Lineare Algebra

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie die Potenzgesetze lauten und wie du mit ihnen rechnen kannst. In unserem Video gehen wir nochmal viele Beispiele durch. Schau es dir also gleich an!

Inhaltsübersicht

Potenzgesetze einfach erklärt

Die Potenzgesetze helfen dir beim Rechnen mit Potenzen. Eine Potenz ist eine kürzere Schreibweise, die du immer dann nutzt, wenn du eine Zahl öfters mit sich selbst multiplizierst.

2^{\textcolor{red}{6}} = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{red}{6} mal}

Die Ausdrücke bestehen dabei aus einer Basis b und einer hochgestellten Zahl n, dem Exponenten. Er sagt dir, wie oft du die Zahl in der Basis mit sich selbst multiplizieren musst.

b^{\textcolor{red}{n}} = \underbrace{b \cdot b \cdot ... \cdot b}_{\text{\textcolor{red}{n} mal}}

Es gibt dabei verschiedene Potenzgesetze, die wir uns gleich genauer ansehen werden.

Potenzgesetze

x^{\textcolor{red}{a}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} = x^{\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b}}                                 \textcolor{red}{a}^n \cdot \textcolor{blue}{b}^n = (\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b})^n

x^{\textcolor{red}{a}} : x^{\textcolor{blue}{b}} = \frac{x^{\textcolor{red}{a}}}{x^{\textcolor{blue}{b}}} = x^{\textcolor{red}{a} -\textcolor{blue}{b}}                     \textcolor{red}{a}^n : \textcolor{blue}{b}^n = (\textcolor{red}{a} : \textcolor{blue}{b})^n

(x^{\textcolor{red}{a}})^{\textcolor{blue}{b}} = x^{\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}}                                      x^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{x^{\textcolor{red}{m}}}

Hinweis: Wenn du zum Thema Potenzgesetze Aufgaben sehen möchtest, schau dir unser extra Video dazu an!

Potenzgesetze gleiche Basis

Bei diesen Potenzgesetzen ist die Basis, also die große normal geschriebene Zahl, die Gleiche. Es unterscheiden sich dann nur die hochgestellten Zahlen, die sogenannten Exponenten

Potenzgesetz Multiplikation

Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Zahl als Basis hast, wie zum Beispiel bei 22 · 24, dann kannst du stattdessen auch die beiden hochgestellten Zahlen addieren und die Rechnung als eine Potenz darstellen. 

2^{\textcolor{red}{2}} \cdot 2^{\textcolor{blue}{4}} = \underbrace{\underbrace{2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{red}{2} mal}} \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{blue}{4} mal}}}_{\text{6 mal}}= 2^{\textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{4}} = 2^6 = 64

Beispiele:

  • 10^{\textcolor{red}{3}} \cdot 10^{\textcolor{blue}{2}} = 10^{\textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{2}} = 10^5=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  • 3 \cdot 3^{\textcolor{blue}{4}} = 3^{\textcolor{red}{1}} \cdot 3^{\textcolor{blue}{4}} = 3^{\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{4}} = 3^5 =3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243
  • 5^{\textcolor{red}{5}} \cdot 5^{\textcolor{blue}{7}}=5^{\textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{7}} = 5^{12}

Bei dieser Potenzregel sind zwei gleiche Zahlen mit einem Malzeichen verbunden. Hier addierst du dann einfach ihre Exponenten

x^{\textcolor{red}{a}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} = x^{\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b}}

Potenzgesetz Division

Wenn du zwei Zahlen mit der gleichen Basis dividierst, wie zum Beispiel 45 : 42, dann kannst du stattdessen die beiden Exponenten voneinander abziehen.

