Mathematische Grundlagen
Potenzen & Wurzeln
 – Video

In diesem Beitrag erfährst du, wie die Potenzgesetze lauten und wie du mit ihnen rechnen kannst. In unserem Video gehen wir nochmal viele Beispiele durch. Schau es dir also gleich an!

Potenzgesetze einfach erklärt

Die Potenzgesetze helfen dir beim Rechnen mit Potenzen. Eine Potenz ist eine kürzere Schreibweise, die du immer nutzt, wenn du eine Zahl öfters mit sich selbst multiplizieren möchtest.

\textcolor{orange}{2}^{\textcolor{teal}{5}} = \underbrace{\textcolor{orange}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}_{\text{\textcolor{teal}{5} mal}

Die 2 nennst du Basis und die 5 ist der Exponent.

Aber wie kannst du jetzt mit Potenzen rechnen? Hier siehst du die Exponentialgesetze auf einen Blick:

Beispiel Regel Erklärung

25 • 23=
25+3 = 28

xa • xb =
xa+b 

Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst,
kannst du die Exponenten addieren und die Basis gleich lassen. 

25 : 23 =
253 = 22
xa : xb =
xab

Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis dividierst,
subtrahierst du die Exponenten und lässt die Basis gleich. 

2343 =
(24)3 = 83

an • bn =
(ab)n 

Wenn du zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten multiplizierst,
multiplizierst du nur die Basis und lässt den Exponenten gleich.  

63 : 23 =
(6 : 2)3 = 33

anbn =
(ab)n 

Wenn du zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten dividierst,
dividierst du nur die Basis und lässt den Exponenten gleich.  

(25)3 =
25 3 = 215

(xa)b =
xa b

Wenn zwei Exponenten hintereinander stehen, kannst du die Exponenten multiplizieren.
2^{\frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{5}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{5}]{2^{\textcolor{red}{3}}} x^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{x^{\textcolor{red}{m}}} Wenn im Exponenten ein Bruch steht, kannst du die Potenz zu einer Wurzel umschreiben. 

Potenzgesetze gleiche Basis

Schau dir diese Potenzgesetze nun an ein paar Beispielen an. Als erstes sollst du Potenzen vereinfachen, die die gleiche Basis haben. Es unterscheiden sich dann nur die hochgestellten Zahlen, die sogenannten Exponenten.

Potenzen multiplizieren

Wenn du zwei Potenzen multiplizieren willst, die die gleiche Basis haben, dann kannst du stattdessen auch die beiden Exponenten addieren. Diese Rechnung stellst du dann als eine Potenz dar.

2^{\textcolor{red}{2}} \cdot 2^{\textcolor{blue}{4}} = 2^{\textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{4}} = 2^6 = 64

Beispiele zum Potenzen multiplizieren:

  • 10^{\textcolor{red}{3}} \cdot 10^{\textcolor{blue}{2}} = 10^{\textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{2}} = 10^5=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  • 3 \cdot 3^{\textcolor{blue}{4}} = 3^{\textcolor{red}{1}} \cdot 3^{\textcolor{blue}{4}} = 3^{\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4}} = 3^5 =3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243
  • 5^{\textcolor{red}{5}} \cdot 5^{\textcolor{blue}{7}}=5^{\textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{7}} = 5^{12}
Potenzen multiplizieren

Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren willst, musst du nur die Exponenten addieren.

    \[\mbox{\huge$x^{\textcolor{red}{a}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} = x^{\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b}}$}\]

Potenzen dividieren

Wenn du zwei Potenzen dividieren willst, die die gleiche Basis haben, dann kannst du stattdessen die beiden Exponenten voneinander abziehen.

    \[ 4^{\textcolor{red}{5}} : 4^{\textcolor{blue}{2}} = \frac{4^{\textcolor{red}{5}}}{4^{\textcolor{blue}{2}}} = 4^{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{2}} = 4^3 = 64 \]

Beispiele fürs Potenzen dividieren:

