Funktionen
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Meistens wird beim Diskutieren von Funktionen Stetigkeit vorausgesetzt. Wie du eine stetige Funktionen erkennst, zeigen wir dir hier. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Stetigkeit einfach erklärt

Bildlich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn du sie als eine einzelne Linie ohne Absetzen deines Stiftes zeichnen kannst. Mathematischer formuliert findest du die Stetigkeit von Funktionen, indem du den rechtsseitigen Grenzwert mit dem linksseitigen Grenzwert vergleichst.

Stetigkeit zeigen

Eine Funktion ist an der Stelle x0 stetig, wenn sie 3 Bedingungen erfüllt: 

  1. Die Funktion ist an der Stelle x0 definiert: f(x0) existiert.
  2. Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind an der Stelle x0 gleich: Der beidseitige Grenzwert \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) existiert.
  3. Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert: \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)

Ist die Stetigkeit einer Funktion an jeder Stelle gegeben, handelt es sich um eine stetige Funktion.

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Eine stetige Funktion (blau, links) und eine unstetige Funktion (rot, rechts) mit einer Unstetigkeit bei x=1.

Stetigkeit Beweis

Wann ist eine Funktion stetig? Schaue dir das gleich an ein paar Beispielen an.

1. Beispiel

Ist f(x) an der Stelle x0=2 stetig?

    \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -1 & \text{für } x < 2\\ 0 & \text{für } x = 2 \\ 1 & \text{für } x > 2 \end{array} \right \]

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f(x) ist an der Stelle x=2 0. Alle x-Werte kleiner als 2 haben den Funktionswert -1. Alle x-Werte größer als 2 haben den Funktionswert 1.

1.Bedingung: Ist die Stelle x0 Teil der Definitionsmenge? 

f(x) ist für x=2 definiert. Die Stelle x0=2 ist also Teil der Definitionsmenge. f(x) erfüllt an der Stelle x=2 die erste Bedingung.

2.Bedingung: Besitzt f(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x0?

Der beidseitige Grenzwert existiert, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert identisch sind. Bestimme also den rechtsseitigen Grenzwert, um die Stetigkeit zeigen zu können! Weil du dich der Stelle 2 von größeren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, größer als 2. Deine Funktion ist für diese Zahlen also immer 1. Deshalb ist auch dein Grenzwert gleich 1.

    \[ \lim_{x\rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2^+} 1 = 1 \]

Analog rechnest du den linksseitigen Grenzwert aus: Weil du dich der Stelle 2 von kleineren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, kleiner als 2. Deine Funktion ist also für diese Zahlen immer -1. Dein Grenzwert ist deshalb gleich -1.

    \[ \lim_{x\rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2^-} -1 = -1 \]

 

Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind unterschiedlich. Es existiert kein beidseitiger Grenzwert. f(x) erfüllt also nicht die zweite Bedingung: Sie ist an der Stelle x=2 unstetig.

2. Beispiel

Die Zuordnung f(x) ist die sogenannte Delta-Distribution. Untersuche ihre Stetigkeit an der Stelle x0=0.

    \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{für } x \neq 0 \\ 1 & \text{für } x = 0 \end{array} \right \]

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f(x) ist für x=0 gleich 1 und für alle anderen Werte gleich 0.

1.Bedingung: Ist die Stelle x0 Teil der Definitionsmenge?

f(x) ist für x=0 definiert. 0 ist also Teil der Definitionsmenge. Die erste Bedingung wird von f(x) erfüllt.

2.Bedingung: Besitzt f(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x0?

Der beidseitige Grenzwert existiert, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert identisch sind. Zuerst bestimmst du den rechtsseitigen Grenzwert. Weil du dich der Stelle x=0 von größeren Zahlen nur näherst, sind alle Zahlen, die du in deine Funktion einsetzt, ungleich 0. Deine Funktion ist also f(x)=0. Deshalb ist dein Grenzwert gleich 0. 

    \[ \lim_{x\rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^+} 0 = 0 \]

Analog rechnest du den linksseitigen Grenzwert aus: Weil du dich der Stelle 0 von kleineren Zahlen nur nährst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, ungleich 0. Deine Funktion ist also wieder f(x)=0. Dein Grenzwert ist deshalb gleich 0.

    \[ \lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0^-} 0 = 0 \]

Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind identisch. Es existiert ein beidseitiger Grenzwert mit dem Wert 0. Die zweite Bedingung ist also erfüllt.

    \[ \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 \]

3.Bedingung: Sind Grenzwert und Funktionswert an der Stelle x0 gleich?

