Lineare Algebra

3. binomische Formel

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du mit der 3. binomischen Formel rechnen kannst und woher sie eigentlich kommt. %</span>Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video<span style="color: #99cc00;">VERWEIS</span> zum Thema an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

3. binomische Formel einfach erklärt

Die dritte binomische Formel stellt eine Abkürzung fürs Rechnen mit bestimmten Ausdrücken dar.

(a + b) (a b) = a² – b²

Beispiel: (x + 2) (x2) = x² – 4

Du erkennst diese Formel daran, dass du zwei Klammern mit den gleichen beiden Einträgen hast, die einmal mit einem Pluszeichen und einmal mit einem Minuszeichen verbunden sind. Deshalb hat diese Formel auch den Namen Plus-Minus-Formel. 

Lass dich dabei nicht von den Buchstaben a und b verwirren. Du kannst sie in der 3. binomischen Formel durch zwei Zahlen, andere Variablen oder eine Kombination aus Zahl und Variable ersetzen. Wichtig ist nur, dass sich die beiden Klammerausdrücke nur durch das umgekehrte Rechenzeichen unterschieden. 

Hinweis: Es gibt noch mehr binomische Formeln.

3. binomische Formel Beispiele

Schauen wir uns doch gleich mal einige Beispiele gemeinsam an. Die dritte binomische Formel spielt bei zwei Schritten eine wesentliche Rolle.

3. binomische Formel: Ausmultiplizieren

Erstmal kannst du die Formel sozusagen von links nach rechts anwenden. Damit löst du die Klammern auf. Dieser Vorgang heißt Ausmultiplizieren

Beispiel 1

Hier kannst du die linke Seite mit der Formel schnell ausmultiplizieren.

(2 + b) (2b) = 2² – b²

= 4

Beispiel 2

In diesem Beispiel wird ein Produkt aus Zahl und Variable eingesetzt. 

(2x + 1) (2x1) = (2x)² – 1²

= 4x²1

Um die 3. binomische Formel korrekt anzuwenden, rechnest du das ganze Paket (2x) ins Quadrat und kommst so auf 4x².

Beispiel 3

Die dritte binomische Formel kannst du auch anwenden, wenn Brüche in den Klammern vorkommen. 

(\frac{1}{2}+a)(\frac{1}{2}-a)=\frac{1^2}{2^2}-a^2

=\frac{1}{4}-a^2

Enthalten binomische Formeln Brüche, dann achte einfach darauf, dass du Zähler und Nenner hoch Zwei rechnen musst.

Beispiel 4

Manchmal sind die beiden Klammern vertauscht. 

(y – 3) (y + 3) = (y + 3) (y – 3)

= y² – 9

In welcher Reihenfolge die Klammern stehen, ist egal. Wichtig ist nur, dass in beiden Klammern die zwei gleichen Ausdrücke eingesetzt werden und diese einmal durch ein Plus und einmal durch ein Minus verbunden sind.

3. binomische Formel: Faktorisieren

Es gibt aber auch die Möglichkeit mit der 3. binomischen Formel von der rechten Seite der Formel a^2-b^2 zur linken (a+b)(a-b) zu kommen.

Beispiel 1

Die Formel hilft dir beim Faktorisieren. %Hier auch jeweils

4 – b² = (2 + b) (2 – b)

Wenn du die gängigsten Quadratzahlen im Kopf hast, kannst du schnell solche Möglichkeiten erkennen. 

Beispiel 2

Das funktioniert auch bei einem Produkt aus Zahl und Variable.

16x²4y² = (4x)² – (2y)² = (4x + 2y) (4x2y)

Die sichtbaren Quadrate an den Variablen können dir einen ersten Hinweis geben. So kannst du das Muster der 3. binomischen Formel erkennen.

Beispiel 3

Auch hier können wieder Brüche vorkommen.

a^2-\frac{4}{9}=a^2-(\frac{2}{3})^2=(a+\frac{2}{3})(a-\frac{2}{3})

Behalte dabei im Kopf, dass bei Brüchen sowohl die Zahl oben als auch die Zahl unten hoch Zwei gerechnet wird. 

3. binomische Formel Herleitung

Eigentlich ist die dritte binomische Formel nur eine Abkürzung. Du kannst durch schrittweises Ausmultiplizieren zum gleichen Ergebnis kommen. 

(a + b) (ab) = a · a + a · (-b) + b · a + b · (-b)

= a² – ab + ab – b²

= a² – b²

Dabei musst du besonders bei den Vorzeichen aufpassen. Die gemischten Terme kürzen sich gerade weg, sodass nur die quadratischen Teile übrig bleiben.

3. binomische Formel Anwendung

Forme die Terme mit der 3. binomischen Formel um.

a) (5c + 3) (5c – 3) 

b) (-y + 2) (2 + y)

c) 9 – 16a²

Lösungen

a) Diese Aufgabe kannst du mit der 3. binomischen Formel schnell ausmultiplizieren.

(5c + 3) (5c – 3) = 25c² – 9

b) Hier musst du die erste Klammer etwas umstellen und die beiden Klammern vertauschen, um die 3. binomische Formel zu erkennen.

(-y + 2) (2 + y) = (2 – y) (2 + y)

= 4 – y²

c) Dieser Term sieht so ähnlich aus wie die rechte Seite der 3. binomischen Formel. Du kannst ihn also faktorisieren.

9 – 16a² = 3² – (4a)²

= (3 + 4a) (3 – 4a)

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