  • 5^{\textcolor{red}{3}} : 5 = \frac{5^{\textcolor{red}{3}}}{5^{\textcolor{blue}{1}}} = 5^{\textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1}} = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25
  • \frac{2^{\textcolor{red}{7}}}{2^{\textcolor{blue}{3}}} = 2^{\textcolor{red}{7} - \textcolor{blue}{3}} = 2^4= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16
  • 7^{\textcolor{red}{6}} : 7^{\textcolor{blue}{5}} = \frac{7^{\textcolor{red}{6}}}{7^{\textcolor{blue}{5}}} = 7^{\textcolor{red}{6} - \textcolor{blue}{5}} = 7^1=7
Potenzen dividieren

Wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, ziehst du die Exponenten voneinander ab. 

    \[\mbox{\huge $x^{\textcolor{red}{a}} : x^{\textcolor{blue}{b}} = \frac{x^{\textcolor{red}{a}}}{x^{\textcolor{blue}{b}}} = x^{\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b}}$} \]

Potenzrechnung: Potenz potenzieren

Du willst doppelte Potenzen vereinfachen? Das nächste der Exponentialgesetze bezieht sich auf die Potenz einer Potenz. Rechnest du eine Potenz hoch eine andere Zahl, kannst du die Exponenten einfach miteinander multiplizieren, so wie hier die 3 und die 4.

(2^{\textcolor{red}{3}})^{\textcolor{blue}{4}} = 2^{\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{4}} = 2^{12} = 4 096

Beispiele:

  • (5^{\textcolor{red}{2}})^{\textcolor{blue}{2}} = 5^{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}} = 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625
  • (10^{\textcolor{red}{5}})^{\textcolor{blue}{3}} = 10^{\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{3}} = 10^{15}
Potenzrechnung: Potenz potenzieren

Wenn du eine Potenz innerhalb einer anderen Potenz berechnen willst, multiplizierst du einfach die hochgestellten Zahlen miteinander.

    \[\mbox{\huge $(x^{\textcolor{red}{a}})^{\textcolor{blue}{b}} = x^{\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}}$} \]

Potenzgesetze gleicher Exponent

Hast du bei der Potenzrechnung den gleichen Exponenten aber verschiedene Zahlen als Basis vorliegen, kannst du deine Potenzen mit folgenden Exponentialgesetzen vereinfachen.

Multiplikation gleicher Exponent

Weil 23 und 43 beide eine Drei als Exponent haben, multiplizierst du zuerst die beiden Zahlen und rechnest dann hoch 3.

    \[ {\textcolor{red}{2}}^3 \cdot {\textcolor{blue}{4}}^3 = (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4})^3 = 8^3 =  512 \]

Beispiele fürs Potenzen vereinfachen (Mulitplikation):

  • \textcolor{red}{5}^2 \cdot \textcolor{blue}{7}^2 = (\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{7})^2 = 35^2 = 35 \cdot 35 = 1225
  • \textcolor{red}{10}^3 \cdot \textcolor{blue}{2}^3 = (\textcolor{red}{10} \cdot \textcolor{blue}{2})^3 = 20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000

Auch hier kannst du das Potenzgesetz allgemein darstellen:

Potenzen multiplizieren — gleicher Exponent

Wenn du Potenzen mit gleichem Exponenten mal nimmst, multiplizierst du zunächst die beiden Basen. Der Exponent ändert sich nicht.

    \[\mbox{\huge $\textcolor{red}{a}^n \cdot \textcolor{blue}{b}^n = (\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b})^n$}\]

Division gleicher Exponent

Genauso kannst du bei 43 : 23 erst die beiden Basiszahlen dividieren und dann das Ergebnis hoch 3 rechnen. 

\textcolor{red}{4}^3 : \textcolor{blue}{2}^3 = \frac{\textcolor{red}{4}^3}{\textcolor{blue}{2}^3} = (\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{2}})^3 = (\textcolor{red}{4} : \textcolor{blue}{2})^3 = 2^3 = 8

Beispiele für Potenzen vereinfachen (Division):

  • \textcolor{red}{12}^2 : \textcolor{blue}{3}^2 = \frac{\textcolor{red}{12}^2}{\textcolor{blue}{3}^2} = (\frac{\textcolor{red}{12}}{\textcolor{blue}{3}})^2 = (\textcolor{red}{12} : \textcolor{blue}{3})^2 = 4^2 = 4 \cdot 4 = 16
  • \frac{\textcolor{red}{3}^8}{\textcolor{blue}{5}^8} = \left(\frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{5}}\right)^8
Potenzen dividieren — gleicher Exponent

Bei einer Division mit gleichem Exponenten berechnest du zuerst die neue Basis. Den Exponenten lässt du stehen.

    \[\mbox{\huge$\textcolor{red}{a}^n : \textcolor{blue}{b}^n = (\textcolor{red}{a} : \textcolor{blue}{b})^n = \left(\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right)^n = \frac{\textcolor{red}{a}^n}{\textcolor{blue}{b}^n}$}\]

Negative Potenzen / Negative Basis

Wenn du beim Rechnen mit Potenzen eine negative Zahl in der Basis hast, kommt es stark auf die Schreibweise an. 

