Geometrie
Geometrische Grundlagen
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Alles zum Thema Flächenberechnung und wie du mit der richtigen Formel jeden Flächeninhalt berechnen kannst, lernst du in diesem Artikel und natürlich im passenden Video !

Flächenberechnung einfach erklärt

Wenn du einen Flächeninhalt A einer Figur (Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis) berechnen möchtest, brauchst du die passende Formel. Hier findest du die wichtigsten Formeln, um einen Flächeninhalt zu berechnen:

Figur Flächeninhalt Formel

Quadrat

A = a · a = a2
Rechteck A = a · b
Dreieck A = 0,5 · a · ha
Trapez A = 0,5 · (c + a) · h
Parallelogramm   A = a · ha
Raute A = a · ha oder A = 0,5 · e · f
Drachenviereck A = 0,5 · e · f
Kreis A = π · r2
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Flächenberechnung – Figuren & Formeln

Alle Flächeninhalt Formeln

Im Folgenden findest du eine Übersicht zu allen wichtigen Flächenberechnungs-Formeln. Zu jeder Figur gibt es übrigens ein extra Video, in dem die Formeln ausführlich erklärt werden.

Flächenberechnung Quadrat

Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten a gleich lang sind.

Flächeninhalt Quadrat Formel: A = a · a = a2

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Flächeninhalt Quadrat

Beim Quadrat sind alle Winkel (α, β,γ, δ) 90° groß und damit rechte Winkel. Wenn man alle Winkel zusammenzählt, ergibt das 360°.

Winkel: α = β = γ = δ = 90°

Winkelsumme: α + β + γ + δ = 360°

Flächenberechnung Rechteck

Beim Rechteck sind die gegenüberliegenden Seiten

  • gleich lang (a=c) und (b=d)
  • und parallel (a ‖ c) und (b ‖ d).
  • Alle vier Winkel (α, β,γ, δ) sind 90° groß und damit rechte Winkel. Addierst du alle Winkel, erhältst du 360°.

Flächeninhalt Rechteck Formel: A = a · b

Flächenberechnung Rechteck Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt Rechteck

Winkel: α = β = γ = δ = 90°

Winkelsumme: α + β + γ + δ = 360°

Flächenberechnung Dreieck

Ein Dreieck hat immer drei Seiten und drei Winkel. Addierst du die drei Winkel (α, β,γ), erhältst du immer 180°.

Es gibt verschiedene Arten von Dreiecken:

Flächeninhalt allgemeines Dreieck 

Flächeninhalt allgemeines Dreieck Formel: \textcolor{blue}{\text{A}=\frac{1}{2}\cdot \text{c}\cdot \text{h}_c=\frac{\text{c}\cdot \text{h}_c}{2}}

Flächenberechnung allgemeines Dreieck Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt allgemeines Dreieck

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck

Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck Formel: \textcolor{blue}{\text{A}=\frac{1}{2}\cdot \text{a}\cdot \text{b}=\frac{\text{a}\cdot \text{b}}{2}}

Flächenberechnung rechtwinkliges Dreieck Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck

Winkel:

    \begin{align*}\textcolor{red}{\alpha+\beta}&\textcolor{red}{=\SI{90}{\degree}}\\\textcolor{red}{\gamma}&\textcolor{red}{=\SI{90}{\degree}}\end{align*}

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

Bei diesem Dreieck sind die beiden Schenkel a und b gleich lang (a = b). Außerdem sind die Winkel α und β gleich groß.

Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck Formel: \textcolor{blue}{\text{A}=\frac{1}{4}\cdot{\sqrt{4\cdot \text{a}^2-\text{c}^2}}}

Flächenberechnung gleichschenkliges Dreieck Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt gleichschenkliges Dreieck

Winkel: α = β

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck

Bei diesem Dreieck sind alle drei Seiten a, b und c gleich lang (a = b = c). Außerdem sind alle Winkel gleich groß.

Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck Formel: \textcolor{blue}{\text{A}=\frac{1}{4}\cdot \text{a}^2\cdot{\sqrt{3}}}

Flächenberechnung gleichseitiges Dreieck Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt gleichseitiges Dreieck

Winkel: α = β = γ = 60°

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

Flächenberechnung Trapez

Das Trapez ist ein Viereck , bei dem zwei Seiten (a ‖ c) parallel sind.

Flächeninhalt Trapez Formel: \textcolor{blue}{\text{A}=\frac{1}{2}\cdot \text{(a+c)}\cdot \text{h}=\frac{\text{(a+c)}\cdot \text{h}}{2}}

Flächenberechnung Trapez Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt Trapez

Winkel:

    \begin{align*}\textcolor{red}{\alpha+\delta}&\textcolor{red}{=\SI{180}{\degree}}\\\textcolor{red}{\beta+\gamma}&\textcolor{red}{=\SI{180}{\degree}}\end{align*}

Winkelsumme: α + β + γ + δ= 360°

Flächenberechnung Paralellogramm

Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die zwei gegenüberliegenden Seiten

  • parallel (a ‖ c) und (b ‖ d) 
  • und gleich lang (a = c) und (b = d) sind.

