Geometrie
Geometrische Grundlagen
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Flächeninhalt einfach erklärt

Für den Flächeninhalt schaust du dir immer eine Fläche an. Eine Fläche ist eine Form mit einer Länge und einer Breite, zum Beispiel ein Blatt Papier oder ein Bierdeckel. Merke dir, dass eine Fläche nie in die Höhe geht, also nicht dreidimensional ist!

In Mathe haben viele Flächen eigene Namen, zum Beispiel Rechteck, Dreieck oder Kreis

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Flächeninhalt von Rechteck, Dreieck und Kreis

Die Größe einer solchen Fläche nennst du Flächeninhalt. Er sagt dir zum Beispiel, wie viel Farbe du brauchst, um die Fläche auszumalen. Sieh dir gleich die Formeln an, mit denen du die Flächen für verschiedene Formen berechnen kannst!

Flächeninhalt Quadrat

Schau dir ein Quadrat an.

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Flächeninhalt Quadrat
  • Seiten: alle vier Seiten a sind gleich lang
  • Winkel: alle Winkel sind 90° groß (α = β = γ = δ = 90°)
  • Winkelsumme: alle Winkel sind zusammen 360° groß (α + β + γ + δ = 360°)

Den Flächeninhalt A vom Quadrat berechnest du mit der Formel:

A = aa

Beispiel: Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 4 cm. Dann ist seine Fläche:

A = 4 cm4 cm = 16 cm2

Gut zu wissen: Einheit für Flächeninhalte

Die Einheiten für Flächeninhalte haben meistens ein „Quadrat“ im Namen, zum Beispiel Quadratzentimeter oder Quadratmeter. Du schreibst das mit einem hoch 2, also cm2 oder m2.

Flächeninhalt Rechteck

Schau dir ein Rechteck an.

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Flächeninhalt Rechteck
  • Seiten: die gegenüberliegenden Seiten sind immer gleich lang und parallel
  • Winkel: alle Winkel sind 90° groß (α = β = γ = δ = 90°)
  • Winkelsumme: alle Winkel sind zusammen 360° groß (α + β + γ + δ = 360°)

Der Flächeninhalt A vom Rechteck ist:

A = ab

Beispiel: Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 4 cm und b = 3 cm. Dann ist seine Fläche: 

A = 4 cm3 cm = 12 cm2

Flächeninhalt Dreieck

Schau dir jetzt ein Dreieck an.

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Flächeninhalt Dreieck
  • Seiten: die Seiten nennst du a, b und c. Sie können unterschiedlich lang sein. 
  • Höhe h: sie verläuft im rechten Winkel von einer Seite zu gegenüberliegenden Ecke.
  • Winkelsumme: alle Winkel sind zusammen 180° groß (α + β + γ = 180°)

Die Formel für den Flächeninhalt A vom Dreieck ist: 

A = 0,5 • g • h

Dabei ist g irgendeine Seite des Dreiecks (a, b oder c) und h die dazugehörige Höhe

Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlänge c = 5 cm und die dazugehörige Höhe h = 4 cm. Dann ist seine Fläche: 

A = 0,5 • 5 cm • 4 cm = 10 cm2

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Die beiden Seiten am rechten Winkel nennst du a und b.

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Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck

Die Formel für den Flächeninhalt A lautet dann: 

A = 0,5 • ab

Flächeninhalt Parallelogramm

Hier siehst du ein Parallelogramm .

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Flächeninhalt Parallelogramm
  • Seiten: die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel (a = c und b = d)
  • Höhe ha: der Abstand zwischen a und c
  • Winkel: die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß (α = γ und β = δ)
  • Winkelsumme: alle Winkel sind zusammen 360° groß (α + β + γ + δ = 360°)

Den Flächeninhalt A vom Parallelogramm berechnest du mit der Formel: 

A = a ha

Beispiel: Ein Parallelogramm hat die Seitenlänge a = 5 cm und die Höhe ha = 4 cm. Dann ist seine Fläche: 

A = 5 cm4 cm = 20 cm2

Flächeninhalt Trapez

Schau dir jetzt das Trapez an.

