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Polynome
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Du willst wissen, was die Polynomdivision ist, wie sie geht und wofür du sie anwendest? Das erfährst du hier in unserem Beitrag% und natürlich auch in unserem Video!

Wie funktioniert die Polynomdivision?

Die Polynomdivision funktioniert genauso wie die schriftliche Division  — nur nicht mit Zahlen, sondern mit Polynomen . Polynome sind zum Beispiel x2-3x+2 und x-1. Sie enthalten also Zahlen und x. 

Mit der Polynomdivision kannst du ein Polynom durch das andere teilen.

%Liebe Animation, könntet ihr so ein Bild nachbasteln? Gerne auf weißem Untergrund. ;)</span><span style="color: #ff00ff;"><img class="alignnone  wp-image-253373" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2021/11/Unbenannt.png" alt="" width="500" height="193" /></span><span style="color: #ff00ff;">Beschriftung: Schriftliche Division und Polynomdivision, Alttext: polynomdivision mit rest, polynom division, Polynomdivision, polynomdivision beispiel,  polynomdivision erklärung, polynomdivision rest, nullstellen polynomdivision, übungen polynomdivision, schriftliche Division, Polynome, geteilt, Rechnung, Division

Die Polynomdivision hilft dir zum Beispiel, Nullstellen von Polynomen auszurechnen. Aber wie musst du dabei genau vorgehen? Das erfährst du jetzt.

Polynomdivision Erklärung Schritt-für-Schritt

Schau dir das Beispiel von oben jetzt genauer an: Du willst x2 – 3x + 2 durch x – 1 teilen:

(x2 – 3x + 2) : (x – 1) = ?

Erster Durchgang

Schritt 1: Im ersten Schritt teilst du x2 durch x. Du schaust dir also am Anfang in beiden Polynomen nur den ersten Teil an. Dafür überlegst du dir, womit du x multiplizieren musst, um x2 zu erhalten. Die Antwort ist x. Das schreibst du neben das =.

(x^2 - 3x + 2) : (x - 1) = \textcolor{red}{x}

Schritt 2: Multipliziere das Ergebnis x mit der Klammer (x – 1), also x • (x – 1) = x– x. Das schreibst du unter dein ursprüngliches Polynom. Klammere dann x– x ein und schreibe ein Minus davor.

    \begin{alignat*}{6} (&\textcolor{red}{x^2}&-3&x&+2&):(x-1)=\textcolor{red}{x}  \\ -(&\textcolor{olive}{x^2}&-&\textcolor{olive}{x}) \\ \cline{1-3}  \end{alignat*}

Schritt 3: Rechne nun Minus — genau wie bei der schriftlichen Division.

    \begin{alignat*}{6} (&\textcolor{red}{x^2}&-3&x&+2&):(x-1)=\textcolor{red}{x}  \\ -(&\textcolor{olive}{x^2}&-&\textcolor{olive}{x}) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{-2}&\textcolor{blue}{x}&+2&  \end{alignat*}

Zweiter Durchgang

Schritt 1: Die Schritte 1 bis 3 wiederholst du jetzt mit deinem Zwischenergebnis -2x. Du teilst also wieder -2x durch x und bekommst -2. Das schreibst du wieder rechts neben das =, also hinter das x

    \begin{alignat*}{6} (&\textcolor{red}{x^2}&-3&x&+2&):(x-1)=\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{-2} \\ -(&\textcolor{olive}{x^2}&-&\textcolor{olive}{x}) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{-2}&\textcolor{blue}{x}&+2& \\ \end{alignat*}

Schritt 2: Jetzt kannst du wieder -2 mal die Klammer (x – 1) rechnen, also -2 • (x – 1) = -2x + 2. Das schreibst du unter dein Polynom und machst wieder ein Minus davor. 