Flächeninhalt Parallelogramm Formel: A = a · ha

Flächenberechnung Parallelogramm Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt Parallelogramm

Winkel: Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß!

    \begin{align*}\textcolor{red}{\alpha}&\textcolor{red}{=\gamma}\\\textcolor{red}{\beta}&\textcolor{red}{=\delta}\end{align*}

Winkelsumme: α + β + γ + δ= 360°

Flächenberechnung Raute

Die Raute ist ein Parallelogramm,

  • bei dem alle vier Seiten gleich lang (a=b=c=d)
  • und gegenüberliegende Seiten parallel  (a ‖ c) und (b ‖ d) sind.

Um den Flächeninhalt auszurechnen, hast du zwei Möglichkeiten. Möglichkeit 1 ist, dass du wieder die Grundseite a mit ihrer Höhe h multiplizierst.

Flächeninhalt Raute Formel: A = a · h

Du kannst aber auch die Diagonalen e und f multiplizieren und das Ergebnis durch 2 teilen.

Flächeninhalt Raute Formel: \textcolor{blue}{A=\frac{\text{e}\cdot \text{f}}{2}}

Flächenberechnung Raute Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt Raute

Winkel: Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß!

    \begin{align*}\textcolor{red}{\alpha}&\textcolor{red}{=\gamma}\\\textcolor{red}{\beta}&\textcolor{red}{=\delta}\end{align*}

Winkelsumme: α + β + γ + δ= 360°

Flächenberechnung Drachenviereck

Das Drachenviereck hat zwei Diagonalen e und f, die im rechten Winkel zueinander stehen. Die beiden Diagonalen teilen das Drachenviereck in vier rechtwinklige Dreiecke ein. Die zwei benachbarten Seiten (a=b) und (c=d) sind gleich lang.

Flächeninhalt Drachenviereck Formel: \textcolor{blue}{A=\frac{\text{e}\cdot \text{f}}{2}}

Flächenberechnung Drachenviereck Formel, Fläche berechnen
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Flächeninhalt Drachenviereck

Winkel: Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß!

    \begin{align*}\textcolor{red}{\alpha}&\textcolor{red}{=\gamma}\\\textcolor{red}{\beta}&\textcolor{red}{=\delta}\end{align*}

Winkelsumme: α + β + γ + δ= 360°

Flächenberechnung Kreis

Beim Kreis sind alle Punkte auf der Kreislinie gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt. Dieser Abstand ist der Radius r. Der Durchmesser d ist der größtmögliche Abstand zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie. 

Merke: Der Durchmesser ist immer zweimal der Radius!

Es gilt:

    \begin{align*}\textcolor{olive}{d}&= 2\cdot{\textcolor{orange}{r}}\\\textcolor{orange}{r}&=\frac{1}{2}\cdot{\textcolor{olive}{d}}\end{align*}

Flächeninhalt Kreis Formel: A = π · r

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Flächeninhalt Kreis

Beispiel: zusammengesetzte Flächen

Wenn du mehrere Flächen miteinander kombinierst, erhältst du eine zusammengesetzte Fläche. Wie kannst du ihren Flächeninhalt berechnen?

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Flächenberechnung Aufgabe: Zusammengesetzte Fläche

1. Schritt: Zerlege die zusammengesetzte Fläche in ihre einzelnen Figuren.

Der untere Teil der Figur ist ein Rechteck und der obere ein rechtwinkliges Dreieck.

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Zerlegte Figur

2.Schritt: Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

Für den Flächeninhalt des Rechtsecks gilt: A = a • b

Aus der Abbildung kannst du erkennen, dass dein Rechteck 8cm lang ist. Die Breite kennst du nicht. Allerdings kennst du die Gesamtlänge der Figur und die Breite des Dreiecks.

Die Breite des Recktecks erhältst du durch die Rechnung: 6cm2cm = 4cm

A = a • b = 8cm • 4cm = 32cm²

 

3.Schritt: Berechne den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gilt: A = 0,5 • a • b

Die Seitenlängen a = 2cm und b = 8cm kannst du aus der Abbildung ablesen.

A = 0,5 • a • b = 0,5 • 2cm • 8cm = 0,5 • 16cm² = 8cm²

 

4.Schritt: Addiere beide Flächeninhalte.

A = 32cm² + 8cm² = 40cm²

Flächeneinheiten umrechnen

Bei der Flächenberechnung musst du häufig auch, Flächeneinheiten umrechnen. Wie das geht, erfährst du in unserem passenden Video.

Zum Video: Flächeneinheiten
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