Wenn du x=0 in die Funktion f(x) einsetzt, erhältst du den Funktionswert f(0) = 1. Dein beidseitiger Grenzwert ist allerdings gleich 0. Die dritte Bedingung ist nicht erfüllt. f(x) ist an der Stelle x=0 also nicht stetig.

    \begin{align*} f(0) &\neq \lim_{x\rightarrow 0} f(x) \\ 1 &\neq 0 \end{align*}

3. Beispiel

Untersuche die Stetigkeit von Funktion g(x) an der Stelle x0=-1!

    \[ g(x) = x^2 \]

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Graph der Funktion g(x).

1.Bedingung: Ist die Stelle x0 Teil der Definitionsmenge?

g(x) ist eine ganzrationale Funktion. Deshalb gehören alle Zahlen, einschließlich x0, zur Definitionsmenge. Die erste Bedingung ist erfüllt.

2.Bedingung: Besitzt g(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x0?

Fange wieder mit dem rechtsseitigen Grenzwert an: Wenn du dich der Stelle x=-1 von größeren Zahlen näherst, geht die Parabel g(x)=x2 gegen +1.

    \[ \lim_{x\rightarrow -1^+} x^2 = 1 \]

Analog geht der linksseitige Limes gegen +1, wenn du dich der Stelle x=-1 von kleineren Zahlen näherst.

    \[ \lim_{x\rightarrow -1^-} x^2 = 1 \]

Der rechts- und linksseitige Limes sind also identisch. Der beidseitige Grenzwert existiert also und hat den Wert 1. Die zweite Bedingung ist demnach erfüllt.

    \[ \lim_{x\rightarrow -1} x^2 = 1 \]

3.Bedingung: Sind Grenzwert und Funktionswert an der Stelle x0 gleich?

Wenn du x=-1 in die Funktion g(x) einsetzt, erhältst du den Funktionswert g(-1)=1. Dein beidseitiger Grenzwert ist ebenfalls gleich 1. g(x) ist an der Stelle x=-1 also stetig.Tatsächlich handelt es sich bei der Funktion g(x)=x2 um eine stetige Funktion.

    \[ g(-1) = \lim_{x\rightarrow -1} g(x) \]

Stetige Funktionen

Du hast gesehen, wie du die Stetigkeit von Funktionen bestimmst, aber es ist immer gut ein paar stetige Funktionen im Kopf zu haben:

Stetigkeit von Funktionen

Falls du zwei stetige Funktionen g(x) und h(x) mit einer der folgenden Rechenoperationen kombinierst, ist auch ihre Kombination f(x) stetig:

  • Addition und Subtraktion erhalten Stetigkeit einer Funktion: f(x)=g(x)+h(x) oder f(x)=g(x)-h(x).
  • Multiplikation erhält Stetigkeit einer Funktion: f(x)=g(x)\cdot h(x).
  • Division erhält Stetigkeit einer Funktion: f(x) = \nicefrac{g(x)}{h(x)}, wenn h(x)\neq 0.
  • Verkettung erhält Stetigkeit einer Funktion: f(x)=g(h(x)).

Unstetige Funktionen

Stetigkeit

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle x0 stetig, wenn

1.) f(x_0) definiert ist

und die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

2.) \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) existiert  und

3.) \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)

Eine unstetige Funktion, die Bedingung  2.) nicht erfüllt, ist f(x). 

    \[ f(x) = \left\{  \begin{array}{ll} x^2 & \text{für } x\leq 1 \\ x+1 & \text{für } x > 1 \end{array} \right \]

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Eine unstetige Funktion, die Bedingung 2.) nicht erfüllt: Der rechts- und linksseitige Limes unterscheiden sich. Es existiert also kein beidseitiger Grenzwert.

Dagegen ist g(x) eine unstetige Funktion, die Bedingung 3.) nicht erfüllt.

    \[ f(x) = \left\{  \begin{array}{ll} -x^2 +5 & \text{für } x\neq 2 \\ x & \text{für } x = 2 \end{array} \right \]

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Eine unstetige Funktion, die Bedingung 3.) nicht erfüllt: Der beidseitige Limes an der Stelle x=a ist ungleich dem Funktionswert an der Stelle x=a.

