Trassierung

Trassierung — einfach erklärt

Bei einer Trassierungsaufgabe schaust du dir meistens zwei Abschnitte an, zum Beispiel von einer Straße oder einer Achterbahn.

Beide Abschnitte können dabei durch Funktionen dargestellt werden. Bei der Trassierung wird jetzt eine Funktion gesucht, die beide Funktionsgraphen miteinander verbindet. Die Verbindungsstellen sollen dabei nahtlos und ohne Knick sein. 

Um so eine Funktion zu finden, gehst du in fünf Schritten vor. 

Trassierung knickfrei — Schritt für Schritt

Schau dir das mal an einem Beispiel an: Die Funktionen g(x) = x² und h(x) = 2x + 1 beschreiben zwei Abschnitte einer Achterbahn. Das Ende des ersten Abschnitts ist dabei an der Stelle x₁ = 0 und der Beginn des zweiten Abschnitts an der Stelle x₂ = 1.  

Beide Abschnitte willst du jetzt durch eine Funktion f(x) miteinander verbinden. 

1. Bedingungen aufstellen

Die Übergänge zwischen den Abschnitten sollen glatt und gleichmäßig sein. Deswegen wird gefordert, dass sie sprungfrei und knickfrei sind. 

sprungfrei: Sprungfrei bedeutet, dass keine Lücke zwischen den einzelnen Abschnitten entstehen soll. Deswegen müssen die Verbindungsstellen (x₁, g(x₁)) und (x₂, h(x₂)) auf der Verbindungsfunktion f(x) liegen. Es muss also gelten:

In dem Beispiel setzt du jetzt x₁ = 0 in g(x) = x² und x₂ = 1 in h(x) = 2x + 1 ein, dadurch erhältst du g(x₁) und h(x₂) :

g(x) = x² → g(0) = 0² = 0
h(x) = 2x + 1→ h(1)= 2 ⋅ 1 + 1 = 3

Die Verbindungsfunktion soll also zwischen dem Punkt (0|0) auf der Funktion g(x) und dem Punkt (1|3) der Funktion h(x) verlaufen. Also muss gelten: f(0) = 0 und f(1) = 3.

knickfrei: An den Übergängen zwischen den Abschnitten soll kein Knick entstehen. Diese Bedingung nennst du auch knickfrei. Dafür muss f(x) an der Stelle x₁ die gleiche Steigung haben wie g(x) und an der Stelle x₂ die gleiche wie h(x).
Die Steigung einer Funktion lässt sich mit der ersten Ableitung berechnen. 

Also muss für die Bedingung knickfrei gelten:

Um die Werte für das Beispiel herauszufinden, leitest du erstmal g(x) und h(x) ab:

g(x) = x² →g'(x) = 2x
h(x)= 2x + 1→h'(x) = 2

Danach setzt du x₁=0 in g'(x) ein und x₂=1 in h'(x) um die Steigung an den Übergangspunkten zu erhalten:

g‘(0) = 2 ⋅ 0 = 0
h‘(1) = 2

Jetzt weißt du, dass für die Verbindungsfunktion f(x) gelten muss f‘(0) = 0 und f‘(1) = 2.

2. Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen

Wenn du die Bedingungen aufgestellt hast, kannst du die allgemeine Funktionsgleichung von deiner gesuchten Funktion f(x) formulieren.

Bei sprungfrei und knickfrei brauchst du eine Funktion vom Grad 3:

Zusätzlich brauchst du die erste Ableitung der Funktion:

3. Lineares Gleichungssystem aufstellen

Deine Bedingungen setzt du jetzt in die allgemeine Funktionsgleichung und deren Ableitung ein und stellst so ein lineares Gleichungssystem auf. 