    \begin{alignat*}{6} (&\textcolor{red}{x^2}&-3&x&+2&):(x-1)=\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{-2} \\ -(&\textcolor{olive}{x^2}&-&\textcolor{olive}{x}) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{-2}&\textcolor{blue}{x}&+2& \\ &&-(-2&x&+2) \\ \cline{3-5} & \end{alignat*}

Schritt 3: Du ziehst also die beiden Polynome wieder voneinander ab. Dann erhältst du 0. Das ist das Zeichen, dass du fertig bist. Das, was rechts hinter dem = steht, ist dann dein Ergebnis. Prima!

    \begin{alignat*}{6} (&\textcolor{red}{x^2}&-3&x&+2&):(x-1)=\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{-2} \\ -(&\textcolor{olive}{x^2}&-&\textcolor{olive}{x}) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{-2}&\textcolor{blue}{x}&+2& \\ &&-(-2&x&+2) \\ \cline{3-5} &&&&0 & \end{alignat*}

 

Du kannst auch ganz leicht überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Dafür rechnest du dein Ergebnis mal (x – 1). Dafür musst du ausmultiplizieren

 (x – 2) • (x – 1) = x2 – x – 2x + 2 = x2 – 3x + 2

Es kommt wieder das erste Polynom heraus. Deine Polynomdivision ist also richtig!

Nullstellen finden mit der Polynomdivision

Mit der Polynomdivision kannst du Nullstellen von Polynomen vom Grad 3 ermitteln. Schau dir zum Beispiel folgende Funktion an:

f(x) = x3 + 2x2 – x – 2

Wenn du schon eine Nullstelle kennst, z.B. durch Ausprobieren oder weil sie in der Aufgabe vorgegeben ist, kannst du die Polynomdivision anwenden. f(x) hat zum Beispiel eine Nullstelle bei x = 1. Jetzt teilst du mit der Polynomdivision f(x) durch x Minus die gefundene Nullstelle, also hier durch (x – 1). 

(x3 + 2x2 – x – 2) : (x – 1) = ?

Als Ergebnis erhältst du x2 + 3x +2, das nur noch Grad 2 hat. Die Nullstellen von dieser leichteren Funktion kannst du jetzt noch mit der  Mitternachtsformel oder mit der abc-Formel ausrechnen. 

So hast du deine drei Nullstellen mit Polynomdivision gefunden: eine, die du schon vorher wusstest und zwei aus der Mitternachtsformel bzw. der abc-Formel.

Willst du noch mehr Details über die Polynomdivision wissen? Dann schau dir auch unseren Artikel für Fortgeschrittene dazu an!

Polynomdivision Aufgaben 

Nun kennst du die Erklärung der Polynomdivision! Schau dir deshalb jetzt noch zwei Übungen zur Polynomdivision an. Das erste Polynomdivision Beispiel ist nochmal eine Division ohne Rest. Im zweiten Beispiel lernst du die Polynomdivision mit Rest kennen.

Aufgabe 1: Polynomdivision ohne Rest

 Teile x2 + x – 12 durch das Polynom x – 3.

Lösung Aufgabe 1

Deine Polynomdivision sieht folgendermaßen aus:

    \begin{alignat*}{6} (&\textcolor{red}{x^2}&+&x&-12&):(x-3)=\textcolor{red}{x} \textcolor{blue}{+ 4} \\ -(&\textcolor{olive}{x^2}&-\textcolor{olive}{3}&\textcolor{olive}{x}) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{4}&\textcolor{blue}{x}&-12& \\ &&-(4&x&-12) \\ \cline{3-5} &&&&0 & \end{alignat*}

Erster Durchgang

  • Schritt 1: Teile x2 durch x. Das ergibt x.
  • Schritt 2: Multipliziere x mit (x – 3). Du erhältst x2 – 3x.
  • Schritt 3: Ziehe das von dem ersten Polynom ab und zu bekommst 4x – 12.

