenuse berechnen? Wir erklären es dir! Schau unser Video an, um schnell den vollen Durchblick zu bekommen.

Hypotenuse berechnen einfach erklärt

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. 

rechtwinkliges Dreieck, Winkel, Kathete, Hypotenuse
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rechtwinkliges Dreieck

An der Grafik siehst du, dass a und b die Katheten des Dreiecks sind. Die lange Seite gegenüber vom rechten Winkel ist die Hypotenuse c. Du kannst die Länge der Hypotenuse über den Satz des Pythagoras ermitteln

\textcolor{red}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 \quad  \longrightarrow \quad \textcolor{red}{c} = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2}

oder über Sinus und Kosinus

\sin(\alpha) = \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{c}}\quad \longrightarrow  \quad \textcolor{red}{c} = \frac{\textcolor{blue}{b}}{\sin(\alpha)}

\cos(\alpha) = \frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{c}} \quad \longrightarrow \quad \textcolor{red}{c} = \frac{\textcolor{blue}{a}}{\cos(\alpha)}.

Wir zeigen dir das an verschiedenen Beispielen.

Hypotenuse berechnen mit Pythagoras

Du kannst die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Schau dir dazu folgendes Beispiel an.

Beispiel

Stell dir vor, du hast folgendes Dreieck gegeben und sollst die Länge von c bestimmen.

Dreieck, rechter Winkel, Kathete, Hypotenuse
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Gesucht: c durch Pythagoras

Dann gehst du wie folgt vor:

  • 1. Formel aufstellen: Schreibe die Formel für den Satz des Pythagoras auf.

\textcolor{red}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2

  • 2. Formel auflösen: Anfangs steht links \textcolor{red}{\text{c}}^2, also musst du die Wurzel ziehen, um c zu erhalten.

                  \textcolor{red}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2             | \sqrt{}

\textcolor{red}{c} = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2}

  • 3. Werte einsetzen: Setze die Werte von a und b aus der Grafik ein, also \textcolor{blue}{\text{a} = 4\text{cm}} und \textcolor{blue}{\text{b} = 3\text{cm}}.

\textcolor{red}{c} = \sqrt{(\textcolor{blue}{4\text{cm}})^2 + (\textcolor{blue}{3\text{cm}})^2}

  • 4. Hypotenuse ausrechnen: Damit kannst du die Länge der Hypotenuse berechnen.

\textcolor{red}{c} = \sqrt{\textcolor{blue}{16\text{cm}}^2 + \textcolor{blue}{9\text{cm}}^2}

\textcolor{red}{c} = \sqrt{25\text{cm}^2}

\textbf{\textcolor{red}{\text{c}}} \textbf{ = } \textbf{\textcolor{red}{5\text{cm}}}

Du findest heraus, dass die Hypotenuse c = 5cm lang ist.

Dreieck, Hypotenuse, Winkel, Pythagoras
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Hypotenuse c = 5cm

Schauen wir uns noch die anderen Möglichkeiten an, wie du eine Hypotenuse berechnen kannst.

Hypotenuse berechnen mit Winkel

Du kannst auch die Hypotenuse berechnen, wenn du nicht beide Seitenlängen von a und b gegeben hast. Dazu reicht es aus, wenn du einen Winkel vom Dreieck kennst. Wir zeigen dir, wie du mit Sinus und Kosinus  die Hypotenuse berechnen kannst. 

Hypotenuse berechnen mit Sinus

Stell dir vor, du hast das folgende Dreieck gegeben und sollst die Länge der Hypotenuse berechnen. 

Hypotenuse, Sinus, Dreieck, Winkel
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Gesucht: Hypotenuse durch Sinus

Jetzt erklären wir dir, wie du mit dem Sinus die Hypotenuse berechnen kannst.

  • 1. Formel aufstellen: Für den Sinus gilt folgende Formel. 

\sin(\alpha) = \frac{\textcolor{blue}{Gegenkathete}}{\textcolor{red}{Hypotenuse}} = \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{c}} 

  • 2. Formel auflösen: Du musst hier die Länge der Hypotenuse finden, also löst du die Gleichung nach der Hypotenuse c auf. 

    \begin{align*}                                         \sin(\alpha)&= \frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{c}} \quad \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{red}{c}   \\ \sin(\alpha) \cdot  \textcolor{red}{c}&= \textcolor{blue}{b} \quad \quad \quad \quad |:\sin(\alpha)\\ \textcolor{red}{c} &= \frac{\textcolor{blue}{b}}{\sin(\alpha)} \end{align*}

  • 3. Werte einsetzen: In der Grafik siehst du, dass der Winkel 40° groß ist und seine Gegenkathete b = 6cm lang ist. Das setzt du in die Formel ein.

\textcolor{red}{c} = \frac{\textcolor{blue}{6\text{cm}}}{\sin(40)} 

  • 4. Hypotenuse ausrechnen: Das gibst du jetzt in deinen Taschenrechner ein, um die Hypotenuse c zu berechnen.

\textbf{\textcolor{red}{c}} = \frac{\textcolor{blue}{6\text{cm}}}{\sin(40)} \approx \textbf{\textcolor{red}{9,33\text{cm}}} 

Die Hypotenuse c ist also ungefähr 9,33 Zentimeter lang.

Hypotenuse berechnen mit Kosinus

Ähnlich wie beim Sinus funktioniert das auch mit dem Kosinus. Nehmen wir an, du hast folgendes Dreieck gegeben. 

Dreieck, Kosinus, Winkel, Kathete, Ankathete
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Gesucht: Hypotenuse durch Kosinus

Wir zeigen dir nun, wie du die Hypotenuse c mit dem Kosinus berechnen kannst.

  • 1. Formel aufstellen: Die Formel für den Kosinus lautet:

\cos(\alpha) = \frac{\textcolor{blue}{Ankathete}}{\textcolor{red}{Hypotenuse}} = \frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{c}} 

  • 2. Formel auflösen: Als nächstes löst du wieder nach der Hypothenuse c auf.

    \begin{align*}   \cos(\alpha)&= \frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{c}} \quad \quad \quad \quad | \cdot \textcolor{red}{c}   \\ \cos(\alpha) \cdot  \textcolor{red}{c}&= \textcolor{blue}{a} \quad \quad \quad \quad |:\cos(\alpha)\\ \textcolor{red}{c} &= \frac{\textcolor{blue}{a}}{\cos(\alpha)} \end{align*}

  • 3. Werte einsetzen: Anschließend setzt du den Winkel 40° und die Ankathete a = 7,15cm in die Rechnung ein.

\textcolor{red}{c} = \frac{\textcolor{blue}{7,15\text{cm}}}{\cos(40)} 

  • 4. Hypotenuse ausrechen: Das musst du du nur noch mit dem Taschenrechner ausrechnen.

\textbf{\textcolor{red}{c}} = \frac{\textcolor{blue}{7,15\text{cm}}}{\cos(40)} \approx \textbf{\textcolor{red}{9,33\text{cm}}} 

Ob du mit Sinus oder Kosinus rechnest, ändert nichts am Ergebnis. Die Wahl deiner Methode hängt nur davon ab, ob du die Ankathete oder die Gegenkathete gegeben hast.

Sinus und Kosinus 

Beim Hypotenuse berechnen mit einem Winkel brauchst du Sinus und Kosinus. Schau dir am besten gleich unsere Videos dazu an, um das Thema komplett zu verstehen! 

Zum Video: Sinus, Hypotenuse berechnen
Zum Video: Sinus

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