Für das Beispiel bedeutet das: 

f(0) = 0   →   a ⋅ 0³ + b ⋅ 0² + c ⋅ 0 + d = 0
f(1) = 3    →    a ⋅ 1³ + b ⋅ 1² + c ⋅  1 + d = 3
f‘(0) = 0    →   3a ⋅ 0 ² + 2b ⋅ 0 + c = 0
f‘(1) = 2     →   3a ⋅ 1² + 2b ⋅ 1 + c = 2

Die Gleichungen kannst du jetzt auch noch vereinfachen: 

a ⋅ 0³ + b ⋅ 0² + c ⋅ 0 + d = 0   →   d = 0
a ⋅ 1³ + b ⋅ 1² + c ⋅ 1 + d = 3   →   a + b + c + d = 3
3a ⋅ 0² + 2b ⋅ 0 + c = 0    →   c = 0 
3a ⋅ 1² + 2b ⋅ 1 + c = 2    →   3a + 2b + c = 2 

Insgesamt hast du jetzt also vier Gleichungen erhalten und dein lineares Gleichungssystem sieht so aus: 

I                                    d  = 0
II         a    + b   + c + d  = 3
III                           c         = 0 
IV       3a +  2b +  c        = 2 

Du kannst die Gleichungen mit I, II, III und IV nummerieren. 

4. Lineares Gleichungssystem lösen

Als Nächstes löst du das lineare Gleichungssystem .  Dafür kannst du zum Beispiel den Gauß-Algorithmus verwenden und das Gleichungssystem in Stufenform bringen. So erhältst du Werte für a, b, c und d.

Dein lineares Gleichungssystem kannst du beispielsweise so lösen: 

I                                    d  = 0
II         a    + b   + c + d  = 3
III                            c        = 0 
IV       3a +  2b +  c         = 2 

Aus der ersten Gleichung kannst du d = 0 ablesen und aus der dritten Gleichung c = 0. Das setzt du dann in die anderen beiden Gleichungen ein:

II         a    + b   + 0 + 0  = 3   
IV       3a  + 2b + 0         = 2   

→

II         a   + b                   = 3   
IV       3a + 2b                = 2   

Jetzt kannst du zum Beispiel zweimal die Gleichung II von der Gleichung IV abziehen, damit in der Gleichung IV nur noch das a als Unbekannte stehen bleibt:

II        a  +   b                 = 3  
IV      3a + 2b                = 2  | – 2⋅ II

II             a      +      b        = 3  
IV‘   3a – 2a + 2b – 2b  = 2 – 6 

II         a       +      b  = 3  
IV‘      a                     = -4

So erhältst du a = -4. Das kannst du jetzt wieder in deine Gleichung II einsetzen: 

II         -4    + b     = 3          | + 4
                       b     = 7

Insgesamt erhältst du also die Werte a = -4, b = 7, c= 0 und d = 0.

5. Funktionsgleichung aufschreiben

Jetzt musst du nur noch die fertige Funktionsgleichung aufschreiben. Dafür setzt du die Werte für a, b, c und d in deine allgemeine Funktionsgleichung ein.

In dem Beispiel setzt du also a = -4, b = 7, c = 0 und d = 0 in deine allgemeine Funktionsgleichung f(x) = ax³ + bx² + cx + d ein:

f(x) = -4x³ + 7x² + 0x + 0 

Das vereinfachst du noch: f(x) = -4x³ + 7x² 

Und fertig ist die Lösung deiner Trassierungsaufgabe!

Trassierung krümmungsruckfrei — Schritt für Schritt

Es kann sein, dass zusätzlich zu der Bedingung knickfrei auch noch gefordert wird, dass die Übergänge krümmungsruckfrei sein sollen. Das bedeutet, dass die Krümmung der Verbindungsfunktion f(x) an den Verbindungsstellen identisch mit der Krümmung von g(x) beziehungsweise h(x) sein soll.

Bei so einer Aufgabe gehst du ganz ähnlich vor, wie wenn die Funktion nur knickfrei sein muss.

Schau dir das wieder an dem Beispiel g(x) = x² und h(x) = 2x + 1 an. Die willst du wieder durch eine Funktion f(x) zwischen den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 miteinander verbinden, aber dieses Mal krümmungsruckfrei. 

1. Bedingungen aufstellen

Du stellst wieder die Bedingungen sprungfrei und knickfrei auf, genauso wie wenn du nur eine knickfreie Trassierung machst.

