Tangente
Du willst wissen, was eine Tangente ist und wie du eine Tangentengleichung aufstellst? Hier im Beitrag und im Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie es geht!
Inhaltsübersicht
Tangente einfach erklärt
Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in genau einem Punkt berührt. Den Punkt nennst du daher auch „Berührpunkt“. An dieser Stelle hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Funktion. Beide sind an dieser Stelle also gleich „steil“.
Eine Tangente lässt sich mit einer Gleichung beschreiben. Schauen wir uns das einmal genauer an.
Tangentengleichung berechnen mit der Geradengleichung
Da die Tangente eine Gerade ist, kannst du sie genau wie jede andere Gerade mit der klassischen Geradengleichung y = m · x + t beschreiben. Dabei steht m für die Steigung der Geraden und t für den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du die Gleichung aufstellst: Du hast folgende Funktion gegeben und möchtest die Tangente an der Stelle x = 2 berechnen.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Schritt 1 — Punkt berechnen
Damit du die Tangentengleichung aufstellen kannst, brauchst du zuerst den y-Wert des Berührpunkts. Setze dazu x = 2 in die Funktion ein:
f(2) = 23 – 6 · 22 + 9 · 2 + 1 = 3
Der Punkt, an dem die Tangente anliegt, ist also (2|3).
Schritt 2 — Funktion ableiten
Als Nächstes brauchst du die Ableitung der Funktion, damit du die Steigung der Tangente berechnen kannst.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f'(x) = 3x2 – 12x + 9
Schritt 3 — Steigung m berechnen
Jetzt setzt du den Wert x = 2 in die Ableitung ein:
f'(2) = 3 · 22 – 12 · 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = – 3
Die Steigung der Tangente m ist also –3.
Schritt 4 — y-Achsenabschnitt t bestimmen
Nun kannst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Dafür setzt du die Steigung und deinen Punkt (2∣3) in deine Gleichung ein. Die Steigung m ist -3, für y setzt du 3 ein und für x setzt du 2 ein:
3 = -3 · 2 + t
3 = -6 + t
Diese Gleiche löst du nach t auf, indem du auf beiden Seiten plus 6 rechnest:
9 = t
Dein ausgerechnetes t setzt du jetzt in die Gleichung ein. Die Tangentengleichung an der Stelle x = 2 lautet also y = -3x + 9.
- Punkt berechnen
- Ableitung berechnen
- Steigung berechnen
- y-Achsenabschnitt berechnen
Tangentengleichung berechnen mit der Punktsteigungsform
Um die Tangentengleichung zu berechnen, kannst du auch eine spezielle Form dieser Gleichung verwenden, die Punktsteigungsform:
yt(x) = f'(x0) · (x – x0) + y0
Sie sieht zwar anders aus, drückt aber genau dasselbe aus wie die normale Geradengleichung. Du brauchst hier genau wie bei der Geradengleichung einen Punkt, nämlich (x0| y0) und die Steigung f′(x0), also die Ableitung deiner Funktion an dieser Stelle.
Nehmen wir das Beispiel von gerade, um uns das Ganze einmal Schritt für Schritt anzuschauen — wir berechnen wieder die Tangente an der Stelle x = 2.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Schritt 1 — Punkt berechnen
Als erster berechnest du wieder den y-Wert des Berührpunkts. Setze dazu x = 2 in die Funktion ein:
f(2) = 23 – 6 · 22 + 9 · 2 + 1 = 3
Der Punkt (x0∣y0), an dem die Tangente anliegt, ist also (2|3).
Schritt 2 — Funktion ableiten
Als Nächstes bestimmst du die Ableitung — damit berechnest du die Steigung der Tangente.
f'(x) = 3x2 – 12x + 9
Schritt 3 — Steigung berechnen
Jetzt setzt du den Wert x = 2 in die Ableitung ein:
f'(2) = 3 · 22 – 12 · 2 + 9 = 12 – 24 + 9 = – 3
Die Steigung der Tangente f'(x0) ist also –3.
Schritt 4 — Tangentengleichung aufstellen
Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt.
yt(x) = f'(x0) · (x – x0) + y0
yt(x)= (-3) · (x – 2) + 3
Das kannst du noch zusammenfassen zu:
yt (x)= -3x + 6 + 3
yt (x) = -3x + 9
Die Tangentengleichung an der Stelle x = 2 lautet also yt(x) = -3x + 9
Waagerechte Tangente
Manche Tangenten verlaufen waagerecht. Das passiert immer dann, wenn die Steigung an einer Stelle null ist.
Wenn die Steigung gleich null ist, heißt das auch, dass die Ableitung an der Stelle null ist: f'(x) = 0. Das ist bei Hochpunkten (A), Tiefpunkten (B) oder Sattelpunkten (C) der Fall. Die Tangentengleichung entspricht dann dem y-Achsenabschnitt.
Wendetangente berechnen
Auch an einem Wendepunkt gibt es eine Tangente. Sie sieht aus wie eine schräg verlaufende Gerade und du berechnest sie genauso wie jede andere Tangente. Der Unterschied liegt dafür im Verhalten des Funktionsgraphen.
An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung — die Funktion „biegt“ sich ab da anders. Wenn du genauer wissen willst, wie du die Wendetangente berechnest, schau dir hier
unseren Beitrag und unser Video dazu an.
Tangente — häufigste Fragen
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Was ist eine Tangente?Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion an einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente entspricht dabei der Steigung des Berührungspunktes, da die Tangente die Funktion an diesem Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt.
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Wie lautet die Tangentengleichung?
Die Formel für die Tangentengleichung lautet: yt(x) = f'(x0) · (x – x0) + y0. Dabei ist f'(x0) die Ableitung der Funktion an der Stelle x0, und y0 der Funktionswert an dieser Stelle.
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Wie berechne ich die Steigung einer Tangente?Um die Steigung der Tangente zu ermitteln, setzt du die x-Koordinate x0 der Betrachtungsstelle in die erste Ableitung ein. Berechne dafür die erste Ableitung f'(x) und setze den Wert x0 in f'(x) ein.