Zweiter Durchgang

  • Schritt 1: Nun geht es weiter mit 4x. Teile das durch x. Es kommt also 4 heraus.
  • Schritt 2: Durch 4 • (x – 3) ergibt sich 4x – 12.
  • Schritt 3: Du ziehst die Polynome untereinander voneinander ab und bekommst 0 heraus. Dein Ergebnis ist also x + 4.

Aufgabe 2: Polynomdivision mit Rest

Du hast folgende Polynome gegeben: 

5x^3 - 7x + 9 und x - 2

Bestimme das Ergebnis ihrer Polynom Division.

Lösung Aufgabe 2

Du siehst, dass hier kein x2 vorkommt, sondern nur x3 und x. Wenn du dein Polynom hinschreibst, solltest du deshalb an der Stelle von x2 etwas Platz lassen. Du kannst dir vorstellen, dass dort 0x2 steht.

    \begin{alignat*}{7} (\textcolor{red}{5}&\textcolor{red}{x^3}&&&-7&x+9):(x-2)=\textcolor{red}{5x^2} + \textcolor{blue}{10x} + \textcolor{orange}{13} + \frac{35}{x-2} \\ -(\textcolor{olive}{5}&\textcolor{olive}{x^3}&\textcolor{olive}{-10}&\textcolor{olive}{x^2}) \\ \cline{1-3} &&\textcolor{blue}{10}&\textcolor{blue}{x^2}-&7x& \\ &&-(\textcolor{olive}{10}&\textcolor{olive}{x^2}-&\textcolor{olive}{20x}) \\ \cline{3-5} &&&&\textcolor{orange}{13}&\textcolor{orange}{x}+9 \\ &&&&-(13&x-26) \\ \cline{5-6} &&&&& 35 & \end{alignat*}

Erster Durchgang

  • Schritt 1: Teile 5x3 durch x und du erhältst 5x2 . %S. oben
  • Schritt 2: Multipliziere 5x2 mit der Klammer (x – 2). Das ergibt 5x– 10x2 .
  • Schritt 3: Rechne die beiden Polynome Minus: Du bekommst 10x2– 7x.

Zweiter Durchgang

  • Schritt 1: Mache mit 10x2  weiter und teile das durch x. Das ist 10x.
  • Schritt 2: Rechne 10x • (x – 2) = 10x2 – 20x.
  • Schritt 3: Das ziehst du jetzt wieder ab. Du erhältst 13x + 9

Dritter Durchgang

  • Schritt 1: Mache noch eine Runde mit 13x. Also 13x geteilt durch x ergibt 13.
  • Schritt 2: Multipliziere 13 mit (x – 2). Du bekommst 13x – 26.
  • Schritt 3: Ziehe die beiden Polynome wieder voneinander ab. So ergibt sich 35

Du siehst, dass hier nicht 0 herauskommt. Du kannst aber auch nicht 35 durch x teilen, weil in 35 gar kein x mehr vorkommt. Deshalb schreibst du noch einen Bruch als Rest zu deinem Ergebnis.

Hier siehst du nochmal kurz und knapp, was du zur Polynom Division wissen musst:

Polynomdivision kurz & knapp

Mit der Polynomdivision teilst du ein Polynom durch ein anderes Polynom, z.B. (5x2 – 3x + 2) : (x – 1). Dabei brauchst du vier Schritte: 

  1. Dividieren: Teile den ersten Teil des ersten Polynoms (5x2) durch den ersten Teil des zweiten Polynoms (x). 
  2. Multiplizieren: Multipliziere das Ergebnis davon (5x) mit der Klammer (x-1) und schreibe die Lösung unter das ursprüngliche Polynom.
  3. Subtrahieren: Ziehe die beiden Polynome, die untereinander stehen, voneinander ab.
  4. Wiederholen: Wiederhole die Schritte 1 bis 3 mit dem Ergebnis aus Schritt 3.

Noch mehr Aufgaben zur Polynom Division zeigen wir dir Schritt für Schritt in einem extra Video!

Zum Video: Polynomdivision Aufgaben
Zum Video: Polynomdivision Aufgaben

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