Für das Beispiel gilt also weiterhin f(0) = 0 und f(1) = 3 damit die Übergänge zwischen den Funktionen sprungfrei sind und f‘(0) = 0 und f‘(1) = 2 damit sie knickfrei sind. 

krümmungsruckfrei: Zusätzlich kommt jetzt noch die Bedingung krümmungsruckfrei dazu. f(x) muss also an der Stelle x₁ die gleiche Krümmung haben wie g(x) und an der Stelle x₂ die gleiche wie h(x). 
Mit der zweiten Ableitung einer Funktion lässt sich die Krümmung berechnen.

Deshalb muss für die Bedingung krümmungsruckfrei gelten:

Für das Beispiel bildest du dann die zweite Ableitung von g(x) und h(x):

g(x) = x² → g'(x) = 2x → g “(x) = 2
                            
h(x) = 2x + 1 →h'(x) = 2 → h“(x) = 0

Dort setzt du jetzt x₁ = 0 in g“(x) und x₂ = 1 in h“(x) ein:

g “(0) = 2

h“(1) = 0

Du hast jetzt  zusätzlich die Bedingungen f“(0) = 2 und f“(1) = 0, die deine Verbindungsfunktion f(x) erfüllen muss. 

2. Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen

Jetzt stellst du wieder die allgemeine Funktionsgleichung auf. Wenn die Bedingung krümmungsruckfrei gefordert wird, hat sie den Grad 5. Sie sieht dann also so aus:

Merke: Wenn nur die Bedingung knickfrei gefordert ist, hat sie den Grad 3. Wenn zusätzlich die Bedingung krümmungsruckfrei gefordert wird, brauchst du eine Funktion vom Grad 5. 

Außer der ersten benötigst du bei einem krümmungsruckfreien Übergang auch noch die zweite Ableitung deiner allgemeinen Funktionsgleichung:

3. Lineares Gleichungssystem aufstellen

Deine Bedingungen sprungfrei, knickfrei und krümmungsruckfrei setzt du jetzt in deine allgemeine Funktionsgleichung und deren Ableitungen ein und stellst so ein lineares Gleichungssystem auf. 

sprungfrei: 
 f(x₁) = g(x₁) → ax₁⁵ + bx₁⁴ + cx₁³ + dx₁² + ex₁ + f = g(x₁)
 f(x₂) = h(x₂) → ax₂⁵ + bx₂⁴ + cx₂³ + dx₂² + ex₂ + f = h(x₂)

knickfrei:
 f‘(x₁) = g‘(x₁) → 5ax₁⁴ + 4bx₁³ + 3cx₁² + 2dx₁ + e = g‘(x₁) 
 f‘(x₂) = h‘(x₂) → 5ax₂⁴ + 4bx₂³ + 3cx₂² + 2dx₂ + e = h‘(x₂)

krümmungsruckfrei:
 f“(x₁) = g“(x₁) → 20ax₁³ + 12bx₁² + 6cx₁ + 2d = g“(x₁)
 f“(x₂) = h“(x₂) → 20ax₂³ + 12bx₂² + 6cx₂ + 2d = h“(x₂) 

Für das Beispiel sieht dein Gleichungssystem dann also so aus: 

f(0) = 0    → a⋅0⁵ + b⁴ + c⋅0³ + d⋅0² + e⋅0 + f = 0
f(1) = 3       → a⋅1⁵ + b⁴ + c⋅1³ + d⋅1² + e⋅1 + f = 3
f‘(0) = 0     → 5a⋅0⁴ + 4b⋅0³ + 3c⋅0² + 2d⋅0 + e = 0
f‘(1) = 2      → 5a⋅1⁴ + 4b⋅1³ + 3c⋅1² + 2d⋅1 + e = 2
f “(0) = 2  → 20a⋅0³ + 12b⋅0² + 6c⋅0 + 2d = 2
f“(1) = 0   → 20a⋅1³ + 12b⋅1² + 6c⋅1 + 2d = 0

Das kannst du vereinfachen:

I                                                          f = 0
II       a    + b       + c    + d   + e + f = 3
III                                                e       = 0 
IV   5a   + 4b   +  3c +  2d + e       = 2
V                                       2d               = 2
VI   20a + 12b +  6c + 2d              = 0

4. Lineares Gleichungssystem lösen

Jetzt löst du wieder dein lineares Gleichungssystem.

