Mathematische Grundlagen

Polynomdivision Aufgaben

Dieser Beitrag ergänzt unseren Artikel zur Polynomdivision  um eine Vielzahl an Aufgaben. Zu jeder Aufgabe gibt es auch eine Lösung. %</span>Zusätzlich findest du ein ausführliches Video <span style="color: #00ff00;">verlinken</span> mit <strong>Polynomdivision Aufgaben</strong>.<span style="color: #00ff00;">

Inhaltsübersicht

Polynomdivision Aufgabe 1

Berechne die folgende Polynomdivision

(x^2 - 4x - 21) : (x+3).

Lösung zu Aufgabe 1

Der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom ist x^2. Um mit dem Polynom x + 3 ein x^2 zu erhalten, müssen wir es mit x multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&-4&x&-21&&) : \textcolor{blue}{(x+3)}=\textcolor{red}{x}\\ -(1&x^2&+3&x)  \leftarrow \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{(x + 3)} \\ \cline{1-4} \end{alignat*}

Wir ergänzen zu x^2 den nächsten Term -4x und ziehen davon das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ab.

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&\textcolor{red}{-4}&\textcolor{red}{x}&-21&&):(x+3)=x\\ \textcolor{blue}{-(1}&\textcolor{blue}{x^2}&\textcolor{blue}{+3}&\textcolor{blue}{x)} \\ \cline{1-3} &&-7&x&&\end{alignat*}

Zu -7x ergänzen wir den nächsten Teil des ersten Polynoms -21 und erhalten 

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-4&x&\textcolor{red}{-21}&&):(x+3)=x\\ -(1&x^2&+3&x) \\ \cline{1-3} &&-7&x&\textcolor{red}{-21}&\end{alignat*}

Der Term mit dem höchsten Exponenten ist jetzt -7x. Wir müssen daher das zweite Polynom mit -7 multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-4&x&-21&):\textcolor{blue}{(x+3)}=x \textcolor{red}{-7}\\ -(1&x^2&+3&x) \\ \cline{1-3} &&-7&x&-21& \\ &&-(-7&x&-21&) \leftarrow \textcolor{red}{-7} \cdot \textcolor{blue}{(x + 3)}\\ \cline{3-5} &&&&& \end{alignat*}

Nun subtrahieren wir wieder

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-4&x&-21&):(x+3)=x -7\\ -(1&x^2&+3&x) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{red}{-7}&\textcolor{red}{x}&\textcolor{red}{-21}& \\ &&\textcolor{blue}{-(-7}&\textcolor{blue}{x}&\textcolor{blue}{-21}&\textcolor{blue}{)} \\ \cline{3-5} &&&&0& \end{alignat*}

Damit sind wir ans Ende der Polynomdivision gelangt.

Polynomdivision Aufgabe 2

Berechne die folgende Polynomdivision

(x^2 - 3x - 40) : (x - 8).

Lösung zu Aufgabe 2

Der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom ist x^2. Um diesen mit dem zweiten Polynom x - 8 verschwinden zu lassen, müssen wir das zweite Polynom mit x multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&-3&x&-40&&) : \textcolor{blue}{(x-8)}=\textcolor{red}{x}\\ -(1&x^2&-8&x)  \leftarrow \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{(x - 8)} \\ \cline{1-4} \end{alignat*}

Wir ergänzen zu x^2 den nächsten Term -3x und ziehen davon das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ab

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&\textcolor{red}{-3}&\textcolor{red}{x}&-40&&):(x-8)=x\\ \textcolor{blue}{-(1}&\textcolor{blue}{x^2}&\textcolor{blue}{-8}&\textcolor{blue}{x)} \\ \cline{1-3} &&5&x&&\end{alignat*}

Zu 5x ergänzen wir den nächsten Teil des ersten Polynoms -40 und erhalten 

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-3&x&\textcolor{red}{-40}&&):(x-8)=x\\ -(1&x^2&-8&x) \\ \cline{1-3} &&5&x&\textcolor{red}{-40}&\end{alignat*}

Der Term mit dem höchsten Exponenten ist jetzt 5x. Wir müssen daher das zweite Polynom mit 5 multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-3&x&-40&):\textcolor{blue}{(x-8)}=x \textcolor{red}{+5}\\ -(1&x^2&-8&x) \\ \cline{1-3} &&5&x&-40& \\ &&-(5&x&-40&) \leftarrow \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{(x - 8)}\\ \cline{3-5} &&&&& \end{alignat*}

Nun subtrahieren wir wieder

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-3&x&-40&):(x-8)=x +5\\ -(1&x^2&-8&x) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{red}{5}&\textcolor{red}{x}&\textcolor{red}{-40}& \\ &&\textcolor{blue}{-(5}&\textcolor{blue}{x}&\textcolor{blue}{-40}&\textcolor{blue}{)} \\ \cline{3-5} &&&&0& \end{alignat*}

Damit sind wir ans Ende der Polynomdivision gelangt.