Epsilon-Delta-Kriterium

Der strenge mathematische Beweis von Stetigkeit ist das \epsilon\delta-Kriterium (Epsilon-Delta-Kriterium):

    \[ \forall \epsilon > 0 \;\exists\; \delta > 0 \quad \forall x \in D: |x-x_0| < \delta \Rightarrow  |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \]

Ausgeschrieben heißt das: „Für jedes beliebig wählbare Epsilon größer als Null gibt es ein Delta größer als Null. Dann soll für alle x aus dem Definitionsbereich D deiner Funktion f folgende Aussage gelten: Wenn der Abstand zwischen x und x0 kleiner als Delta ist, dann ist auch der Abstand zwischen f(x) und f(x0) kleiner als Epsilon.“

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Epsilon-Delta-Kriterium

Aber was bedeutet das? Wenn du von zwei Punkten auf deiner stetigen Funktion den Abstand der x-Koordinaten (\delta) verkleinerst, muss gleichzeitig der Abstand zwischen den y-Koordinaten (\epsilon) kleiner werden.

Schau dir das am besten an einem Beispiel an. Ist die Funktion f(x)=x2+1 an der Stelle x0=3 stetig?

Um das zu lösen, suchst du für ein beliebiges \epsilon ein spezielles \delta, sodass die Bedingung oben für alle x in dieser Deltaumgebung von x0=3 erfüllt ist.

Sei  \epsilon > 0. Dann kannst du abschätzen:

    \begin{align*}  |f(x)-f(x_0)| &=|f(x)-f(3)| \\ &= |x^2 + 1 - 3^2 - 1| \\ &= |x^2 -9| \\ &= | x-3 | \cdot |x+3| \; \; \text{dritte binomische Formel} \\  \end{align*}

Dieses Produkt, das du mit der dritten binomischen Formel aufgestellt hast, kannst du jetzt mit \delta abschätzen. Dieses \delta hast du zu diesem Zeitpunkt aber noch nicht konkret bestimmt, du weißt nur, dass gilt: | x-3 | < \delta.

    \begin{align*} \textcolor{blue}{| x-3 |} \cdot |x+3| &< \textcolor{blue}{\delta} \cdot |x+3| \\ &= \delta \cdot |x+3 \; \textcolor{red}{+3-3}| \\ &= \delta \cdot |x-3+6| \\ \end{align*}

Ziehe die +6 aus den Betragsstrichen heraus, damit du wieder mit \delta abschätzen kannst. Aber aufgepasst: Das ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine Dreiecksungleichung . Du musst also ein Kleiner-Gleich-Zeichen benutzen! 

    \begin{align*} \delta \cdot |x-3+6| &\leq \delta \cdot \left( |x-3| +6 \right) \; \; \text{Dreiecksungleichung} \\ &< \delta \cdot (\delta + 6) \\ &= \delta^2 + 6\delta  \end{align*}

Jetzt weißt du also, dass ein \delta dem Epsilon-Delta-Kriterium genügt und die folgende Bedingung erfüllt:

    \[ \delta^2 + 6\delta = \epsilon \]

 

Denn dann würde ja gelten: 

    \[ |f(x)-f(3)| < \delta^2 + 6\delta = \epsilon \]

Allerdings hast du erst einen Ausdruck für \epsilon(\delta). Bilde als nächstes die Umkehrfunktion mit der pq-Formel , um \delta(\epsilon) zu bestimmen. 

    \begin{align*} \epsilon &= \delta^2 + 6\delta  \qquad|\, -\epsilon\\ 0 &= \delta^2 + 6\delta -\epsilon \\ \delta_{1,2} &= -3 \pm \sqrt{9+\epsilon} \end{align*}

Da \delta > 0 sein muss, setzt du also \delta :=-3 + \sqrt{9+\epsilon}. Damit hast du ein passendes \delta gefunden.

f(x)=x2+1 erfüllt an der Stelle x0=3 also das Epsilon-Delta-Kriterium. f(x) ist damit an der Stelle x0=3 stetig.

Beidseitiger Grenzwert

Du hast jetzt zwei verschiedene Wege kennengelernt Unstetigkeiten zu finden. Am schnellsten ist dabei die Methode des beidseitigen Grenzwertes . Damit du den immer zuverlässig berechnen kannst, musst du dir unbedingt unser Video dazu anschauen!

Zum Video: Grenzwert
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