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Flächeninhalt Trapez
  • Seiten: nur zwei Seiten sind parallel (a || c)
  • Höhe h: der Abstand zwischen a und c
  • Winkel: die zwei Winkel auf einer Seite ergeben jeweils zusammen 180° (α + δ = 180° und β + γ = 180°)
  • Winkelsumme: alle Winkel sind zusammen 360° groß (α + β + γ + δ = 360°)

Die Formel für den Flächeninhalt A vom Trapez lautet:

A = 0,5 • (a + c) • h

Beispiel: Ein Trapez hat die Seitenlängen a = 5 cm, c = 3 cm und die Höhe h = 4 cm. Dann ist seine Fläche: 

A = 0,5 • (5 cm + 3 cm) • 4 cm = 16 cm2

Flächeninhalt Raute

Hier siehst du eine Raute .

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Flächeninhalt Raute
  • Seiten: alle Seiten sind gleich lang (a = b = c = d) und gegenüberliegende Seiten sind parallel (a || c und b || d)
  • Höhe h: der Abstand von zwei parallelen Seiten
  • Winkel: gegenüberliegende Winkel sind gleich groß  (α = γ und β = δ)
  • Winkelsumme: alle Winkel sind zusammen 360° groß (α + β + γ + δ = 360°)

Den Flächeninhalt A der Raute berechnest du so: 

A = a h

Beispiel: Eine Raute hat die Seitenlänge a = 5 cm und die Höhe h = 4 cm. Dann ist seine Fläche: 

A = 5 cm4 cm = 20 cm2

Flächeninhalt Kreis

Schau dir zum Schluss noch einen Kreis an.

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Flächeninhalt Kreis
  • Mittelpunkt M: der Punkt genau in der Mitte vom Kreis. Er hat von allen Punkten auf der Kreislinie den gleichen Abstand
  • Radius r: der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie
  • Durchmesser d: der größtmögliche Abstand von zwei Punkten auf der Kreislinie. Er ist doppelt so groß wie der Radius.

Die Formel für den Flächeninhalt A vom Kreis lautet:

A = π • r2

π (Pi) ist dabei eine feste Zahl und ungefähr 3,14 groß.

Beispiel: Ein Kreis hat einen Radius von r = 4 cm. Dann ist seine Fläche: 

A = π • (4 cm)2 = 50,27 cm2

Flächeninhalte zusammensetzte Flächen

Oft haben Flächen aber nicht nur eine der Formen, für die du eine Formel kennst. Du sprichst dann von zusammengesetzten Flächen. Schau dir dazu ein Beispiel an:

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Zusammengesetzte Figur

Hier gehst du so vor:

  • Schritt 1: Zerlege die Figur in Formen, die du kennst. In diesem Fall ist das zum Beispiel ein Quadrat und ein Dreieck.
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Flächeninhalt zusammensetzte Figur
  • Schritt 2: Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Figuren. 

AQuadrat = 4 cm4 cm = 16 cm2

ADreieck = 0,5 • 4 cm • 2 cm = 4 cm2

  • Schritt 3: Zähle die einzelnen Flächeninhalte zusammen:

A = 16 cm2 + 4 cm2 = 20 cm2

Prima! Die gesamte Figur hat also eine Fläche von 20 cm2.

Übrigens: Die Zerlegung in verschiedene bekannte Flächeninhalte ist nicht eindeutig. Im Beispiel oben hättest du deine Figur zum Beispiel auch in zwei Trapeze zerlegen können.

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Zusammengesetzte Flächen: Zerlegung in Trapeze

Schau dir jetzt noch an, was es mit Flächeninhalt und Umfang auf sich hat!

Flächeninhalt und Umfang

Du kennst dich nun bestens mit Flächen in Mathe aus! Aber was ist eigentlich der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?

Mit dem Flächeninhalt misst du die Größe der Fläche einer Figur, zum Beispiel eines Rechtecks. Beim Umfang dagegen rechnest du alle Seiten der Figur zusammen (Summe der Seitenlängen). Er ist also die Länge der Linie um die Figur herum (Begrenzungslinie).%FS Flächeninhalt und Umfang

Du willst mehr über den Umfang erfahren? Dann schau dir gleich unser Video zum Umfang vom Rechteck an. Viel Spaß!

Zum Video: Umfang Rechteck
Zum Video: Umfang Rechteck

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