  • 52 = (5 · 5) = 25
  • (-5)2 = (-5) · (-5) = +25

Es ist also besonders wichtig, dass du alle Klammern mit aufschreibst, wenn negative Potenzen vorkommen. Außerdem kannst du dir merken, dass das Minuszeichen bei geraden Exponenten wie 2, 4 oder 10 verschwindet und bei ungeraden Exponenten wie 3 oder 5 erhalten bleibt.

  • (-3)2 = (-3) • (-3) = 9
  • (-3)3 = (-3) • (-3) • (-3) = -27

Prima! Jetzt kannst du auch mit negativen Potenzen rechnen!

Potenzen addieren? Potenzgesetze Addition und Subtraktion

Es gibt kein Potenzgesetz zur Addition. Hast du zum Beispiel 23 und 25 und willst diese Potenzen addieren, dann musst du die Potenzen zuerst einzeln ausrechnen. Fürs Potenzen addieren und auch fürs Potenzen subtrahieren gibt es keine Regel. 

Besondere Exponenten Potenzrechnung

Abschließend stellen wir dir noch einige Exponenten Gesetze vor, die das Rechnen mit Potenzen bei besonderen Exponenten betreffen: das Rechnen mit negativen Potenzen, Potenzgesetze der Wurzel und Exponenten 0 und 1.

Potenzrechnen — Negativer Exponent

Hast du eine negative Zahl als Exponent, dann wandert die Basis in den Bruch eines Nenners. Die hochgestellte Zahl nimmst du dabei mit.

    \[\mbox{\huge $x^{\textcolor{red}{-n}} = \frac{1}{x^{\textcolor{red}{n}}}$} \]

Beispiele für negative Potenzen:

  • 2^{\textcolor{red}{-3}} = \frac{1}{2^{\textcolor{red}{3}}} = \frac{1}{8}
  • 5^{\textcolor{red}{-2}} = \frac{1}{5^{\textcolor{red}{2}}} = \frac{1}{25}
  • x^{\textcolor{red}{-1}} = \frac{1}{x^{\textcolor{red}{1}}} = \frac{1}{x}

Potenzrechnen — Potenzgesetze Wurzel

Wenn der vorliegende Exponent ein Bruch ist, dann brauchst du das Potenzgesetz für die Wurzel. Die Zahl im Nenner gibt dir dabei an, die wievielte Wurzel du ziehen musst. Die Zahl im Zähler nimmst du als Exponent mit.

    \[\mbox{\huge $x^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{x^{\textcolor{red}{m}}}$}\]

Beispiele für Potenzgesetze zur Wurzel:

  • 9^{\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{9^{\textcolor{red}{1}}} = \sqrt{9} = 3
  • 5^{\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{5^{\textcolor{red}{2}}} = \sqrt[3]{25}
  • x^{\frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{2}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{x^{\textcolor{red}{5}}}=\sqrt{x^5}

Potenzrechnen — Exponenten 0 und 1

Unabhängig von den vorgestellten Exponenten Gesetze gibt es noch zwei besondere Exponenten. Hast du eine Zahl hoch null vorliegen, dann ist das Ergebnis per Definition immer Eins.

  • x0 = 1
  • 50 = 1
  • (-27)0 = 1

Außerdem ist beim Rechnen mit Potenzen eine Zahl hoch Eins immer die Zahl selbst.

  • a1 = a
  • 71 = 7
  • 201 = 20

Potenzgesetze Aufgaben

Super! Du weißt nun, welche Potenzgesetze es gibt. Im nächsten Video lernst du viele verschiedene Potenzgesetze Aufgaben kennen und übst die Potenzrechnung. Bis gleich!

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Zum Video: Potenzgesetze Aufgaben

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