 

Polynomdivision Aufgabe 3

Berechne die folgende Polynomdivision

(x^2 + 5x - 3) : (x + 2).

Lösung zu Aufgabe 3

Der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom ist x^2. Um diesen mit dem zweiten Polynom x + 2 verschwinden zu lassen, müssen wir das zweite Polynom mit x multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&+5&x&-3&&) : \textcolor{blue}{(x+2)}=\textcolor{red}{x}\\ -(1&x^2&+2&x)  \leftarrow \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{(x+2)} \\ \cline{1-4} \end{alignat*}

Wir ergänzen zu x^2 den nächsten Term 5x und ziehen davon das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ab

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&\textcolor{red}{5}&\textcolor{red}{x}&-3&&):(x+2)=x\\ \textcolor{blue}{-(1}&\textcolor{blue}{x^2}&\textcolor{blue}{+2}&\textcolor{blue}{x)} \\ \cline{1-3} &&3&x&&\end{alignat*}

Zu 3x ergänzen wir den nächsten Teil des ersten Polynoms -3 und erhalten 

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&+5&x&\textcolor{red}{-3}&&):(x+2)=x\\ -(1&x^2&+2&x) \\ \cline{1-3} &&3&x&\textcolor{red}{-3}&\end{alignat*}

Der Term mit dem höchsten Exponenten ist jetzt 3x. Wir müssen daher das zweite Polynom mit 3 multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&5&x&-3&):\textcolor{blue}{(x+2)}=x \textcolor{red}{+3}\\ -(1&x^2&+2&x) \\ \cline{1-3} &&3&x&-3& \\ &&-(3&x&+6&) \leftarrow \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{(x+2)}\\ \cline{3-5} &&&&& \end{alignat*}

Nun subtrahieren wir wieder

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&+5&x&-3&): \textcolor{violet}{(x+2)}= x + 5 + \frac{\textcolor{orange}{-9}}{\textcolor{violet}{x+2}}\\ -(1&x^2&+2&x) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{x}&\textcolor{red}{-3}& \\ &&\textcolor{blue}{-(3}&\textcolor{blue}{x}&\textcolor{blue}{+6}&\textcolor{blue}{)} \\ \cline{3-5} &&&&\textcolor{orange}{-9}& \end{alignat*}

Damit sind wir ans Ende der Polynomdivision gelangt.

Polynomdivision Aufgabe 4

Berechne die folgende Polynomdivision

(x^2 - 2x + 4) : (x - 6).

Lösung zu Aufgabe 4

Der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom ist x^2. Um diesen mit dem zweiten Polynom x - 6 verschwinden zu lassen, müssen wir das zweite Polynom mit x multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&-2&x&+4&&) : \textcolor{blue}{(x-6)}=\textcolor{red}{x}\\ -(1&x^2&-6&x)  \leftarrow \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{(x-6)} \\ \cline{1-4} \end{alignat*}

Wir ergänzen zu x^2 den nächsten Term -2x und ziehen davon das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ab

    \begin{alignat*}{6} (\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{x^2}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{x}&+4&&):(x-6)=x\\ \textcolor{blue}{-(1}&\textcolor{blue}{x^2}&\textcolor{blue}{-6}&\textcolor{blue}{x)} \\ \cline{1-3} &&4&x&&\end{alignat*}

Zu 4x ergänzen wir den nächsten Teil des ersten Polynoms +4 und erhalten 

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-2&x&\textcolor{red}{+4}&&):(x-6)=x\\ -(1&x^2&-6&x) \\ \cline{1-3} &&4&x&\textcolor{red}{+4}&\end{alignat*}

Der Term mit dem höchsten Exponenten ist jetzt 4x. Wir müssen daher das zweite Polynom mit 4 multiplizieren, also

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-2&x&+4&):\textcolor{blue}{(x-6)}=x \textcolor{red}{+4}\\ -(1&x^2&-6&x) \\ \cline{1-3} &&4&x&+4& \\ &&-(4&x&-24&) \leftarrow \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{(x-6)}\\ \cline{3-5} &&&&& \end{alignat*}

Nun subtrahieren wir wieder

    \begin{alignat*}{6} (1&x^2&-2&x&+4&): \textcolor{violet}{(x-6)}= x + 4 + \frac{\textcolor{orange}{28}}{\textcolor{violet}{x-6}}\\ -(1&x^2&-6&x) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{red}{4}&\textcolor{red}{x}&\textcolor{red}{+4}& \\ &&\textcolor{blue}{-(4}&\textcolor{blue}{x}&\textcolor{blue}{-24}&\textcolor{blue}{)} \\ \cline{3-5} &&&&\textcolor{orange}{28}& \end{alignat*}

Damit sind wir ans Ende der Polynomdivision gelangt.