Aus I kannst du f = 0 und aus III kannst du e = 0 ablesen. Das setzt du schonmal in die anderen Gleichungen ein:

II      a    + b      + c    + d   + 0 + 0 = 3
IV    5a   + 4b   + 3c + 2d + 0       = 2
V                                       2d              = 2
VI    20a + 12b + 6c + 2d              = 0

→

II      a    + b       + c    + d                 = 3
IV    5a   + 4b   + 3c + 2d               = 2
V                                       2d              = 2
VI    20a + 12b + 6c + 2d              = 0

Als nächstes formst du V nach d umformen: 

V                                     2d           = 2    | : 2

→                                     d           = 1

Du erhältst d = 1 und kannst das in die anderen Gleichungen einsetzen:

II       a    + b       + c    + 1              = 3
IV   5a   + 4b   + 3c + 2⋅ 1           = 2
VI   20a + 12b + 6c + 2⋅ 1          = 0

→    

II       a    + b       + c    + 1          = 3          | -1
IV   5a   + 4b   + 3c + 2            = 2          | -2
VI   20a + 12b + 6c + 2.          = 0         |-2

→    

II       a    + b       + c                    = 2         
IV   5a   + 4b   + 3c                    = 0         
VI   20a + 12b + 6c                   = -2    

Jetzt ziehst du von IV dreimal die Gleichung II ab und von VI sechsmal die Gleichung II. So eliminierst du in IV und VI das c und hast dort nur noch a und b als Unbekannte:

II        a    + b       + c                  = 2         
IV    5a   + 4b   + 3c                   = 0          | – 3 ⋅ II
VI   20a + 12b + 6c                   = -2         | – 6 ⋅ II

→    

II                             a    + b    + c                 = 2         
IV‘   5a – 3a   + 4b -3b   + 3c – 3c        = 0 – 6       
VI‘  20a – 6a + 12b -6 b + 6c -6c         = -2 -12        

→    

II        a    + b       + c               = 2         
IV‘   2a   + b                              =  – 6       
VI‘   14a + 6b                           = -14      

Jetzt kannst du zum Beispiel sechsmal die Gleichung IV‘ von der Gleichung VI‘ abziehen: 

II          a    + b       + c               = 2         
IV‘    2a   + b                              =  – 6      
VI‘   14a + 6b                            = -14      | – 6 ⋅ IV‘

→    

II              a    + b       + c              = 2         
IV‘         2a   + b                             =  – 6      
VI“   14a – 12a + 6b-6b            = -14 + 36

→    
II              a    + b       + c                = 2         
IV‘         2a   + b                              =  – 6      
VI“       2a                                        = 22

Nun ist das Gleichungssystem in Stufenform und du kannst die einzelnen Parameter ermitteln:

II              a    + b       + c                = 2         
IV‘         2a   + b                              =  – 6      
VI“       2a                                        = 22  →    a = 11

Die Gleichung VI“ kannst du nach a umformen und erhältst a = 11. Das kannst du dann in IV‘ und II einsetzen. 

II        11    + b       + c                 = 2         
IV‘   22   + b                                  =  – 6       | -22

→

II     11    + b       + c      = 2         
IV‘   b                               =  – 28       

So formst du IV‘ nach b um und erhältst b = -28. Wenn du das jetzt noch in II einsetzt, kannst du auch noch c berechnen.

II     11    – 28      + c                   = 2         

→ c = 19

Du erhältst also die Parameter a = 11, b = -28, c = 19, d = 1, e = 0 und f = 0.

