Verkettung von Funktionen

Verkettung von Funktionen einfach erklärt

Wenn du zwei Funktionen wie zum Beispiel f(x) = x² + x und g(x) = 2x + 1 verketten sollst, musst du sie hintereinander ausführen. Dafür berechnest du als Erstes die Funktion g(x) und dann die Funktion f(x). Das Ganze sieht dann so aus:

f(g(x)) 

Da g(x) als erstes berechnet wird, steht sie im Inneren der Klammer und wird auch als innere Funktion bezeichnet. Die Funktion f(x) steht außerhalb der Klammer und wird erst nach g(x) ausgeführt. Daher nennst du sie auch äußere Funktion. Um die Verkettung darzustellen, schau dir die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung an: 

1. Markiere die innere Funktion: f(g(x))
   
   
2. Setze für jedes x in der äußeren Funktion f(x) = x² + x die ganze Funktionsgleichung der inneren Funktion g(x) =  2x + 1 ein:

f(g(x)) = (2x + 1)² + 2x + 1

Hintereinanderausführung von Funktionen

Damit du dir die Hintereinanderausführung zweier Funktionen nochmal genauer vorstellen kannst, betrachte einmal das folgende Beispiel:

f(x) = ½x → x wird halbiert
g(x) = x² → x wird quadriert

Nun kannst du die Funktionen auf zwei Arten hintereinander ausführen. Entweder du führst erst g(x) und dann f(x) aus. Du quadrierst also erst das x, dann halbierst du es. Dadurch hast du g in f eingesetzt und die Verkettung f(g(x)) = ½ · ( x²) = ½ x²  berechnet.

Merke: Da du von innen nach außen vorgehst, steht g(x) auch in der Klammer von f(x): f(g(x))

Oder du führst erst f(x) und dann g(x) aus. Das x wird dann erst halbiert und danach quadriert. So hast du f in g eingesetzt und die Verkettung g(f(x)) = (½ · x)² = ¼x² berechnet.

Verkettung von Funktionen — Beispiele

Du weißt jetzt, wie du zwei Funktionen miteinander verkettest. Um dein Wissen zu festigen, probiere einmal die folgenden Übungen zu lösen. Geh dabei Schritt für Schritt vor.

1. Beispiel:

Berechne die Funktion h = f g mit den Funktionsgleichungen f(x) = 2x² – 1 und g(x) = 3x + 2. Das bedeutet, dass du h(x) = f(g(x)) berechnen sollst.

1. Innere Funktion markieren: h(x) = f(g(x))
   
   
2. Bei der äußeren Funktion für x einsetzen: h(x) = 2 · (3x + 2)² – 1
   
   
3. Verkettete Funktion h(x) vereinfachen:
   
   h(x) = 2 · (3x + 2)² – 1              | 1. binomische Formel
   h(x) = 2 · (9x² + 12x + 4) – 1    | Klammer ausmultiplizieren
   h(x) = 18x² + 24x + 8 – 1          | Zahlen zusammenfassen
   h(x) = 18x² + 24x + 7

2. Beispiel:

Das Gleiche machst du nun umgekehrt: Berechne die Funktion h = g f mit den Funktionsgleichungen g(x) = 3x + 2 und  f(x) = 2x² – 1. Das bedeutet, dass du h = g(f(x)) darstellen sollst.

1. Innere Funktion markieren: h(x) = g(f(x))
   
   
2. Bei der äußeren Funktion für x einsetzen: h(x) = 3 · (2x² – 1) + 2
   
   
3. Verkettete Funktion h(x) vereinfachen:
   
   h(x) = 3 · (2x² – 1) + 2       | Klammer ausmultiplizieren
   h(x) = 6x² – 3 + 2               | Zahlen zusammenfassen 
   h(x) = 6x² – 1

Verkettung von Funktionen — häufigste Fragen

• Wie verkette ich zwei Funktionen?
  Du verkettest zwei Funktionen, indem du die Funktionsgleichung der inneren Funktion für das x der äußeren Funktion einsetzt.
  
  
• Wann kann man zwei Funktionen verketten?
  Die Verkettung von Funktionen f(g(x)) ist definiert, wenn die Funktionswerte von g zum Definitionsbereich von f gehören. Ist die Schnittmenge aus dem Definitionsbereich der äußeren Funktion (also f(x)) und dem Wertebereich der inneren Funktion (also g(x)) nicht leer, dann kannst du die beiden Funktionen verketten.

Kettenregel

Super! Du weißt jetzt, was eine Verkettung von Funktionen ist und wie du sie berechnest. Du hast verkettete Funktionen aber mithilfe der Kettenregel ableiten. Wenn du wissen willst, wie das funktioniert, dann schau im Video vorbei!