4^{\textcolor{red}{5}} : 4^{\textcolor{blue}{2}} = \frac{4^{\textcolor{red}{5}}}{4^{\textcolor{blue}{2}}} = \frac{4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4}{4 \cdot 4} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{\textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{2}} = 4^3 = 64

Beispiele:

  • 5^{\textcolor{red}{3}} : 5 = \frac{5^{\textcolor{red}{3}}}{5^{\textcolor{blue}{1}}} = 5^{\textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1}} = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25
  • \frac{2^{\textcolor{red}{7}}}{2^{\textcolor{blue}{3}}} = 2^{\textcolor{red}{7} - \textcolor{blue}{3}} = 2^4= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16
  • 7^{\textcolor{red}{6}} : 7^{\textcolor{blue}{5}} = \frac{7^{\textcolor{red}{6}}}{7^{\textcolor{blue}{5}}} = 7^{\textcolor{red}{6} - \textcolor{blue}{5}} = 7^1=7

Wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, ziehst du die Exponenten voneinander ab. 

x^{\textcolor{red}{a}} : x^{\textcolor{blue}{b}} = \frac{x^{\textcolor{red}{a}}}{x^{\textcolor{blue}{b}}} = x^{\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b}}

Regel Potenz potenzieren

Die nächste der Potenzregeln bezieht sich auf die Potenz einer Potenz. Rechnest du eine Potenz hoch eine andere Zahl, kannst du die Exponenten einfach miteinander multiplizieren, so wie hier die 3 und die 4.

(2^{\textcolor{red}{3}})^{\textcolor{blue}{4}} = \underbrace{(2^{\textcolor{red}{3}}) \cdot (2^{\textcolor{red}{3}}) \cdot(2^{\textcolor{red}{3}}) \cdot (2^{\textcolor{red}{3}})}_{\text{\textcolor{blue}{4} mal}}

=\underbrace{ {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{red}{3} mal}}} \cdot {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{red}{3} mal}}} \cdot {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{red}{3} mal}} } \cdot  {\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{red}{3} mal}}} }_{\text{\textcolor{blue}{4} mal}}

= 2^{\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{4}} = 2^{12} = 4 096

Beispiele:

  • (5^{\textcolor{red}{2}})^{\textcolor{blue}{2}} = 5^{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}} = 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625
  • (10^{\textcolor{red}{5}})^{\textcolor{blue}{3}} = 10^{\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{3}} = 10^{15}

Wenn du eine Potenz hoch eine Zahl rechnest, dann kommst du zum selben Ergebnis, wie wenn du die beiden Exponenten multiplizierst. 

(x^{\textcolor{red}{a}})^{\textcolor{blue}{b}} = x^{\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}}

Potenzgesetze gleicher Exponent

Hast du den gleichen Exponenten aber verschiedene Zahlen als Basis vorliegen, dann verwendest du die folgenden Potenzgesetze.

Multiplikation gleicher Exponent

Weil 23 und 43 beide eine Drei als Exponent haben, multiplizierst du zuerst die beiden Zahlen und rechnest dann hoch 3.

{\textcolor{red}{2}}^3 \cdot {\textcolor{blue}{4}}^3 = \underbrace{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{2}}_{\text{3 mal}} \cdot \underbrace{\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{4}}_{\text{3 mal}}

=\underbrace{(\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4}) \cdot (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4}) \cdot (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4})}_{\text{3 mal}}

=(\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{4})^3 = 8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512

Beispiele:

  • \textcolor{red}{5}^2 \cdot \textcolor{blue}{7}^2 = (\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{7})^2 = 35^2 = 35 \cdot 35 = 1225
  • \textcolor{red}{10}^3 \cdot \textcolor{blue}{2}^3 = (\textcolor{red}{10} \cdot \textcolor{blue}{2})^3 = 20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000

Auch hier kannst du das Potenzgesetz allgemein darstellen.

\textcolor{red}{a}^n \cdot \textcolor{blue}{b}^n = (\textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b})^n

Division gleicher Exponent

Genauso kannst du bei 43 : 23 erst die beiden Basiszahlen dividieren und dann das Ergebnis hoch 3 rechnen. 