5. fertige Funktionsgleichung aufschreiben 

Setze jetzt noch a, b, c, d, e und f in deine allgemeine Funktionsgleichung vom Grad 5 ein. Dann hast du die fertige Funktionsgleichung für die Verbindungsfunktion.

f(x) = 11x⁵ – 28x⁴ + 18x³ + x²

Zusammenfassung: Vorgehen bei einer Trassierungsaufgabe  

1. Bedingungen aufstellen: 
   

   sprungfrei	knickfrei	krümmungsruckfrei
   f(x1) = g(x1)  f(x2) = h(x2)	f‘(x1) = g‘(x1)    f‘(x2) = h‘(x2)	f“(x1) = g“(x1)   f“(x2) = h“(x2)

2. Allgemeine Funktionsgleichungen aufstellen: 
   

   Nur knickfrei gefordert:	krümmungsruckfrei gefordert:
   f(x) = ax3+bx2+cx+d f'(x) = 3ax2+2bx+c	f(x) = ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f   f'(x) = 5ax4+4bx3+3cx2+2dx+e  f“(x) = 20ax3+12bx2+6cx+2d

3. Lineares Gleichungssystem aufstellen: 

   nur knickfrei gefordert:                                        
   f(x₁) = g(x₁) →  ax₁³ + bx₁² + cx₁ + d = g(x₁) 
   f(x₂) = h(x₂) → ax₂³ + bx₂² + cx₂ + d = h(x₂) 
   f‘(x₁) = g‘(x₁)   → 3ax₁² + 2bx₁ + c = g‘(x₁)
   f‘(x₂) = h‘(x₂) →3ax₂² + 2bx₂ + c = h‘(x₂)
      
   krümmungsruckfrei gefordert:
    f(x₁) = g(x₁) → ax₁⁵ + bx₁⁴ + cx₁³ + dx₁² + ex₁ + f = g(x₁)
    f(x₂) = h(x₂) → ax₂⁵ + bx₂⁴ + cx₂³ + dx₂² + ex₂ + f = h(x₂) 
    f‘(x₁) = g‘(x₁) → 5ax₁⁴ + 4bx₁³ + 3cx₁² + 2dx₁ + e = g‘(x₁) 
    f‘(x₂) = h‘(x₂) → 5ax₂⁴ + 4bx₂³ + 3cx₂² + 2dx₂ + e = h‘(x₂)
    f“(x₁) = g“(x₁) → 20ax₁³ + 12bx₁² + 6cx₁ + 2d = g“(x₁)
    f“(x₂) = h“(x₂) → 20ax₂³ + 12bx₂² + 6cx₂ + 2d = h“(x₂)
    

4. Lineares Gleichungssystem lösen:
   Z. B. Gauß-Algorithmus anwenden und a, b, c, d bzw. a, b, c, d, e, f erhalten.
      
5. Fertige Funktionsgleichung aufschreiben:
   a, b, c, d bzw. a, b, c, d, e, f in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen.

Trassierung — häufigste Fragen

• Was bedeutet Trassierung?
  Trassierung bedeutet, die Linienführung (Trasse) eines Verkehrswegs wie Straßen oder Bahnstrecken zu entwerfen und festzulegen. Dabei wird die genaue Höhe, Lage und der Querschnitt des Weges bestimmt.
        
• Was sind Trassierungsaufgaben?
  Trassierungsaufgaben sind mathematische Aufgaben, bei denen es darum geht, zwei oder mehr Funktionen so zu verbinden, dass der Übergang zwischen ihnen bestimmten Bedingungen wie sprungfrei, knickfrei oder krümmungsruckfrei entspricht.
              
• Was bedeutet Knickfrei?
  Eine Trassierung ist knickfrei, wenn die Steigung (erste Ableitung) an den Verbindungsstellen zweier Funktionen gleich ist. Das bedeutet, dass sich an keinem Punkt die Steigung sprunghaft ändert. Das sorgt dafür, dass es keine plötzlichen Richtungsänderungen gibt, die wie ein „Knick“ in der Kurve aussehen würden.
  

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

Sehr gut! Jetzt weißt du, wie du Trassierungsaufgaben lösen kannst. Wenn du das Lösen von linearen Gleichungssystemen nochmal üben willst, dann schau hier vorbei.