Additionstheoreme
Der folgende Beitrag enthält eine Formelsammlung der Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens, sowie deren Beweise.
Du möchtest möglichst schnell die Herleitung der Additionstheoreme verstehen? Dann schau dir am besten unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Additionstheoreme Sinus
Additionstheoreme Cosinus
Additionstheoreme Tangens
Additionstheoreme Sinus
Wir wollen zeigen, dass gilt
.
Dafür betrachten wir
und
.
Berechnen wir die Summe der beiden Terme, ergibt sich
.
Analog können wir die Differenz der Terme berechnen und erhalten
.
Damit sind die Theoreme für die Sinus Funktion gezeigt.
Addititonstheoreme Tangens
Wir wollen zeigen, dass gilt
.
Hierfür betrachten wir zunächst den Zähler .
Mit der Definition von Tangens erhalten wir hier
Wir können jetzt das bereits bewiesene Additionstheorem für Sinus anwenden, welches uns
liefert. Nun betrachten wir den Nenner und erhalten mit dem bereits bewiesenen Additionstheorem für Cosinus
.
Bilden wir den Quotienten ergibt sich schließlich
,
was zu zeigen war. Das zweite Additionstheorem des Tangens wird analog zum ersten bewiesen.
Die Additionstheoreme für Winkelfunktionen sind Formeln, mit denen du die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens) von Summen und Differenzen berechnest. Dafür brauchst du nur die Funktionsweise der einzelnen Winkel.