Polynomdivision Aufgabe 5

Du hast das folgende Polynom gegeben

f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2.

Dieses Polynom besitzt die Nullstelle x_0 = -2. Berechne die fehlenden Nullstellen x_1 und x_2.

Lösung zu Aufgabe 5

Im ersten Schritt berechnen wir die Polynomdivision

(x^3 + 2x^2 - x - 2) : (x + 2).

Das zweite Polynom lautet x + 2 und nicht x - 2, da die gegebene Nullstelle ein negatives Vorzeichen besitzt. Das Ergebnis der Polynomdivision lautet:

    \begin{alignat*}{6} (1&x^3&+2&x^2&-1&x&-2&):(x+2)=x^2 -1\\ -(1&x^3&+2&x^2) \\ \cline{1-3} &&-1&x&-2& \\ &&-(-1&x&-2&) \\ \cline{3-5} &&&&0& \end{alignat*}

Wir haben durch die Polynomdivision ein neues Polynom erhalten

x^2 - 1.

An dieser Stelle solltest du erkennen, dass durch die Polynomdivision der höchste Exponent nicht mehr 3, sondern 2 ist. Du kannst also die dir bekannten Methoden zum Bestimmen der Nullstellen verwenden, wie die Mitternachtsformel oder die pq-Formel . Dadurch erhältst du hier die zwei weiteren Nullstellen

x_1 = +1 und x_2 = -1.

Zusatz: Linearfaktoren und Probe

Zusätzlich zum Berechnen der Nullstellen, könntest du durch die Aufgabe darum gebeten werden, das Polynom f(x) in Linearfaktoren zu zerlegen und eine Probe durchzuführen. Wir zeigen dir, wie du das in diesem Fall machst.

Wir haben die folgenden drei Nullstellen

x_0 = -2, x_1 = +1 und x_2 = -1.

Die Zerlegung von f(x) in Linearfaktoren sieht dann so aus

f(x) = (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x + 1).

Du verwendest also das Rezept „x MINUS Nullstelle“. Wichtig ist das „MINUS“. Dadurch dreht sich das Vorzeichen in der Zerlegung um. 

Für die Probe multiplizierst du schrittweise die Klammern aus

(x + 2) \cdot (x-1) \cdot (x + 1) = (x^2 - x + 2x - 2) \cdot (x + 1) = (x^2 + x - 2) \cdot (x + 1) = x^3 + x^2 + x^2 + x - 2x - 2 = x^3 + 2x^2 - x - 2.

Das Ergebnis am Ende ist gerade das Polynom f(x)

Polynomdivision Aufgabe 6

Du hast das folgende Polynom gegeben

f(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36.

Dieses Polynom besitzt die Nullstelle x_0 = 3. Berechne die fehlenden Nullstellen x_1 und x_2.

Lösung zu Aufgabe 6

Im ersten Schritt berechnen wir die Polynomdivision

(x^3 + 4x^2 - 9x - 36) : (x - 3).

Das zweite Polynom lautet x - 3 und nicht x + 3, da die gegebene Nullstelle ein positives Vorzeichen besitzt. Das Ergebnis der Polynomdivision lautet:

    \begin{alignat*}{6} (1&x^3&+4&x^2&-9&x&-36&):(x-3)=x^2 +7x + 12\\ -(1&x^3&-3&x^2) \\ \cline{1-3} &&7&x^2&-9&x& \\ &&-(7&x^2&-21&x) \\ \cline{3-5} &&&&12&x &-36& \\ &&&&-(12&x &-36&) \\ \cline{6-7} &&&&&&0& \end{alignat*}

Die Polynomdivision liefert uns ein neues Polynom

x^2 + 7x + 12.

Dieses besitzt als größten Exponenten 2. Um die weiteren Nullstellen zu berechnen, kannst du daher Methoden wie die Mitternachtsformel oder pq-Formel verwenden. Die zwei weiteren Nullstellen lauten dann

x_1 = -3 und x_2 = -4.

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