\textcolor{red}{4}^3 : \textcolor{blue}{2}^3 = \frac{\textcolor{red}{4}^3}{\textcolor{blue}{2}^3} =\frac{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{blue}{2}} = \underbrace{\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{2}} }_{\text{3 mal}}

=(\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{2}})^3 = (\textcolor{red}{4} : \textcolor{blue}{2})^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Beispiele:

  • \textcolor{red}{12}^2 : \textcolor{blue}{3}^2 = \frac{\textcolor{red}{12}^2}{\textcolor{blue}{3}^2} = (\frac{\textcolor{red}{12}}{\textcolor{blue}{3}})^2 = (\textcolor{red}{12} : \textcolor{blue}{3})^2 = 4^2 = 4 \cdot 4 = 16
  • \frac{\textcolor{red}{3}^8}{\textcolor{blue}{5}^8} = \left(\frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{5}}\right)^8

Bei einer Division berechnest du zuerst die neue Basis und ziehst die Potenz heraus.

\textcolor{red}{a}^n : \textcolor{blue}{b}^n = (\textcolor{red}{a} : \textcolor{blue}{b})^n = \left(\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right)^n = \frac{\textcolor{red}{a}^n}{\textcolor{blue}{b}^n}

Negative Basis

Wenn du eine negative Zahl in der Basis hast, kommt es stark auf die Schreibweise an. 

  • 52 = -(5 · 5) = 25
  • (-5)2 = (-5) · (-5) = +25

Es ist also besonders wichtig, dass du alle Klammern mit aufschreibst, wenn eine negative Zahl als Basis vorkommt. Außerdem kannst du dir merken, dass das Minuszeichen bei geraden Exponenten wie 2, 4 oder 10 verschwindet und bei ungeraden Exponenten wie 3 oder 5 erhalten bleibt.

  • (-3)2 = 9
  • (-3)3 = -27

Besondere Exponenten Regeln

Abschließend stellen wir dir noch einige Potenzregeln vor, die besondere Exponenten betreffen.

Negativer Exponent

Hast du eine negative Zahl als Exponent, dann wandert die Basis in den Bruch eines Nenners. Die hochgestellte Zahl nimmst du dabei mit.

x^{\textcolor{red}{-n}} = \frac{1}{x^{\textcolor{red}{n}}}

Beispiele:

  • 2^{\textcolor{red}{-3}} = \frac{1}{2^{\textcolor{red}{3}}} = \frac{1}{8}
  • 5^{\textcolor{red}{-2}} = \frac{1}{5^{\textcolor{red}{2}}} = \frac{1}{25}
  • x^{\textcolor{red}{-1}} = \frac{1}{x^{\textcolor{red}{1}}} = \frac{1}{x}

Bruch in Potenz

Wenn der vorliegende Exponent ein Bruch ist, dann ziehst du eine Wurzel. Die Zahl im Nenner gibt dir dabei an, die wievielte Wurzel du ziehen musst. Die Zahl im Zähler nimmst du als Exponent mit.

x^{\frac{\textcolor{red}{m}}{\textcolor{blue}{n}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{n}]{x^{\textcolor{red}{m}}}

Beispiele:

  • 9^{\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{9^{\textcolor{red}{1}}} = \sqrt{9} = 3
  • 5^{\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{3}]{5^{\textcolor{red}{2}}} = \sqrt[3]{25}
  • x^{\frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{2}}} = \sqrt[\textcolor{blue}{2}]{x^{\textcolor{red}{5}}}=\sqrt{x^5}

Exponenten 0 und 1

Unabhängig von den vorgestellten Potenzregeln gibt es noch zwei besondere Exponenten. Hast du eine Zahl hoch null vorliegen, dann ist das Ergebnis per Definition immer Eins.

  • x0 = 1
  • 50 = 1
  • (-27)0 = 1

Außerdem ist eine Zahl hoch Eins immer die Zahl selbst.

  • a1 = a
  • 71 = 7
  • 201 = 20

Potenzgesetze Aufgaben

Super! Du weißt nun welche Potenzgesetze es gibt. Im nächsten Video bekommst du die Anwendung der Potenzregeln anhand verschiedener Aufgaben noch einmal genau erklärt. Schau es dir unbedingt an, damit du die Potenzgesetze für deine nächste Prüfung auf jeden Fall drauf hast!

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Zum Video: Potenzgesetze Aufgaben

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